Die Schrödingergleichung I

Die Schrödingergleichung I
Schrödingergleichung
Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik.
Sie beschreibt als Wellengleichung die zeitliche Entwicklung des Zustandes eines
unbeobachteten Quantensystems.
1. Der Zustand eines Quantenobjektes (z.B. eines Elementarteilchens wie das Elektron
oder Photon) kann durch eine Wellenfunktion 𝜓 𝑟, 𝑡 beschrieben werden.
2. Dabei ist 𝜓 𝑟, 𝑡 2 die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Quantenobjekt in einem
bestimmten Zustand (bei einem Teilchen z.B. der Ort r) zum Zeitpunkt t befindet.
3. Normierungsbedingung: 𝑃 =
sein)
∞
−∞
𝜓 𝑟, 𝑡
2
𝑑𝑟 = 1 (irgendwo muß das Teilchen ja
Die ungestörte zeitliche Entwicklung der Zustands- oder 𝜓 – Funktion eines
Quantenobjektes wird durch die Schrödingergleichung beschrieben. Sie ersetzt somit
in gewisser Weise die klassische Bewegungsgleichung für Punktmassen im
mikrophysikalischen Bereich.
Erwin Schrödinger, 1926
Die Schrödingergleichung wurde postuliert und ist deshalb im strengen Sinne nicht
ableitbar. Sie funktioniert so wie sie funktioniert, weil die Natur sich so verhält...
 Analogon zu: Gesamtenergie = kinetische Energie + potentielle Energie
Gesamtenergie * 𝜓 = Krümmung der Wellenfunktion + potentielle Energie * 𝜓
Beispiel: Elektron in einem unendlich hohen Kastenpotential
Anwendung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
Ein freies Teilchen (Elektron) bewegt sich
in einem potentialfreien Raum zwischen
zwei unendlich großen Potentialen („Wände“)
Ergebnis der Lösung der Schrödingergleichung
„Elektronenwellen“, für die der Wandabstand L ein Vielfaches von 𝜆/2 ist, wobei
𝜆 die de Broglie-Wellenlänge 𝜆 = ℎ/𝑝 und die Energie
ℎ2
𝐸𝑛 =
𝑛2
2
8𝑚 𝐿
ist (mit n=1, 2, 3 ... = Anzahl der Schwingungsbäuche).
Die Energie des Teilchens im Potentialtopf ist gequantelt und hängt nur von
der ganzen Zahl n ab (die Hauptquantenzahl genannt wird)
A) klassisch
B) bis F)
quantenmechanisch
Blau: Realteil
Rot: Imaginärteil
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Elektrons im unendlich hohen Potentialtopf
Folgende drei einfache Schlußfolgerungen lassen sich aus der Lösung der
Schrödingergleichung für ein Teilchen im Potentialtopf ziehen:
1. Die Energie des Teilchens ist proportional dem Quadrat der Quantenzahl n
2. Je länger der Potentialkasten, desto kleiner ist die Energie des Teilchens
3. Je länger der Potentialkasten, desto geringer ist die Differenz zwischen zwei
Energieniveaus n und n+1 im Potentialkasten.
In der Natur gibt es keine unendlich
hohen Potentialwälle. Wie sieht die
Lösung aus, wenn der Potentialtopf
eine endliche Höhe hat?
Beispiel: Coulomb-Wall um einen
Atomkern
Bei endlich hohen Potentialwänden existiert immer eine kleine Wahrscheinlichkeit, daß
sich das Teilchen außerhalb des Potentialtopfes aufhalten kann.
Anwendung: Der Tunneleffekt
Ein Teilchen kann einen endlich hohen Potentialwall mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit „durchtunneln“, auch wenn die Energie zur Überwindung
des Potentialwalls nicht ausreicht.
Kernfusion
Mathematische Ergänzung:
Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung 𝐻 𝜓 = 𝐸𝜓 für einen unendlich
tiefen (oder hohen) Potentialtopf
1. Potential:
Ein freies Teilchen befindet sich in einem
Kastenpotential V(x) der Form
𝑉 𝑥 = 0 für 0 < 𝑥 < 𝐿
𝑉 𝑥 = ∞ für 𝑥 < 0 oder 𝑥 > 𝐿
Im „Außenbereich“ besitzt die Schrödingergleichung nur die Lösung 𝜓 𝑥 = 0 (d.h.
dort kann sich das Teilchen niemals aufhalten), was zu den Randbedingungen
𝜓 𝑥 = 0 = 0 und 𝜓 𝑥 = 𝐿 = 0 führt.
2. Schrödingergleichung im Innern des Potentialtopfes
ℏ2 𝜕 2 𝜓 𝑥
−
+ 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓(𝑥)
2𝑚 𝜕𝑥 2
ℏ2 𝜕 2 𝜓 𝑥
−
= 𝐸𝜓(𝑥)
2𝑚 𝜕𝑥 2
Wellenzahl k
𝜕2𝜓 𝑥
2𝑚𝐸
2
=
−
𝜓
𝑥
=
−𝑘
𝜓 𝑥
𝜕𝑥 2
ℏ2
3. Allgemeine Lösung
𝜓 𝑥 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥
4. Bestimmung der Konstanten A und B aus den Randbedingungen
𝜓 𝑥=0 =0
liefert sofort B=0, also
𝜓 𝑥=𝐿 =0
führt zu
𝜓 𝑥 = 𝐴 sin 𝑘𝑥
𝜓 𝐿 = 𝐴 sin 𝑘𝐿 = 0
Diese Bedingung ist nur dann erfüllt, wenn k L ein ganzzahliges Vielfaches von 𝜋 ist.
𝜋
k wird somit auf die Werte 𝑘𝑛 eingeschränkt: 𝑘𝑛 = 𝑛 𝐿 für n=1, 2, 3, ....
Wird die Wellenzahl k nun durch die Wellenlänge 𝜆 ausgedrückt
𝐿=𝑛
𝜆𝑛
2
dann entspricht das quasi „stehenden Wellen“ auf einer zwischen x=0 und x=L
eingespannten Saite.
2𝑚𝐸
Da die Wellenzahl k über 𝑘 2 = 2 mit der Energie E verknüpft ist, können die
ℏ
Energieeigenwerte des im Potentialtopf gefangenen Teilchens nur die diskreten
Werte
2
(ℏ 𝑘𝑛 )2
ℎ
𝐸𝑛 =
= 𝑛2
2𝑚
8𝑚 𝐿2
ℎ2
annehmen. Die kleinstmögliche Energie 𝐸1 = 8𝑚 𝐿2 nennt man die Nullpunktsenergie.
5. Normierung der Wellenfunktion
∞
𝜓(𝑥)
2
𝑑𝑥 = 1
−∞
𝐿
𝐿
2
2
𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝐿 𝑑𝑥 = 1
0
→
2
𝐴
0
1 − cos 2𝑘𝐿
𝑑𝑥 = 1
2
𝐴2
𝐿
=1
2
und damit ergibt sich für die normierte Wellenfunktion eines Teilchens im unendlich
tiefen (hohen) Potentialtopf
𝜓𝑛 𝑥 =
2
𝐿
sin
𝑛𝜋
𝐿
𝑥
n=1, 2, 3, ....
Und wer Lust hat, kann ja mal die gleiche Rechnung für einen endlich hohen (tiefen)
Potentialtopf ausführen... Wo liegt der Unterschied in den Lösungen?