Sammlung von¨Ubungsaufgaben der Quantenmechanik
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Sammlung von Übungsaufgaben der Quantenmechanik Mario Chemnitz Friedrich-Schiller-Universität Jena 18. Juli 2008 1 1.1 Aufgaben Messung am Wasserstoffatom Zum Zeitpunkt t = 0− (d.h. instantan vor dem Zeitpunkt t = 0) sei ein ruhendes Wasserstoffatom in einem durch die Wellenfunktion µ ¶ µ ¶ z r + x −r/3a x r −r/2a √ +1− Ψ0− = 1− e + +e e−r/2a 27a 6a 2a 4 2a beschriebenen Zustand. ~ 2 durchgeführt und der a) Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine Messung des Drehimpulsquadrates L 2 Messwert 2~ gefunden. Wie sieht die normalisierte Wellenfunktion Ψ1 (x) direkt nach der Messung (t = 0+ )? b) Für t > 0 werde nun eine Messung der Energie durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w1 (x), dabei einen Energiewert kleiner −3eV zu finden? 1 2 Lösungen 2.1 Messung am Wasserstoffatom ~ 2 und Lz Operators: Gegeben seien die normierte Eigenfunktionen des H, L Ψnlm = a−3/2 fnl (r) Ylm (ϕ, ϑ), wobei Ylm (ϕ, ϑ) die Kugelflächenfunktionen sind und fnl (r) die assoziierten Laquerre-Polynome. In diese Eigenfunktionen entwickeln wir nun unseren gegeben Zustand Ψ0− . µ ¶ ¶ µ r cos ϑ r r cos ϕ sin ϑ −r/3a r r cos ϕ sin ϑ √ Ψ0− (~r) = 1− − e +1− + e−r/2a e−r/2a + 27a 6a 6a 2a 4 2a r ´ −r/3a 1 1 ³ = 1− re cos ϑ − r2 e−r/3a cos ϕ cos ϑ sin ϑ + 2 27a 6a 6 · 27a ¶ µ 1 1 + √ r e−r/2a cos ϕ sin ϑ + 1 − r e−r/2a + e−r/a 2a 4 2a Mit r cos ϕ sin ϑ = und ¢ 8π 1 ¡ −1 · Y1 − Y11 3 2 r cos ϕ sin ϑ cos ϑ = ¢ 8π 1 ¡ −1 · Y − Y21 15 2 2 folgt r Ψ0− (~r) = ¯ ® ¯Ψ 0 − = √ ¡ ¢ π π f31 (r) Y10 (ϕ, ϑ) − f32 Y2−1 (ϕ, ϑ) − Y21 (ϕ, ϑ) + 8 4 r ¡ ¢ √ √ π f21 Y1−1 (ϕ, ϑ) − Y11 (ϕ, ϑ) + 8π f20 (r) Y00 + π f10 Y00 + 2 µ √ ® 1¯ ® 1¯ ® ® ® 1 ¯ 1 ¯ 1 ¯ a3 π √ ¯Ψ310 − ¯Ψ32−1 + ¯Ψ321 + √ ¯Ψ21−1 − √ ¯Ψ211 + 4 4 8 2 2 √ ¯ ® ¯ ®´ + 8¯Ψ200 + ¯Ψ100 a) Laut dem fünften Postulat der Quantenmechanik ergibt sich der kollabierte normierte Zustand nach einer Messung aus der Anwendung des entsprechenden Projektors P auf den Ursprungszustand und der entsprechenden Normierung ¯ ® ¯ ¯ ® ¯Ψ0+ = ­ P ¯Ψ0¯− ® . Ψ0− ¯P¯Ψ0− ~ 2 mit dem Messwert 2~2 . Da die Kugelflächenfunktionen Gemessen wurde das Drehimpulsquadrat L 2 ~ Eigenfunktionen von L sind ~ 2 Ylm (ϕ, ϑ) = l(l + 1)~2 Ylm (ϕ, ϑ) L sieht man, dass die einzigen Zustände, die den gegebenen Messwert ergeben können, zu der Nebenquantenzahl l=1 zugehörig sind. Als spezieller Projektor ergibt sich dementsprechend ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ®­ ®­ ®­ P ~ 2 (l = 1) = ¯Ψ310 Ψ310 ¯ + ¯Ψ21−1 Ψ21−1 ¯ + ¯Ψ211 Ψ211 ¯. L Für den neuen Zustand ergibt sich nun: ¶ µ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ® ® ® ® ® ¯Ψ̃0+ = P ~ 2 ¯Ψ0 = C · √1 ¯Ψ310 + √1 ¯Ψ21−1 − √1 ¯Ψ211 − L 8 2 2 2 ¯ ­ ® Mit Ψn0 l0 m0 ¯Ψnlm = δnn0 δll0 δmm0 folgt für die Normierung: ¯ ® ­ Ψ̃0+ ¯Ψ̃0+ ! = 1 µ = |C|2 · = |C|2 · r ⇒C= ¯ ¯ ¯ ® 1­ ® 1­ ® 1­ Ψ310 ¯Ψ310 + Ψ21−1 ¯Ψ21−1 + Ψ211 ¯Ψ211 8 2 2 ¶ 9 8 8 iϕ e 9 Somit ergibt sich als normierter operierter Zustand: iϕ ³¯ ¯ ¯ ¯ ® ® ®´ ® ¯Ψ0+ = e · ¯Ψ310 + 2¯Ψ21−1 − 2¯Ψ211 3 ¯ ® b) Der Zustand ¯Ψ(t) folgt aus ¯ der ® Anwendung des Evolutionsoperators auf den vorher berech¯ neten operierten Zustand Ψ0+ : ¯ ¯ ® ® ¯Ψ(t) = U(t, 0)¯Ψ0 + ¯ ¯ ® ® ®´ eiϕ −i H t ³¯¯ = ·e ~ Ψ310 + 2¯Ψ21−1 − 2¯Ψ211 3 ® ® ®´ E2 ¯ E2 ¯ eiϕ ³ −i E3 t ¯¯ e ~ Ψ310 + 2e−i ~ t ¯Ψ21−1 − 2e−i ~ t ¯Ψ211 = 3 Desweiteren wissen wir E2 = −3.4eV < −3eV < E3 = −1.5eV, wodurch wir sehen, das nur Energiewerte für die Quantenzahl n ≤ 2 in Frage kommen können. Bei der Messung dieser Energiewerte wirkt¯ wiederum ein Projektor auf den schon einmal ope® ¯Ψ(t) . Dieser Projektor lautet in unserem speziellen rierten, aber nun evolutionierten, Zustand ¯ ® Fall, da nur für n = 2 Eigenzustände in ¯Ψ(t) vorkommen: ¯ ¯ ¯ ¯ ®­ ®­ PE (n = 2) = ¯Ψ21−1 Ψ21−1 ¯ + ¯Ψ211 Ψ211 ¯ Für die Wahrscheinlichkeit w1 (t) gilt, laut dem vierten Postulat der Quantenmechanik: ¯ ®¯2 = ¯PE |Ψ(t) ¯ ¯ ¯ ¯ 2 iϕ −i E2 t ¯ ® 2 iϕ −i E2 t ¯ ®¯2 ¯ ¯ ¯ = ¯ e e ~ Ψ21−1 − e e ~ Ψ211 ¯¯ 3 3 8 4 4 + = = 9 9 9 ¯ ® Die Wahrscheinlichkeit bei dem präparierten, evolutionierten Zustand ¯Ψ(t) eine Energie kleiner als −3eV zu messen beträgt 88, 9%. w1 (t) 3 Quellen 1. Klausuren des SS08 der Veranstaltung Quantenmechanik I von Bernd Brügmann 3
