1 Felder aus statischen Ladungs

Technische Universität München
Christian Neumann
Vorlesung Montag
1
1.1
Ferienkurs Elektrodynamik
SS 2009
Felder aus statischen Ladungs- und Stromverteilungen
Das Coulombgesetz
Geladene Teilchen üben Kräfte aufeinander aus. Sie können sich sowohl anziehen als auch abstoßen.
Die Wechselwirkung zweier Teilchen genügt dem Coulombschen Gesetz:
F~12 =
1.2
1 q1 q2
2 ê12
4π0 r12
Elektrisches Feld
Der nächste Schritt ist nun die Einführung eines Feldes, das beschreibt, wie groß die Kraft auf eine
Probeladung im Feld einer anderen Ladung(-verteilung) ist.
~
F~ = qp E
Hieraus folgt sofort das elektrische Feld für eine Punktladung am Ort ~r0 :
~ r) =
E(~
Q
1
(~r0 − ~r)
4π0 |~r0 − ~r|3
Da für das elektrische Feld das Superpositionsprinzip gilt, ergibt sich für das Feld mehrerer
Ladungen
X
qi
~ r) = 1
E(~
(~ri − ~r)
4π0 i |~ri − ~r|3
Ein Übergang von diskreten Punktladungen zu einer kontinuierlichen Ladungsverteilung der sog
Ladung
Ladungsdichte ρ(~r) = Volumen
liefert dann
~ r) =
E(~
1
4π0
Z
ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0
d r
|~r − ~r0 |3
(1)
Mit Hilfe von (1) und der Diracschen Deltafunktion lassen sich auf auch Felder von diskreten
Ladungsverteilungen bestimmen.
So kann zum Beispiel die Ladungsdichte einer Punktladung mit Ladung q am Ort ~r0 ausgedrückt
werden durch:
ρ(~r) = qδ(~r − ~r0 )
Die Kraft, die ein elektrisches Feld auf ein Volumenelement dV mit Ladungsdichte ρ ausübt, ist
dann gegeben durch
~ r)
dF~el = ρdV E(~
1.3
Elektrisches Potential
Das Elektrische Feld ist konservativ und kann somit als Gradient eines Potentials dargestellt werden.
~ = −∇φ
~
E
1
Bei zusätzlicher Anwesenheit eines zeitabhängigen Magnetfeldes kommt noch ein weiterer Term
hinzu.
~
~ = −∇φ
~ − ∂A
E
∂t
Die Existenz des Potentials lässt nun auch eine sinnvolle Definition der Spannung zu.
ZL2
U=
~ · d~r = φ(L1 ) − φ(L2 )
E
L1
Die Spannung entspricht der Energie/Ladung die ein Teilchen gewinnt, wenn es das elektrische
~ r) auf einem beliebigen (!) Weg von L1 nach L2 durchläuft.
Feld E(~
1.4
Magnetisches Feld
Das magnetische Feld entsteht durch Kräfte zwischen bewegten Ladungen. Diese sind gegeben
durch die Lorentz-Kraft:
~
F~ = q(~v × B)
Zur Berechnung des Magnetfeldes führt man zwei praktische Größen ein. Zum einen den Strom
dq
Ladung
=
Zeit
dt
I=
zum anderen die Stromdichte
Strom
I
=
Fläche
A
Das magnetische Feld lässt sich dann wie folgt berechnen:
j=
~ r) = µ0
B(~
4π
Z ~ 0
j(~r ) × (~r − ~r0 ) 3 0
d r
|~r − ~r0 |3
Die magnetische Kraft, die auf eine bewegte Ladungsdichte ρ wirkt, ist dann gegeben durch:
~ r)) = ~j(~r)dV × B(~
~ r) = Id~r × B(~
~ r)
dF~mag = ρ(~r)dV (~v × B(~
1.5
Magnetisches Vektorpotential
Für das magnetische Feld lässt sich im Gegensatz zum elektrischen kein Potential finden. Es existiert aber ein zugehöriges Vektorpotential.
~ =∇
~ ×A
~
B
1.6
Eichungen der Potentiale
Die Potentiale sind nicht eindeutig bestimmt. So kann man zum Beispiel zum elektrischen Poten~ = ~0 addieren. Daher kann man spezielle zusätzliche
tial φ eine beliebige Funktion f (~r) mit ∇f
Eichungen für die Potentiale wählen. Die verbreitetsten sind die Coulomb-Eichung
~ ·A
~=0
∇
und die Lorenz-Eichung
~ ·A
~ + 1 ∂φ = 0
∇
c20 ∂t
Die letztere hat den Vorteil Lorentz-Invariant zu sein.
2
2
Multipolentwicklung des elektrischen Potentials
2.1
in kartesischen Koordinaten
Für große Entfernungen von der Ladungsverteilung (im Vergleich zu ihrer Ausdehnung) kann man
das Potential entwickeln. Dies vereinfacht die Berechnung des elektrischen Potentials stark. Die
exakte Form lautet:
Z
1
ρ(~r0 )d3 r0
φ(~r) =
(2)
4π0
|~r − ~r0 |
Die Taylorentwicklung des “störende’ 1/|~r − ~r0 | Terms lautet:
1
1
1
1
= q
=√
0
2
0
02
|~r − ~r |
r 1 − 2 ~r·~r0 +
r − 2~r · ~r + ~r
r2
r 02
r2
=
1
1
√
r 1−ξ
Die Entwicklung von dem Wurzelterm lautet:
√
1
1
3
= 1 + ξ + ξ 2 + o(ξ 3 )
2
8
1−ξ
Hieraus folgt:
1
|~
r −~
r0 |
=
1
r
1+
=
1
r
+
~
r ·~
r0
r2
~
r ·~
r0
r3
+
−
r 02
r2
+
3
8
·4·
3(~
r −~
r 0 )2 −r 2 r 02
2r 5
3
0
(~
r ·~
r 0 )2
r4
+ 1r o
r
+o
r
r0
r
3
Die ersten 3 Multipole sind also geben durch den:
Monopol
Z
Q
ρ(~r0 ) 3 0
1
d r =
φ0 (~r) =
4π0
r
4π0 r
In großer Entfernung sieht man also in erster Ordnung die Gesamtladung.
Den Dipol
Z
1
~r · p~
ρ(~r0 )
φ1 (~r) =
(~r · ~r0 )d3 r0 =
4π0
r3
4π0 r3
mit dem Dipolmoment der Ladungsverteilung
Z
p~ := ρ(~r0 )~r0 d3 r0
Für das elektrische Feld des Dipols ergibt sich durch Anwendung des Nabla-Operators
p~
3~r
~ 1 (~r) = −∇φ1 (~r) = − 1
E
−
(~
r
·
p
~
)
4π0 r3
r5
und dem Quadrupol
φ2 (~r) =
wobei
Z
Qij =
2.2
3
X
xi xj
1
Qij 5
2 · 4π0 i,j=1
r
(3x0i x0j − r02 δij )ρ(~r0 )d3 r0
Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen
Bei kugelsymmetrischen Problemen ist es günstiger, die Kugelflächenfunktionen zu verwenden. Die
Entwicklung von 1/|~r − ~r0 | lautet:
∞
l
l
X
r<
1
4π X
∗
=
Ylm (ϕ, ϑ)Ylm
(ϕ0 , ϑ0 )
l+1 2l + 1
|~r − ~r0 |
r>
l=0
m=−l
3
mit r< = min{r, r0 }, r> = max{r, r0 }
Einsetzen in (2) liefert dann die Sphärischen Multipolmomente
∞
l
1 X X
φ(~r) =
4π0
r
l=0 m=−l
mit
r
qlm =
2.3
4π
2l + 1
Z
4π qlm
Ylm (ϑ, ϕ)
2l + 1 rl+1
∗
d3 r0 ρ(~r0 )r0l Ylm
(ϑ0 , ϕ0 )
Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen
Die Kugelflächenfunktionen haben die Form
Ylm (ϑ, ϕ) = alm Plm (cos ϑ) exp(imϕ)
wobei alm ein Normierungsfaktor und Plm die geordneten Legendrepolynome bezeichnet. Sie
sind außerdem orthonormal, das heisst
Z2π
Zπ
dϕ
0
sin ϑdϑ
Yl∗0 m0
Ylm = δll0 δmm0
0
Ausserdem sind sie ein vollständig, man kann also jede (integrable) Funktion f (ϑ, ϕ) nach den
Kugelfächenfunktionen entwickeln:
f (ϑ, ϕ) =
∞ X
l
X
clm Ylm (ϑ, ϕ)
l=0 m=−l
Multiplikation mit Yl∗0 m0 und Integration über alle Winkel liefert dann die Entwicklungskoeffizienten
Z
∗
clm = dΩf (ϑ, ϕ)Ylm
2.4
ein Beispiel
Gegeben sei eine Stromverteilung
ρ(~r) = Qδ(r − r0 )
z
= Qδ(r − r0 ) cos ϑ
r
Gesucht ist die Multipolentwicklung der Stromverteilung. Hierfür ist es günstig die Ladungsverteilung zunächst in Kugelflächenfunktionen auszudrücken.
r
4π
ρ(~r) = Qδ(r − r0 ) cos ϑ =
Qδ(r − r0 )Y10 (ϕ, ϑ)
3
damit ergibt sich für die Komponenten der sphärischen Multipolentwicklung
r
r
r
Z
Z
4π
4π
4π
3
l ∗
∗
qlm =
d rρ(~r)r Ylm (θ, ϕ) =
Q
d3 rδ(r − r0 )Y10 (ϕ, ϑ)rl Ylm
(θ, ϕ)
2l + 1
3
2l + 1
r
=
4π
3
r
4π
Q
2l + 1
Z∞
rl+2 δ(r − r0 )dr
Z
r
∗
dΩYlm
(Ω)Y10 (Ω) =
4π
3
r
4π
Qrl+2 δl1 δm0
2l + 1 0
0
Das heisst alle Komponenten ausser der mit l = 1 und m = 0 verschwinden.
∞
l
1 X X
φ(~r) =
4π0
l=0 m=−l
r
4π qlm
1 r03
1 r03
Ylm (θ, ϕ) =
Q 2 cos θ =
Q z
l+1
2l + 1 r
30 r
30 r3
4
2.5
Vergleich der Entwicklungen
Ein Vergleich der Entwicklungen zeigt, dass man für l = 0 das Monopolmoment
Z
1
Y00 = √
⇒ q00 = c00 d3 r0 ρ(~r0 ) = c00 Q
4π
für l = 1 das Dipolmoment
Y10 = c10 cos ϑ
Z
0
⇒ q10 = c10
Z
Y1±1 = c1±1 sin ϑ0 exp(±iϕ0 )
⇒ q1±1 = c1±1
d3 r0 r0 cos ϑ0 ρ(~r0 ) = c10 pz
d3 r0 r0 sin ϑ0 (cos ϕ0 ±sin ϕ0 )ρ(~r0 ) = c1±1 (px ±ipy )
und für l = 2 die Komponenten des Quadropols erhält.
3
Multipolentwicklung des Magnetischen Vektorpotentials
Auch das Magnetische Vektorpotential lässt sich entwickeln. Bei der Wahl der Coulomb-Eichung
ergibt sich für das Potential:
Z ~ 0
j(~r ) 3 0
~ r) = µ0
d r
A(~
4π
|~r − ~r0 |
entwickelt man wider den 1/|~r − ~r0 | Term so ergibt sich
02 Z
1 ~r · ~r0
r
1
~ r) = µ0
A(~
d3 r0~j(~r0 )
+ 3 +o
4π
r
r
r2 r
Der erste Term
~ 0 (~r) = µ0
A
4πr
Z
~j(~r0 )d3 r0
liefert keinen Beitrag, da bei einer lokal begrenzten Stromverteilung genauso viel Ladung rein- wie
ausfliesst. Für das magnetische Dipolmoment ergibt sich
Z
µ0
~ d (~r) = µ0
A
(~r · ~r0 )~j(~r0 )d3 r0 = 1
(~
µ × ~r)
3
4πr
4πr3
mit dem magnetischen Dipolmoment:
µ
~=
1
2
Z
~r0 × ~j(~r0 )d3 r0
Das zugehörige magnetische Feld
~) − µ
~ r2
~ r) = ∇
~ × A(~
~ r) = µ0 3~r(~r · µ
B(~
4π
r5
hat die gleiche Struktur wie das magnetische Dipolfeld.
1 Für
einen Beweis siehe z.B Fließbach, Elektrodynamik, Kapitel 15
5