physik - St.-Anna-Schule Wuppertal

PHYSIK
im Überblick
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Quantenphysik II: Linearer Potentialtopf
Ein sehr instruktives Modell für ein Elektronensystem, in dem die Wellenfunktion der Elektronen ohne großen Aufwand bestimmt
werden kann, ist das Modell des linearen Potentialtopfes. Ein linearer Potentialtopf ist ein Raumbereich, in dem sich die Elektronen
ungestört bewegen können, während sie in die begrenzenden Wände nicht eindringen können. Abhängig von der Art der Wände
spricht man von einem unendlich tiefen oder endlich tiefen Potentialtopf.
Wellenfunktionen des Elektrons im unendlich tiefen Potentialtopf (E. Schrödinger) Ein Elektron im linearen Potentialtopf wird
durch eine Wellenfunktion ψ (x) beschrieben, die auf den Wänden den Wert Null aufweist (keine Aufenthaltswahrscheinlichkeit
auf den undurchdringlichen Wänden) und im Innern eine konstante Wellenlänge aufweist. Die Wellenlänge im Innern eines unendlich tiefen Potentialtopfes der Länge a genügt der Gleichung
λ=
2a
, n = 1, 2, 3… .
n
Die natürliche Zahl n wird als Quantenzahl bezeichnet. Nach deBroglie folgt für den Impuls des Elektrons
p=
h
n,
2d
woraus sich nichtrelativistisch die Energie
Ekin =
h2
n2 .
8me a 2
ergibt. h = 6, 626 ⋅10 −34 Js ist das Plancksche Wirkungsquantum.
Physikalische Interpretation der Wellenfunktion nach Schrödinger: Die Wellenfunktion ψ (x) hat keine unmittelbare physikalische
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Relevanz. Das Betragsquadrat ψ (x) der Wellenfunktion ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines quantenmechanischen Teilchens. Genauer: Die Wahrscheinlichkeit , ein Teilchen in einem kleinen Intervall [ x ; x + dx ] zu finden, ist
dp ([ x ; x + dx ]) = ψ (x) ⋅ dx .
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Die Besetzung der Quantenzustände in Systemen mehrerer Elektronen wird durch das Pauli-Prinzip bestimmt, das in der Atomphysik
von überragender Bedeutung ist:
Besetzung von Energieniveaus in gebundenen Systemen: Elektronen (allgemeiner: Fermionen, also Teilchen mit halbzahligem Spin)
unterscheiden sich paarweise stets um mindestens eine Quantenzahl.
Im Potenzialtopf wird durch Anwendung des Pauli-Prinzips die Besetzungssystematik der Energieniveaus durchschaubar:
Elektronen im Potenzialtopf: Zu jeder Quantenzahl n des Potenzialtopfes gibt es maximal zwei Elektronen, die mit entgegengesetztem Spin den Zustand besetzen (Spin up, Spin down). Im Grundzustand, also ohne Zufuhr von Energie in Form von Photonen
liegen die N Elektronen des Potenzialtopfes daher in den Zuständen n=1 bis n=N/2 vor.
Wird Energie in Form eines Photons zugeführt, so kann diese Energie nur dann absorbiert werden, wenn dadurch ein Elektron im
Potenzialtopf auf einen höheren unbesetzten Zustand angehoben werden kann, also genau dann, wenn es zwei Quantenzahlen n1
und n2 gibt, so dass
EPh = En2 − En1
erfüllt ist.