Aufgabenblatt - TU Darmstadt

Theoretische Physik II:
Quantenmechanik
Hans-Werner Hammer
Marcel Schmidt ([email protected])
Wintersemester 2016/17
9. Übung
22./23. Dezember 2016
Aufgabe 1 Zentralpotentiale: Endlich tiefer sphärischer Potentialtopf
In Übung 8 haben wir uns mit Zentralpotentialen beschäftigt. Wir konnten dort sehen, dass der winkelabhängige Teil des Hamiltonoperators Ĥ durch den Bahndrehimpulsoperator ~ˆL 2 gegeben ist:
!
~ˆL 2
ħ
h2
1 ∂2
Ĥ = −
r − 2 2 + V (r), r ≡ |~x | .
2M r ∂ r 2
ħ
h r
Dabei sind die Kugelflächenfunktionen Yl m (θ , ϕ) gemeinsame Eigenfunktionen von ~ˆL 2 und L̂3 :
~ˆL 2 Yl m (θ , ϕ) = ħ
h2 l(l + 1) · Ylm (θ , ϕ)
L̂3 Yl m (θ , ϕ) = ħ
h m · Yl m (θ , ϕ)
mit l ∈ N0 ,
mit m ∈ {−l, −l + 1, . . . , +l} .
Ein Teilchen der Masse M befinde sich nun in einem endlich tiefen sphärischen Potentialtopf der Form
(
−V0 , r < R
mit V0 > 0 .
V (r) =
0,
r >R
Aufgrund der Radialsymmetrie wählen wir für die Wellenfunktion den Separationsansatz
ψ(r, θ , ϕ) = f l (r) Ylm (θ , ϕ) .
und definieren
k2 ≡
2M
2
ħ
h
(
(E + V0 ),
r <R
E,
r >R
.
a) Zeigen Sie, dass die Funktion g l (z) ≡ f l (z/k) der sphärischen Bessel’schen Differentialgleichung
Œ
‚
1 ∂2
l(l + 1)
z−
+ 1 g l (z) = 0
z ∂ z2
z2
genügt, wenn ψ eine Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung ist.
b) Es existieren zwei Klassen von Lösungsfunktionen der sphärischen Bessel’schen Differentialgleichung, genannt sphärische Bessel-Funktionen jl (z) und Neumann-Funktionen nl (z) . Zeigen Sie, dass
j0 (z) =
sin z
z
,
n0 (z) = −
cos z
z
.
Zeigen Sie außerdem, dass j0 (z) am Ursprung endlich ist (regulär), während n0 (z) am Ursprung
divergiert (irregulär).
1
c) Wie lauten physikalisch akzeptable Lösungen des Problems im Innen- und Außenraum für l = 0
und Energien −V0 < E < 0 ?
HINWEIS: Betrachten Sie für r > R den Grenzwert r → ∞ der sphärischen Hankel-Funktionen
(1)
(2)
hl (z) ≡ jl (z) + inl (z),
hl (z) ≡ jl (z) − inl (z) .
d) Zeigen Sie, dass die Reformulierung g l (z) ≡ z l g̃ l (z) auf die Differentialgleichung
g̃ l00 (z) +
2l + 2
z
g̃ l0 (z) + g̃ l (z) = 0
führt.
e) Sei g̃ l (z) eine Lösung der obigen Differentialgleichung zu gegebenem l . Zeigen Sie, dass dann
p(z) ≡ g̃ l0 (z)/z eine Lösung zu l + 1 ist, d. h. dass man p(z) = g̃ l+1 (z) schreiben kann.
Folgern Sie daraus, dass für beliebige l die Lösung g l (z) aus g0 (z) über
g l (z) = (−z)
l
1 ∂
l
z ∂z
g0 (z)
abgeleitet werden kann. Dabei ist der Faktor (−1)l Konvention.
HINWEIS: Betrachten Sie den Ausdruck
∂2
(zp(z)) .
∂ z2
f) Berechnen Sie j1 (z) und n1 (z) . Welche der beiden Lösungen ist regulär am Ursprung? Untersuchen
(1)
(2)
Sie auch, ob h1 und/oder h1 als physikalische Lösungen für den Außenraum infrage kommen,
wenn −V0 < E < 0 .
g) Die Funktion f l (r) muss bei r = R stetig differenzierbar sein. Zeigen Sie, dass sich diese Forderung
durch logarithmische Ableitungen gemäß
d
dr
ln f l
(innen)
(r)
=
r=R
d
dr
ln f l
(außen)
(r)
r=R
ausdrücken lässt. Bestimmen Sie daraus, wie groß V0 bei festem R > 0 mindestens sein muss,
damit ein gebundener (l = 0)-Zustand existiert. In welchem Fall können sogar zwei (l = 0)Bindungszustände existieren?
h) Im Schalenmodell des Atomkerns wird angenommen, dass sich jedes Nukleon (Proton oder Neutron) in einem mittleren Potential V (r) bewegt. Als Modell wird dabei oft der sphärische Potentialtopf verwandt. Der Kernradius R ist als Funktion der Massenzahl A des Kerns gegeben durch
R = A1/3 · 1,2 fm .
Für den Kern 16 O ist bekannt, dass die Bindungsenergie des 2s-Zustands (also l = 0) ausgesprochen
klein ist. Schätzen Sie die Potentialtiefe V0 des Systems ab.
hc ≈ 200 MeV fm .
HINWEIS: Es gilt MNukleon ≈ 940 MeV/c2 und ħ
2
3. Hausübung
Abgabe: Donnerstag, 22. Dezember 2016 in Vorlesung
Regelung:
• 4 Hausübungen, jeweils eine Woche Bearbeitungszeit, Abgabe in Donnerstag-Vorlesung
• keine Besprechung, Lösungsvorschläge nach Abgabe online verfügbar
• Notenbonus von 0,3/0,4 ab 50 % der Gesamtpunktzahl
Aufgabe 1 Knotenzahl gebundener Zustände (5 Punkte)
Die Wronski-Determinante zweier Funktionen y1 (x) und y2 (x) ist definiert durch
W [ y1 , y2 ](x) ≡ y1 (x) y20 (x) − y10 (x) y2 (x) .
Seien nun y1 (x) und y2 (x) Lösungen der Differentialgleichung
yi00 (x) + Fi (x) yi (x) = 0,
i ∈ {1, 2} .
a) Zeigen Sie das Wronski’sche Theorem
b
W [ y1 , y2 ]a =
b
Z
d x F1 (x) − F2 (x) y1 (x) y2 (x) .
a
b) Seien nun y1 (x) und y2 (x) reellwertige Lösungen der 1D-Schrödinger-Gleichung zu Energien
"1 < "2 im diskreten Teil des Energiespektrums. Genauer gelte
yi00 (x) + "i − V (x) yi (x) = 0 .
Zeigen Sie, dass y2 (x) mindestens eine Nullstelle mehr besitzt als y1 (x) . Somit lassen sich die
Bindungszustände durch ihre Knotenzahl charakterisieren.
HINWEIS: Es genügt zu zeigen, dass y2 (x) zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von
y1 (x) das Vorzeichen wechselt. Betrachten Sie dazu das Wronski’sche Theorem für geeignete Intervallgrenzen a, b . Was können Sie über y10 (x) zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen
von y1 (x) aussagen?
Aufgabe 2 Hantelmolekül (5 Punkte)
Wir betrachten nun ein Hantelmolekül, das aus zwei Elementarteilchen an den Orten ~x 1 und ~x 2 mit Massen m zusammengesetzt ist. Durch Rotation um das Zentrum lasse sich das Molekül innerlich anregen.
Wir möchten nun die Eigenenergien dieser inneren Anregungen berechnen. Der Hamiltonoperator lautet
Š
ħ
h2 €
Ĥ = −
∆~x 1 + ∆~x 2
2m
mit der Randbedingung |~x 1 − ~x 2 | = const.
a) Führen Sie eine geeignete Variablensubstitution durch, um Relativ- und Schwerpunktbewegung zu
separieren:
Ĥ = Ĥr (~r) + ĤS (~R)
Die Bewegung des Schwerpunkts (S) soll im Folgenden vernachlässigt werden.
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b) Führen Sie im Hinblick auf den konstanten Teilchenabstand eine Größe Θ ein, sodass
Ĥr =
1 ˆ2
~L (θ , ϕ) .
2Θ
Welcher Größe entspricht Θ in der klassischen Mechanik?
c) Berechnen Sie die Eigenwerte und Entartungsgrade dieses Hamiltonoperators und geben Sie die
Eigenfunktionen an.
d) Das Molekül sei zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand
€
Š
ψ(θ , ϕ) = a cos2 (θ ) + sin2 (θ ) cos (2ϕ) .
Stellen Sie ψ durch Linearkombination der Eigenfunktionen von Ĥ dar.
HINWEIS: Recherchieren Sie die Kugelflächenfunktionen für l ≤ 2 und beachten Sie, dass
∗
Yl ,−m = (−1)m Ylm
.
e) Berechnen Sie mithilfe dieser Entwicklung die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung von ~ˆL 2 bei
t = 0 die Werte 6ħ
h2 , 2ħ
h2 oder 0ħ
h2 zu finden. Bestimmen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass
h2 und −2ħ
h ergibt.
eine simultane Messung von ~ˆL 2 und L̂3 die Werte 6ħ
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