Angabe

Erlangen den 8. Januar 2009
Hausübungen zur Vorlesung ‘Quantenmechanik II”
Aufgabe H10:
Wir betrachten die Photo-Ionisation eines Atoms. Das Elektron sitzt anfangs im
Grundzustand ψ0 (r) mit der Energie E0 . Das System wird gestört durch ein kohärentes Photon der Frequenz ω. Die Störung wird in Dipolnäherung durch den Operator
V̂ = −
eA0
epol ·p̂
mc
(1)
beschrieben, wobei A0 die Amplitude des Vektorpotentials ist, epol die Richtung
der linearen Polarisation des Photons und p̂ der Impulsoperator des Elektrons. Die
Photonenenergie soll größer sein als die Bindungsenergie, so dass Ef = E0 + h̄ω > 0,
also der Endzustand des Elektrons im Kontinuum liegt. Wir approximieren den
Endzustand durch eine ebene Welle
p
p
i
(2)
ψf = (2π)−3/2 e h̄ pf ·r , pf = |pf | = 2mEf = 2m(E0 + h̄ω) .
Die Übergangsrate wird mit Fermi’s goldener Regel
¯2 ¡
¢
2π ¯¯
¯
P0→f =
¯hψf |V̂ |ψ0 i¯ δ Ef − (E0 + h̄ω) .
h̄
(3)
Der Betrag pf des auslaufenden Impulses ist mit Ef fixiert. Die Richtung ist frei
und wird als Winkelverteilung gemessen.
a) Zeigen Sie, dass sich die Übergangsrate durch die Fouriertransformierte der
Grundzustandswellenfunktion ausdrücken lässt, d.h. dass
µ
¶2
¯ ³ p ´¯2 ¡
¢
2π eA0
¯
f ¯
|epol ·pf |2 ¯ψ̃0
P0→f =
¯ δ Ef − (E0 + h̄ω) , (4a)
h̄
mc
h̄
Z
ik·r
¡ ¢
e
ψ̃0 k =
d3 r
ψ0 (r) .
(4b)
(2π)3/2
1P
b) Nun betrachten wir speziell den Grundzustand eines H-Atoms
3P
1
ψ0 = p 3 e−r/a0
πa0
,
(5)
wobei a0 = 0.53 Å der Bohr-Radius ist. Zeigen Sie, dass
¡ ¢ 4a03/2
1
ψ̃0 k = √
π 2 (1 + k 2 a20 )2
Zeigen Sie zuvor, dass
R∞
0
dx xe−λx = λ−2 .
.
(6)
c) Nun soll nur der Winkel des auslaufenden Elektrons gemessen werden, aber nicht
dessen Energie. Berechnen Sie dafür die Energie- bzw. Impuls-integrierte Rate
R∞
R0→f = 0 dpf p2f P0→f . Zeigen Sie, dass
R0→f =
¯
¯
p3f a30
16e2 A20
¯epol ·ep ¯2
i
h
f
4
2
2
2
p a
πh̄mc
1 + h̄f 2 0
,
epf =
pf
pf
.
3P
(7)
Diskutieren Sie die Winkelverteilung.
R
(tot)
d) Berechnen Sie die totale Übergangsrate R0→f = d2 ΩR0→f . Skizzieren Sie die
Abhängigkeit von pf . Für welchen Endimpuls pf wird die Rate maximal? Welche Photonenenergie h̄ω braucht man für die maximale Rate bei Wasserstoff,
bei dem E0 = −13.6 eV ist?
X
sin (x)
∗
il jl (kr)Ylm (Ωk )Ylm
(Ωr ) , j0 =
,
Hilfe: eik·r = 4π
x
rlm
r
r
1
3
3
Y00 =
, Y10 =
cos(ϑ) , Y1±1 = ∓
sin(ϑ)e±ıϕ
4π
4π
8π
.
3P