Blatt 3

WS 2011/2012
Blatt 3
1.12.2011
Prof. D. Egorova
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Chemie, Quantenmechanik
Operatoren
1. Gegeben seien die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines Operators Â,
d.h. Â|φn i = an |φn i.
Zeigen Sie, dass |φn i auch Eigenfunktion des Operators e ist und bestimmen Sie den zugehörigen
Eigenwert.
P
(Â)m
Hinweis: Benutzen Sie dazu die Reihenentwicklung e = ∞
m=0 m! .
2. Bestimmen Sie die Kommutatoren [eix̂ , pˆx ] und [eiĤ , Ĥ].
Drehimpuls
~ˆ definiert als
3. In der Vorlesung wurde der Drehimpulsoperator L
  

 
 
L̂x
x
p̂x
y p̂z − z p̂y
~ˆ = ~r × p~ˆ =  y  ×  p̂y  =  z p̂x − xp̂z  =  L̂y  ,
L
z
p̂z
xp̂y − y p̂x
L̂z
∂
∂
∂
, p̂y = −i~ ∂y
und p̂z = −i~ ∂z
gilt.
wobei p̂x = −i~ ∂x
(a) Bestimmen Sie mittels der angegebenen Definition die Kommutatoren [L̂x , L̂y ], [L̂x , L̂z ] und
[L̂y , L̂z ].
~ˆ 2 mit L̂x , L̂y und L̂z kommutiert.
(b) Zeigen Sie, dass L
4. In Analogie zu den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren des harmonischen Oszillators definiert man für Drehimpulsoperatoren die Leiteroperatoren
L̂+ = L̂x + iL̂y ,
L̂− = L̂x − iL̂y .
(a) Bestimmen Sie die Kommutatoren [L̂z , L̂+ ], [L̂z , L̂− ] und [L̂+ , L̂− ].
(b) Ψ sei eine Eigenfunktion von L̂z zum Eigenwert ~m. Zeigen Sie, daß L̂+ Ψ und L̂− Ψ ebenfalls
Eigenfunktionen von L̂z sind und bestimmen Sie die Eigenwerte. Hinweis: Benutzen Sie dazu
das Ergebnis von Aufgabenteil (a).
5. (a) Ein System befinde sich in einem Eigenzustand |lmi zu L̂2 und L̂z . Was können Sie über
den Zustand des Systems bezüglich L̂x und L̂y aussagen und warum?
(b) L̂2 habe den Eigenwert 12~2 für ein System. Welche Eigenwerte von L̂z kann dieses System
annehmen?
(c) Ψm sei eine Eigenfunktion von L̂z zum Eigenwert ~m. Was können Sie über L̂+ Ψm und
L̂− Ψm aussagen?
Wasserstoffatom
6. (a) Mit welcher Frequenz νnm muß man ein H-Atom bestrahlen, um ein Elektron vom Zustand
|mi in den Zustand |ni anzuregen?
(b) Geben Sie für das Wasserstoffatom die Energieunterschiede zwischen dem 2s- und den 2pZuständen und zwischen dem Grund- und den 4d-Zuständen an.
(c) Geben Sie alle möglichen Kombinationen der Quantenzahlen n, l und ml für die Hauptquantenzahl 3 an und benennen Sie die resultierenden Sätze von Eigenfunktionen (Orbitale).
7. Die Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms sind gegeben als
Ψnlm (r, θ, φ) = Nnl Rnl (r)Ylm (θ, φ)
mit dem Radialanteil
Rnl (r) =
³ 2r ´l
¡ 2r ¢ − r
na0
L2l+1
,
n+l na0 e
na0
a0 =
4π²0 ~2
.
e2 m
Wir betrachten die 1s, 2s und 2p0 Funktionen Ψ100 , Ψ200 und Ψ210 .
(a) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten Nnl für diese drei Eigenfunktionen.
(b) Bestimmen Sie die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(r) der drei Eigenfunktionen und skizzieren Sie diese.
Hinweis: Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte ist definiert durch
Z ∞
Z π
Z 2π
Z ∞
2
2
r dr
sin(θ) dθ
dφ |Ψnlm (r, θ, φ)| =
drρ(r)
0
0
0
0
(c) Bestimmen Sie den Erwartungswert des radialen Abstandes < r > für die drei Eigenfunktionen.
D
E
e2
(d) Bestimmen Sie den Erwartungswert der potentiellen Energie < V >= − 4π²0 r für den
Grundzustand Ψ100 .
(e) Bestimmen Sie den Erwartungswert der kinetischen Energie < T̂ > für den Grundzustand
Ψ100 .
Hinweis: Benutzen Sie dazu die Energieeigenwerte des Hamiltonoperators aus der Vorlesung
sowie das Ergebnis aus Teilaufgabe (d).
Zur Lösung dieser Aufgabe benötigen Sie die Laguerre-Polynome:
L12 (x) = 2(x − 2),
L11 (x) = −1,
die Kugelflächenfunktionen
Y00
1
= √ ,
4π
r
Y10 =
3
cos(θ)
4π
sowie das Integral
Z
∞
0
dx xm e−x = m!
für m ∈ N.
L33 (x) = −6,
8. Wir betrachten die Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms
−5/2
a
− r
Ψ211 (r, θ, φ) = 0√ re 2a0 sin(θ) eiφ
8 π
−5/2
a
− r
Ψ21−1 (r, θ, φ) = 0√ re 2a0 sin(θ) e−iφ
8 π
Diese sind Eigenfunktionen von Ĥ (Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms), L̂2 und L̂z . Aus den
beiden komplexen Eigenfunktionen kann man die folgende reelle Funktion bilden
−i
Ψ2py = √ (Ψ211 − Ψ21−1 )
2
(a) Zeigen Sie, daß Ψ2py eine Eigenfunktion zu Ĥ, L̂2 und L̂y ist und bestimmen Sie die jeweiligen
Eigenwerte.
(b) Angenommen das System wurde im Zustand Ψ2py präpariert. Was sind die möglichen Meßwerte bei einer Messung der z-Komponente des Drehimpulses? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten diese Eigenwerte zu finden.
9. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für das H-Atom ist gegeben durch
"
#
µ 2
¶
∂
L̂2
~2
2 ∂
−
+
+
+ V (r) Ψ(r) = EΨ(r).
2m ∂r2 r ∂r
2mr2
(1)
Der Ortsvektor des Elektrons ist durch r = (r, θ, ϕ) gegeben. Aufgrund der Kugelsymmetrie des
Ze2
.
Coulomb-Potentials gilt V (r) = V (r) = − 4π²
0r
(a) Wie erhält man aus Gl. (1) die Radialgleichung, welche nur noch von r abhängt?
h³ 2
´
i
∂
2 ∂
2
(b) Geben Sie den Kommutator ∂r
+
,
L̂
an.
2
r ∂r