∑ ∑ - Physik (Uni Würzburg)

Übungen zur KM 1:
Quanten-, Atom- und Molekülphysik
WiSem 2010/2011
Prof. Dr. K. Fauth
S. Brück
Extrablatt: Fourier-Analyse & verwandte Themen: Teil 3
3. Orthogonale Funktionen und Differentialgleichungen
Verstehen Sie insb. diesen Abschnitt bitte als Rohfassung (sozus. eine α-Version)
Differentialgleichungen begegnen uns in der Physik in verschiedensten Kontexten. Eine
gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung können wir z.B. schreiben als
n
n
d i f ( x)
d i f ( x)
(
)
=
0
,
oder
aber
auch
als
(
)
+ a0 ' ( x ) f ( x ) = α ⋅ f ( x )
( a0 ' ( x ) = a0 ( x ) + α )
a
x
a
x
∑
∑
i
i
dx i
dx i
i =0
i =1
durch Herausziehen einer ortsunabhängigen Konstante α. Zusammen mit der Gleichung selbst
bestimmen die Randbedingungen das Aussehen der Lösungen. In der zweiten Form besitzt die
Differentialgleichung die Form einer Eigenwertgleichung: gesucht werden (die Lösungs-)
Funktionen f(x) welche durch Anwendung der Vorschriften der Linken Seite (= Anwendung von
Operatoren) bis auf einen Faktor reproduziert werden. Die Lösungen heißen Eigenfunktionen und
die zugehörigen Faktoren α heißen Eigenwerte der Differentialgleichung.
Nun ergibt sich, dass folgende Aussagen zutreffen: Eigenlösungen f α , f β zu verschiedenen
Eigenwerten α ≠ β (bei denselben Randbedingungen) sind zwangsläufig zueinander orthogonal
bzw. in dem zuvor diskutierten Sinne: f α , f β = ∫ f α* ( x) f β ( x)dx = 0 . Dies erfordert natürlich die
Integrierbarkeit der Funktionen, die Einführung des Skalarprodukts etc., was wir hier alles als
gegeben voraussetzen.
Da für lineare DGL da Superpositionsprinzip gilt, ist jede Linearkombination von Eigenfunktion
wiederum eine Lösung der DGL. Man kann aber auch umgekehrt zeigen, dass sich jede Lösung
als Linearkombination der Eigenlösungen schreiben lässt. Solche Linearkombinationen sind dann
i.A. keine Eigenlösungen mehr (das sollten Sie sich rasch selbst klar machen können). Findet
man mehr als zwei verschiedene, d.h. linear unabhängige Lösungen zu demselben Eigenwert, so
sind diese nicht notwendig orthogonal, es lassen sich aber stets durch geeignete
Linearkombinationen orthogonale Eigenfunktionen bilden (Im Gegensatz zu dem Fall oben sind
Linearkombinationen von Eigenfunktionen zu demselben Eigenwert immer auch wieder
Eigenfunktionen). Hierfür gibt es beliebige Möglichkeiten. Welche davon sich zu wählen empfiehlt,
hängt in der Physik häufig von der konkreten Fragestellung ab – welche das sein mögen und wie
man diese Entscheidung trifft, dafür werden Ihnen noch häufiger Beispiele begegnen, auch in der
Atomphysik.
Häufig starten wir in der Physik bei partiellen DGLn, die z.B. Zeit- und Ortsableitungen (ggf. nach
mehreren Koordinaten) beinhalten. Hier haben Sie kennen gelernt, wie durch das Aufsuchen
stationärer Lösungen und die Technik der Separation der Variablen den Übergang zu
gewöhnlichen DGL in Orts- und Zeitkoordinaten gelingen kann. Welche Wahl der Ortskoordinaten
ggf. einen solchen Separationsansatz erlaubt, hängt von der Symmetrie des Problems ab.
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Quanten-, Atom- und Molekülphysik
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4. Differentialgleichungen in der Quantenmechanik – (i) - Schrödingergleichung
In der Quantenmechanik, wie wir sie in dieser Vorlesung betreiben, besitzen die Funktionen (mit
Ortsvariablen als Argument) die physikalische Bedeutung von Wahrscheinlichkeitsamplituden für
r 2
den Aufenthalt im Raum: ϕ A (r ) d 3 r ist die Wahrscheinlichkeit, das beschriebene Objekt im
r
Volumenelement d 3 r um r herum zu finden, wenn sich das Objekt im Zustand A befindet. Der
Zustand wird (im Ortsraum an Hand der Verteilung dieser Wahrscheinlichkeitsamplitude) durch
r
die („Wellen-“) Funktion ϕ A (r ) beschrieben. Dies impliziert bereits, dass Messungen des
Aufenthaltsortes des beschriebenen Objekts im Zustand A (ganz abgesehen von Messfehlern
jeglicher Art) auch prinzipiell kein eindeutiges Ergebnis, sondern vielmehr eine Verteilung von
r 2
Messergebnissen gemäß ϕ A (r ) d 3 r hervorbringen wird – es sei denn, wir hätten eine δ-förmige
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Als prominente Differentialgleichung der QM haben wir die Schrödigergleichung (SG) kennen
gelernt. Die Suche nach stationären Lösungen führt zur zeitunabhängigen Schrödingergleichung
r
(zuSG). Deren Lösungen ϕ (r ) hängen nur vom Ort ab, die zugehörigen vollständigen Lösungen
r
sind von der Gestalt ϕ (r ) ⋅ exp(iω t ) . „Stationäre Lösung“ besitzt dann die Bedeutung einer zeitlich
unveränderlichen räumlichen Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Gleichzeitig stellt sich die zuSG als die Eigenwertgleichung zur Gesamtenergie des zu
beschreibenden Objekts oder „Systems“ heraus. Stationäre Lösungen der SG sind durch eine
wohldefinierte Frequenz ω bzw. zugeordnete Gesamtenergie E = hω gekennzeichnet.
Gemäß dem zuvor gesagten bilden die Lösungen der zuSG eine vollständige, orthogonale (ggf.
orthogonalisierbare) Basis aller möglichen räumlichen Verteilungen der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsamplituden. Wenn ein Objekt (z.B. Elektron im Coulombfeld des Atomkerns) sich in einem
bestimmten (stationären) Zustand mit zugehöriger Gesamtenergie E „befindet“, befindet es sich
(geradezu trivialer Weise) nicht in einem anderen stationären Zustand der Energie E ' . Dies
r
r
schlägt sich zwangsläufig nieder in der Orthogonalität der Wellenfunktionen: ϕ E (r ), ϕ E ' (r ) = 0.
Entsprechend der oben eingeführten Sprechweise ist also in der Wahrscheinlichkeitsverteilung
des einen Zustands kein Anteil derjenigen des anderen Zustands enthalten. All dieses ist
aussagbar, ohne die Lösungen der zuSG konkret bestimmt zu haben. Übrigens ist also die
(Gesamt-) Energie eines stationären Zustandes offenbar beliebig genau definiert, während es der
Aufenthaltsort nicht ist.
Zustände, die aus Linearkombinationen von Eigenzuständen zu verschiedenen Eigenenergien
bestehen, fallen aus der Kategorie der stationären Zustände heraus. De facto müssen sie eine
große Bedeutung in der Physik besitzen (sonst gäbe es keinerlei Veränderungen), aber der
Zugang zur QM geht zunächst einmal über das Verständnis der stationären Zustände.
Das bereits angeklungene Prinzip, dass in bestimmten Zuständen manche Variablen wohldefiniert
(d.h. scharf festgelegt) sind, andere in Form von (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen auftreten, ist
ein Charakteristikum in der QM und dem aus ihr folgenden Verständnis der Physik.
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5. Differentialgleichungen in der Quantenmechanik – (ii) –
Andere Operatoren, Differentialgleichungen, orthogonale Funktionensysteme in der QM
Wir haben in der Vorlesung kennen gelernt, dass physikalischen Größen Operatoren in der
r r
folgenden Art und Weise zugeordnet werden: Sei A(r , p) die Beschreibung der physikalischen
r r
Größe als Funktion von Orts- und Impulsvektor, dann ist Aˆ = A(rˆ , pˆ ) die Vorschrift zur Bildung des
r
r
zugehörigen Operators (zur Erinnerung: bei Anwendung auf Wellenfunktionen ϕ (r ) bedeuten r̂ :
r
r
„Multiplizieren mit r “ und p̂ : „Anwenden des Nabla-Operators (= einfach nach x ableiten in 1
h
Dimension), und das Ergebnis mit − ih = multiplizieren“). Für jeden solchen Operator kann man
i
die Frage stellen, ob es Wahrscheinlichkeitsamplitudenverteilungen (Wellenfunktionen, Zustände
r
des betrachteten Objekts) ϕ Aˆ (r ) gibt, für die der Wert dieser Größe scharf definiert ist. Dies ist
gleichbedeutend mit der Suche nach den Eigenfunktionen und Eigenwerten der Gleichung
Aˆ ϕ Aˆ ( x) = λϕ Aˆ ( x) . (Beinhaltet der Operator ) Â Differentialoperatoren (Ableitungsvorschriften)
Für jede physikalische Größe gibt es solche Eigenwerte und zugehörige Eigenfunktionen. Es
kann auch durchaus verschiedene Sätze der entsprechenden orthogonalen Funktionen zu einund demselben Operator geben (denken Sie z.B. an das zuvor über entartete Zustände gesagte.)
In jedem Fall stellen diese Sätze von Eigenfunktionen eine vollständige orthonormierte (ggf.
orthonormierbare) Basis aller möglichen Zustände dar.
Wir haben nun folgende Aussage: gibt es Funktionen, die zugleich Eigenfunktionen der
Eigenwertgleichungen zweier verschiedener Operatoren (Operatoren zu verschiedenen
physikalischen Größen) sind, so sind in den durch sie beschriebenen Zuständen beide Größen
gleichzeitig scharf definiert und damit auch grundsätzlich beide scharf messbar.
Im anderen Fall, wenn die beiden Eigenwertgleichungen keine gemeinsamen Lösungen besitzen,
können die beiden Größen nicht gleichzeitig scharf bestimmt sein bzw. gemessen werden.
Mathematisch spiegelt sich das unter Anderem darin wieder, dass gleichzeitig scharf messbare
Größen Operatoren besitzen, die „miteinander Vertauschen“: Aˆ Bˆ ϕ = Bˆ Aˆ ϕ , während im andern
Fall diese Relation nicht gilt. Wenn also Aˆ Bˆ ϕ ≠ Bˆ Aˆ ϕ , dann besitzen die beiden Operatoren keine
gemeinsamen Eigenzustände und die zugehörigen physikalischen Größen sind nicht gleichzeitig
scharf definiert oder messbar. Abstrahiert man von der Anwendung der Operatoren auf (Orts-)
Wellenfunktionen und führt den „Kommutator“ [ Aˆ , Bˆ ] − ≡ Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ ein, so bedeutet ein
Verschwinden des Kommutators [ Aˆ , Bˆ ] = 0 die Existenz gemeinsamer Eigenzustände und die
−
gleichzeitige Messbarkeit.
Folgendes Beispiel werden wir in Bälde kennenlernen:
Keine Paarung von zwei der folgenden drei Operatoren Lˆ x , Lˆ y , Lˆ z (x-, y- und z-Komponente des
Drehimpulses) besitzt einen verschwindenden Kommutator (was bedeutet, dass… - ergänzen Sie
selbst!).
Jeder einzelne der drei Operatoren vertauscht aber (bedeutet:…) mit dem Operator zum Quadrat
des Drehimpulses Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .