Lösungen - Institut für Theoretische Physik

Dr. J. Reinhardt
Sommersemester 2014
Theoretikum zur Vorlesung
Theoretische Physik II für Lehramtskandidaten
Lösungen zu Blatt 5
Aufgabe 1
Das Dipolmoment einer Anordnung von Punktladungen qi lautet
p~ =
N
X
qi~ri .
i=1
Das Resultat hängt nicht vom Koordinatenursprung ab (warum?),
wir wählen das Zentrum des Sauerstoffatoms. Dann gibt es nur zwei
Summanden
θ θ
θ θ
θ
p~ = δH d cos ~ex + sin ~ey + δH d cos ~ex − sin ~ey = 2δH d cos ~ex = p ~ex
2
2
2
2
2
p = 2 · 0.32e 95.8 · 10−12 m cos 520 = 6.1 · 10−30 Cm .
Die Energie des Dipols im elektrischen Feld lautet
~ = −pE cos ϕ = −6.1 · 10−30 Cm 107 V cos ϕ = −6.1 · 10−23 J cos ϕ ,
VD = −~p · E
m
wobei benutzt wurde 1 J = 1 C · 1 V . In der atomaren Energieeinheit Elektronenvolt (1 eV = 1.6 · 10−19 J) lautet das Resultat W = −3.8 · 10−4 eV cos ϕ.
Energetisch am günstigsten ist es also, wenn die Symmetrieachse des Moleküls
in Richtung des Felds zeigt.
Für das Drehmoment, das vom Feld auf das Molekül ausgeübt wird, gilt die Formel
~ D = p~ × E
~ = MD ~e⊥ ,
M
MD = pE sin ϕ = 6.1 · 10−23 Nm sin ϕ .
~ steht. Das Drehmoment wird
Hier ist ~e⊥ ein Einheitsvektor, der senkrecht auf p~ und E
maximal bei ϕ = 900 und ist so gerichtet, dass es versucht, das Molekül in die Richtung
des Energieminimums (ϕ = 0) zu drehen.
Die Kraft auf das Molekül verschwindet im homogenen elektrischen Feld; bei Verschiebung
~ D =
ändert sich die Energie nicht. Im inhomogenen Feld gäbe es eine Kraft F~D = −∇V
~ p · E).
~
∇(~
Aufgabe 2
Laut Vorlesung erzeugt der elektrische Dipol p~1 das Feld
~ 1 (~r ) =
E
1 3(~r · p~1 ) ~r p~1 − 3 .
4π0
r5
r
1
~ ausgesetzt ist die Energie
Andererseits besitzt der Dipol p~2 wenn er einer Feldstärke E
~ r)
V2 = −~p2 · E(~
Die Wechselwirkungsenergie der beiden Dipole erhält man dann einfach, indem man hier
~ =E
~ 1 einsetzt, also
E
W12
1 p~1 · p~2 3(~r · p~1 )(~r · p~2 ) =
.
−
4π0
r3
r5
Diese Formel gilt für beliebige räumliche Ausrichtungen. Wie es sein muss, ist sie symmetrisch unter Vertauschung von p~1 und p~2 .
Wir spezialisieren die Formel für W12 nun auf den Fall, dass die Vektoren p~1 , p~2 sowie ~r in
einer Ebene liegen. Dann entfällt einer der Freiheitsgrade und die Wechselwirkungsenergie
hängt neben dem Abstand r nur noch von den beiden Ausrichtungswinkeln θ1 und θ2 ab.
(Im allgemeinen, nicht koplanaren Fall käme noch ein Azimutalwinkel ϕ hinzu.)
W12 =
1 p1 p2
1 p1 p2
cos(θ
−
θ
)
−
3
cos
θ
cos
θ
≡
C12 (θ1 , θ2 ) .
1
2
1
2
4π0 r3
4π0 r3
Die Winkelabhängigkeit ist recht kompliziert. In der Tabelle ist der winkelabhängige
Stärkefaktor C12 für verschiedene Fälle aufgeführt.
θ1
θ2
0
0
0
π/2
0
π
π/2 π/2
π/2 −π/2
C12
−2
0
+2
+1
−1
Ausrichtung
→
→
→
↑
→
←
↑
↑
↑
↓
Weiter Spezialfälle erhält man durch Vertauschen der Dipolmomente, p~1 ↔ p~2 , oder durch
deren gleichzeitiges Umklappen p~1 → −~p1 und p~2 → −~p2 . Bei beiden Operationen ändert
sich die Energie nicht und man gewinnt keine neuen Erkenntnisse.
Der Tabelle entnehmen wir, dass die niedrigste Energie in der gestreckten“ Anordnung
”
bei paralleler Ausrichtung (→ →) vorliegt. Stehen die Dipolmomente senkrecht zum Abstandsvektor, dann ist hingegen die antiparallele Ausrichtung (↑ ↓) günstiger. Den größten
Energieaufwand erfordert die “Kopf gegen Kopf”-Konfiguration (→ ←).
Die Abbildung zeigt ein Höhenlinienbild der Wechselwirkungsenergie W12 als Funktion der Winkel θ1
und θ2 , jeweils im Wertebereich zwischen −π und
π. Grün bedeutet negative und Rot positive Energie.
2
Aufgabe 3
a) Zylinderkondensator
Die Feldstärke im Außenraum eines langen geladenen Zylinders zeigt weg von der Zylinder~ r ) = E(ρ)~eρ . Sie wurde in Aufgabe 2b von Blatt 3 mit Hilfe einer zylindrischen
achse, E(~
Gauß-Dose“ mit Radius R1 ≤ ρ ≤ R2 und Länge L berechnet. Zur Erinnerung:
”
Z
I
1
1 Q1
1
~
~
.
dA · E =
dV ρe −→ 2πρLE = Q −→ E(ρ) =
0 V
0
2π0 L ρ
O
(Zur Unterscheidung von der Zylinderkoordinate ρ wurde die elektrische Ladungsdichte
hier mit ρe bezeichnet.)
~ = −∇φ
~ errechnet sich die Potentialdifferenz (elektrische Spannung) zwischen
Wegen E
innerer und äußerer Platte durch ein Linienintegral
Z 1
Z 2
Z 1
~
~
~
~
~ ,
dl · ∇φ = − dl · E =
d~l · E
U = φ(R1 ) − φ(R2 ) =
2
2
1
wobei im Prinzip über jede Kurve integriert werden kann, die die beiden Platten verbindet.
Wir wählen natürlich einen radialen Weg mit d~l = dρ ~eρ :
Z R2
Z R2
Q
Q
R2
1
U=
dρ E(ρ) =
ln
.
dρ =
2π0 L R1
ρ
2π0 L R1
R1
Die Kapazität ist das Verhältnis zwischen Ladung und Spannung, also
C=
Q
2π0 L
=
.
R2
U
ln R
1
Um eine große Kapazität zu erzielen, sollten sich Innen- und Außenradius nur wenig
unterscheiden (entsprechend einem geringen Plattenabstand).
b) Kugelkondensator
Die Feldstärke zwischen den Kugelelektroden lässt sich wieder mit dem Gaußschen Ge~ r ) = E(r)~er . Für eine
setz berechnen. Aus Symmetriegründen gilt für die Feldstärke E(~
kugelförmige Gauß-Dose“ mit R1 ≤ r ≤ R2 folgt bekanntlich
”
I
Z
1
1 Q
1
~
~
dV ρe −→ 4πr2 E(r) = Q −→ E(r) =
.
dA · E =
0 V
0
4π0 r2
O
Die Potentialdifferenz lautet dann
Z R2
Z R2
Q
1
Q 1
1 dr E(r) =
U = φ(R1 ) − φ(R2 ) =
dr 2 =
−
.
4π0 R1
r
4π0 R1 R2
R1
3
Also lautet die Kapazität
C=
Q
1
= 4π0 1
U
−
R1
1
R2
= 4π0
R1 R2
.
R2 − R1
c) Im Grenzfall, dass die äußere Elektrode ins Unendliche verschoben wird, R2 → ∞,
ergibt sich als Kapazität
C∞ = 4π0 R1 .
Physikalisch macht es keinen Unterschied, ob die Feldlinien auf den Gegenladungen einer
weit entfernten äußeren Kondensatorplatte enden oder bis ins Unendliche laufen. Deshalb
beschreibt C∞ den Zusammenhang zwischen Potential (Spannung) und Ladung für eine
freistehende leitende Kugel. Als Zahlenwert für die Kapazität einer Kugel mit 1 cm Radius
ergibt sich
C∞ = 4π 8.8543 · 10−12
As −2
10 m = 1.11 · 10−12 F = 1.11 pF .
Vm
Für die Erde ergibt sich mit R1 = 6370 km eine erstaunlich geringe Kapazität von gerade
einmal C∞ = 7.07 · 10−4 F = 707 µF.
Die hohe Kapazität der in der Elektrotechnik verwendeten Kondensatoren kommt weniger
durch eine große Fläche der Kondensatorplatten zustande, sondern vor allem durch deren
geringen Abstand (beim, übrigens 1896 in Frankfurt erfundenen, Elektrolytkondensator
weniger als 0.1 µm).
d) Die Berechnung der elektrischen Energie kann durch Integration über die Energiedichte
~ innerhalb der inneren Elektrodes Felds erfolgen. Dabei ist zu beachten, dass das Feld E
de (Faradayscher Käfig) und außerhalb der äußeren Elektrode (Abschirmung durch die
Ladung −Q) verschwindet, es ist also nur zwischen R1 und R2 zu integrieren.
Für den Zylinderkondensator folgt mit dV = ρdρ dϕ dz:
Z
Z R2
Q 2 1
0
0
2
dV E = 2πL
dρ ρ
W =
2
2
2π0 L ρ2
R1
R2
1
1
1 Q2
1 Q2
=
ln
=
= CU 2 = QU .
2 2π0 L R1
2C
2
2
Die analoge Rechnung für den Kugelkondensator lautet
Z R2
Q 2 1
0
1 Q2 1
1 1
W = 4π
dr r2
=
−
= QU .
2
4π0 r4
2 4π0 R1 R2
2
R1
Das übereinstimmende Ergebnis W = 12 QU ist kein Zufall sondern gilt generell für Kondensatoren. Man erhält dieses Ergebnis auch ganz allgemein, indem man berechnet, welche
Energie notwendig ist, um die Ladung Q in infinitesimalen Schritten dq gegen das sich
q
aufbauende Potential U (q) =
zwischen den Elektroden zu transportieren:
C
Z Q
Z
1 Q2
1
1 Q
dq q =
= QU .
W =
dq U (q) =
C 0
C 2
2
0
4