EP III - Seminar

Miriam Kümmel
12. Januar 2009
EP III - Seminar
Operatoren
Statistik-Exkurs
Zur Berechnung des Mittelwertes:
n
<x>=
1X
xi
n i=1
N
=
=
1X
xj |G(xj )|
n j=1
N
X
xj
j=1
=
N
X
|G(xj )|
n
xj p(xj )
j=1
wobei |G(xj )| die Größe der Gruppe G(xj ) bezeichnet, die alle xi enthält, die den selben Wert wie xj haben, und somit
|G(xj )|
|G(xj )|
die relative Häufigkeit von xj und p(xj ) :=
die
die absolute Häufigkeit von xj bezeichnet. Damit ist
n
n
PN
Wahrscheinlichkeit von xj . Offensichtlich gilt
j=1 p(xj ) = 1. Für eine kontinuierliche Verteilungsfunktion f (x) der
R∞
Größe x mit −∞ f (x)dx = 1 gilt:
Z ∞
< x >=
xf (x)dx
−∞
Operatoren in der Quantenmechanik Da |Ψ(x)2 | = Ψ(x)∗ Ψ(x) die Wahrscheinlichkeit ist, das Teilchen mit der Wellenfunktion Ψ am Ort x zu finden, ist der Erwartungwert für den Ort des Teilchens:
Z ∞
<x>=
x|Ψ(x)2 |dx
−∞
Z ∞
=
xΨ(x)∗ Ψ(x)dx
−∞
Z ∞
=
Ψ(x)∗ xΨ(x)dx
−∞
Der Operator  zur Obervablen A, also der untersuchten physikalischen Größe, ist definiert durch
Z ∞
< A >=
Ψ∗ ÂΨdτ
−∞
Für jede physikalische Größe, die von Ort und Impuls abhängt, gibt es einen Operator.
Gilt für einen Operator ÂΨ = AΨ, so ist die Funktion Ψ eine Eigenfunktion des Operators  mit dem Eigenwert A.
Gibt es zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen, nennt man ihn entartet. Man kann nur die Eigenwerte messen. Die
Eigenfunktionen beschreiben mögliche Zustände insoweit A betroffen ist. Die gemessenen Größen sollen reell sein. Die
Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell und ihre Eigenfunktionen orthogonal. Daher sind die in der Quantenmechanik
verwendeten Operatoren hermitesch:
Z Z
ast
∗
Ψ1 ÂΨ2 dτ =
ÂΨ2
Ψ1 dτ
Für ÂΨ = AΨ gilt:
∆A2 =< A2 > − < A >2
2
Z
Z
Ψ∗ ÂΨdτ
= Ψ∗ Â2 Ψdτ −
Z
Z
∗
Ψ ÂΨdτ −
=A
∗
Ψ AΨdτ
2

= A2
Z
2
Z


∗

Ψ∗ Ψdτ − 
A Ψ Ψdτ 
| {z }
| {z }
=1
=1
= A2 − A2 = 0
Herleitung einiger Operatoren
Die stationäre Schrödingergleichung
−
~2
4 Ψ + Epot Ψ = EΨ
2m
lässt sich auch in Operatorschreibweise schreiben: ĤΨ = EΨ, wobei der Hamilton-Operator Ĥ vom Potential Epot (~r)
abhängig ist.
Der Operator für die kinetische Energie ergibt sich aus der Schrödingergleichung:
Ekin Ψ = (E − Epot )Ψ = −
~2
~2
4 Ψ ⇒ Êk in = −
4
2m
2m
i
Mit der Wellengleichung Ψ = Aei(kr−ωt) = Ae ~ (~p·~x−E·t) lässt sich aus der Ableitung in kartesischen Koordinaten
i
∂Ψ
∂Ψ
= px Ψ ⇒ −i~
= px Ψ
∂x
~
∂x
∂Ψ
i
∂Ψ
= py Ψ ⇒ −i~
= py Ψ
∂y
~
∂y
∂Ψ
i
∂Ψ
= pz Ψ ⇒ −i~
= pz Ψ
∂z
~
∂z
⇒ −i~ 5 Ψ = p~Ψ
der Impulsoperator zu p̂ = −i~5 bestimmen. Dies ist mit dem physikalischen Zusammenhang Ek in =
2
~2
− 2m
4
(−i~5=
2m
p2
2m
und dem
=
konform.
Operator der kinetischen Energie wegen
~
Für den Drehimpuls gilt nach der klassischen Physik L = ~r × p~ der Operator ist damit L̂ = ~r × (−i~5) = −i~ (~r × 5)
bzw. in kartesischen Koordinaten:
∂
∂
−z
L̂x = −i~ y
∂z
∂y
∂
∂
L̂y = −i~ z
−x
∂x
∂z
∂
∂
L̂z = −i~ x
−y
∂y
∂x
in Kugelkoordinaten gilt:
∂
∂
L̂x = i~ sinϕ
+ cotϑcosϕ
∂ϑ
∂ϕ
∂
∂
L̂y = i~ −cosϕ
+ cotϑsinϕ
∂ϑ
∂ϕ
∂
L̂z = −i~
∂ϕ
2
⇒ L̂ =
L̂2x
+
L̂2y
+
L̂2z
= −~
2
1 ∂
sinϑ ∂ϑ
∂
sinϑ
∂ϑ
1
∂2
+
sin2 ϑ ∂ϕ2
Damit ist L̂2 proportional zum Winkelanteil des Laplace-Operators
∂
∂2
1
∂
1 1
1 ∂
2 ∂
r
+ 2
sinϑ
+ 2
4= 2
r ∂r
∂r
r sinϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin2 ϑ ∂ϕ2
Das bedeutet, dass die Eigenfunktionen von L̂2 Kugelfunktionen sind, mit Ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Ylm (ϑ, ϕ). Mit der Kenntnis
1
∂
∂Θ
m2
dass Θsinϑ
∂ϑ sinϑ ∂ϑ − sin2 ϑ = −c2 und c2 = l(l + 1) folgt:
L̂2 Ψ = L̂2 R(r)Ylm (ϑ, ϕ)
= R(r)L̂2 Ylm (ϑ, ϕ)
= R(r)ˆ( − ~2 4ϑ,ϕ )Ylm (ϑ, ϕ)
= R(r)l(l + 1)~2 Ylm (ϑ, ϕ)
= l(l + 1)~2 Ψ
⇒< |L| >=
p
l(l + 1)~2
Und für die z-Komponente des Drehimpuls folgt mit Ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) und Φ(ϕ) = eimϕ :
∂
R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ)
∂ϕ
∂
= −i~R(r)Θ(ϑ) eimϕ
∂ϕ
= m~Ψ
L̂z Ψ = −i~
⇒< Lz >= m~
klassische Physik
~r
p~
Physikalische
Ort ~r
Impuls p~
kinetische Energie Ekin
Gesamtenergie E
~
Drehimpuls L
p2
2m
Ekin + Epot
~r × p~
z-Komponente des Drehimpuls Lz
Operator
~r
−i~5
~2
− 2m
4
~2
− 2m
4 +Epot (~r)
−i~ (~r × 5)
∂
−i~
∂ϕ
Vertauschbarkeit von Operatoren Angenommen, die Funktion Ψ ist Eigenfunktion der beiden Operatoren  und B̂ mit
ÂΨ = AΨ und B̂Ψ = BΨ, dann gilt:
ÂB̂Ψ = ÂBΨ = B ÂΨ = BAΨ
B̂ ÂΨ = B̂AΨ = AB̂Ψ = ABΨ
⇒ ÂB̂ − B̂ Â Ψ = 0 ⇔ ÂB̂Ψ = B̂ ÂΨ
h
i
⇒ Â, B̂ := ÂB̂ − B̂ Â = 0
d.h. Â und B̂ sind vertauschbar.
Beispiel: Ortsoperator x̂ und Impulsoperator p̂:
d
d
(x̂p̂ − p̂x̂) Ψ = x −i~
− −i~
x Ψ
dx
dx
d
d
= −i~x Ψ + i~ (xΨ)
dx
dx
d
d
d
= −i~x Ψ + i~x Ψ +i~Ψ x = i~Ψ
dx
dx
dx
|
{z
}
|{z}
=0
=1
⇒ [x̂, p̂] = i~
Leiteroperatoren
Für den harmonischen Oszillator wird die Schrödingergleichung zu
−
p
mit ξ = x mω
~ und ε =
E
~ω
~2
1
4 Ψ + ω 2 mx2 Ψ = EΨ
2m
2
folgt
⇒
1
2
−
∂2
2
+
ξ
Ψ(ξ) = εΨ(ξ)
∂ξ 2
Mit dem Ansatz, der Hamilton-Operator ließe sich als Produkt zweier Operatoren darstellen Ĥ = b† b, erhält man:
1
∂
1
∂
1
∂2
1
∂
∂
2
√
√
−
+ξ
+ ξ Ψ(ξ) =
− 2 + ξ Ψ(ξ) +
− ξ+ξ
Ψ(ξ)
∂ξ
2
∂ξ
2
∂ξ
∂ξ
2
2 ∂ξ
{z
}|
{z
}
{z
}
|
|
∂
∂
∂
=b
=b†
=− 12 (Ψ(ξ) ∂ξ
ξ+ξ ∂ξ
Ψ(ξ)−ξ ∂ξ
Ψ(ξ))=− 12 Ψ(ξ)
1
⇒ b b+
2
†
Ψ(ξ) = εΨ(ξ)
1
†
⇒b bΨ(ξ) = ε −
Ψ(ξ)
2
| {z }
|b
n
†
⇒b bΨ(ξ) = nΨ(ξ)
⇒b b† bΨ(ξ) = b (nΨ(ξ))
⇒bb† (bΨ(ξ)) = n (bΨ(ξ))
⇒ 1 + b† b (bΨ(ξ)) = n (bΨ(ξ))
|bb† − b† b = 1
| − bΨ(ξ)
†
⇒b b (bΨ(ξ)) = (n − 1) (bΨ(ξ))
das bedeutet, dass
√ b den Eigenwert um Eins erniedrigt bΨn =
erhöht b† Ψn = n + 1Ψn+1 .
√
nΨn−1 . Analog lässt sich zeigen, dass b† den Eigenwert
bΨ0 = 0
∂
+ ξ Ψ0 = 0
⇒
∂ξ
1
⇒Ψ0 = Ce− 2 ξ
2
⇒Ψn = (b† )n Ψ0
Aufgaben
1. Definieren Sie die Begriffe, Operator, Erwartungswert, Messwert, Eigenwert und Eigenfunktion. (Skript)
2. Was bezeichnet die Aussage, dass zwei Operatoren kommutieren? (Skript)
3. Anwesenheitsaufgaben vom 24.11.
4. Anwesenheitsaufgaben vom 01.12.
5. Blatt 7, Aufgabe 16
6. Blatt 8, Aufgabe 18
7. Blatt 9, Aufgabe 21
8. Man leite aus den Relationen zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten
die Darstellungen der x- y
1
∂
∂
1
∂2
und z-Komponente des Drehimpulsoperators in Kugelkoordinaten und L̂2 = −~ sinϑ
()
sinϑ
+
∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
her. (Demtröder)
9. S.110 Beispiel 2.9 (Alonso/Finn)
10. S.110 Beispiel 2.10 (Alonso/Finn)
11. Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion für freie Teilchen Ψ(x) = e±ikx Eigenfunktionen des Impulsoperators sind, die
zu den Eigenwerten ±~k gehören. (Alonso/Finn)
x
d
12. Geben Sie an, welche der folgenden Funktionen Eigenfunktionen des Operators dx
sind: (a) eikx , (b) ea , (c) sinkx.
d2
Geben Sie jeweils den Eigenwert an. Führen Sie die gleiche Betrachtung für den Operator dx
2 durch. (Alonso/Finn)
13. Zeigen Sie, dass der Impulsoperator hermitesch ist. (Hinweis: Integrieren Sie den Ausdruck auf der linken Seite
ast
R
R
von Ψ∗1 ÂΨ2 dτ =
ÂΨ2
Ψ1 dτ partiell mit  als Impulsoperator, und berücksichtigen Sie das Verhalten der
Wellenfunktionen bei ±∞)(Alonso/Finn)
14. Bestimmen Sie die Mittel- oder Erwartungswerte von x, x2 , p und p2 für die Zustände n = 0 und n = 1 des linearen
harmonischen Oszillators. (Alonso/Finn)
Literatur
• Skript S. 79-88
• Demtröder S. 137-142
• Alonso/Finn S. 104-101