Lösungen - Institut für Theoretische Physik

Dr. J. Reinhardt
Sommersemester 2014
Theoretikum zur Vorlesung
Theoretische Physik II für Lehramtskandidaten
Lösungen zu Blatt 9
Aufgabe 1
Da die potentielle Energie eines Dipols im Magnet~ lautet, stellt er sich so ein, dass
feld W = −m
~ ·B
~ zeigt. Es muss also die Richm
~ in Richtung von B
~ =B
~0 + B
~ 1 ermittelt
tung des Gesamtmagnetfelds B
werden. Aus der Vorlesung bzw. aus Aufgabe 1 von
Blatt 8 ist bekannt, dass der Draht von kreisförmigen
Magnetfeldlinien umgeben ist gemäß
z
y
I
®
d
B1
®
B
a
~ 1 (~r ) = µ0 I ~eϕ ,
B
2πρ
®
B0
x
wobei sich die Zylinderkoordinaten jetzt aber auf eine
um d verschobene und in x-Richtung zeigende Symmetrieachse beziehen. Der Abbildung kann man für
diesen Fall durch scharfes Nachdenken entnehmen:
p
ρ = y 2 + (z − d)2
,
~eϕ = (0, −(z − d)/ρ, y/ρ) .
Wir benötigen das Magnetfeld nur an der Stelle ~r = ~0 und man sieht auch ohne die
allgemeinen Formeln zu benutzen sofort ρ = d und ~eϕ = ~ey , also
~ ~0 ) = B0 , µ0 I , 0 .
B(
2πd
~ = B (cos α, sin α, 0) das
Für die Richtung dieses Felds relativ zur x-Achse folgt aus B
Resultat
α(I) = arctan
µ0 I
.
2πdB0
Die Anordnung kann als primitives Strommessgerät benutzt werden. Nach Einschalten des
Stroms wirkt auf den Kompass ein Drehmoment das die Nadel aus der Ruhelage α = 0
auslenkt. Abhängig von der herrschenden Reibung wird sie sich mehr oder weniger schnell
auf eine neue Gleichgewichtslage in Richtung α(I) einpendeln.
Für einen Ausschlag von α = 450 , also tan α = 1 muss folgender Strom fließen:
I=
2π · 0.1m 50 · 10−6 ANm
2πdB0
= 25 A .
=
µ0
1.2566 · 10−6 AN2
1
Aufgabe 2
a) Aus Symmetriegründen werden die magnetischen Feldlinien konzentrische Kreise sein. Der Betrag der Feldstärke
hängt dabei nicht vom Azimutalwinkel bezogen auf den TorusMittelpunkt ab (wenn die Spule dicht gewickelt ist, andernfalls besäßen die Feldlinien eine gewisse Welligkeit“, also
”
Ausbuchtungen in der Nähe der einzelnen Drähte). In der
~ r ) = H(r)~eϕ . Betrachtet
Spulenebene muss daher gelten H(~
man als Integrationsweg C einen Kreis mit Radius r, dann
lässt sich das Integral auf der linken Seite des Ampereschen
Durchflutungsgesetzes
I
Z
~
d~r · H = dF~ · ~j
0
r0
H
0
R0
I
}L
C
trivial lösen mit dem Resultat

0
0 < r < R0 − r0


NI für R0 − r0 ≤ r ≤ R0 + r0
2πrH(r) =


0
R0 + r0 < r
Der Beitrag der Drähte, die den Strom von Außen zuführen lässt sich gegenüber den N
Spulenwindungen vernachlässigen. Man beachte: Die ideale Torusspule weist im Gegensatz
zur endlichen linearen Spule kein äußeres Streufeld auf. Das gesamte Magnetfeld ist im
Inneren des Torus konzentriert und hat dort die Stärke
H=
NI
NI
≃
2πr
2πR0
und deshalb B ≃ µr µ0
NI
2πR0
~ B
~ = 0 an den Randflächen des Spalts
b) Wird die Spule aufgeschnitten, dann ist wegen ∇·
~ n stetig. Ist der Spalt schmal, dann kann die
die Normalenkomponente der Induktion B
im Prinzip zu erwartende radiale Aufweitung der Feldlinien vernachlässigt werden, sodass
gilt BSpalt = BSpule . Das H-Feld hingegen ist wegen der Beziehungen BSpule = µr µ0 HSpule
und BSpalt = µ0 HSpalt im Spalt um den Faktor µr erhöht. Das Amperesche Gesetz liefert
bei Integration über einen Kreis mit dem Radius R0
(2πR0 − L)
1
B
+ L B = NI
µr µ0
µ0
oder
B=
µr µ0 NI
.
2πR0 + (µr − 1)L
Für einen sehr schmalen Spalt kann der zweite Term im Nenner vernachlässigt werden
und es ergibt sich der Grenzfall
B ≃ µr µ0
NI
.
2πR0
2
Allerdings stimmt dies nur unter der Bedingung L ≪ R0 /µr . Die “naheliegendere” viel
schwächere Bedingung L ≪ R0 reicht nicht aus; das Aufschlitzen des Spulenkerns macht
sich in diesem Fall bereits durch eine Abschwächung des Magnetfelds bemerkbar. Im
entgegengesetzten Grenzfall L ≫ R0 /µr ergibt sich
B≃
N
N
µr
µ0 I ≃ µ0 I .
µr − 1 L
L
Kurioserweise stimmt dies mit dem Magnetfeld einer geraden Spule der Länge L mit N
Wicklungen ohne Eisenkern überein.
Aufgabe 3
Wir wählen die z-Achse in Richtung der Magnetisierung, also
~ = M~ez . Im Innenraum der Kugel gilt der Zusammenhang
M
~ i = µ 0 (H
~i+M
~ ). Die übliche Beziehung B
~ = µr µ0 H
~ ist hier
B
~
wegen der permanent vorhandenen Magnetisierungsdichte M
i
~
nicht anwendbar! Die Größe des Felds H ist zunächst nicht
bekannt. Wir machen den Ansatz, dass es konstant ist und
~ i = H i~ez , was dann auch für
ebenfalls in z-Richtung zeigt, H
~ i folgt. Der Ansatz ist gerechtfertigt, wenn sich damit die
B
Randbedingungen auf der Kugeloberfläche erfüllen lassen, was
wir jetzt nachprüfen.
~ B
~ = 0 und ∇×
~ H
~ = 0. DarDa keine freien Ströme auftreten, gelten die Feldgleichungen ∇·
~
aus folgt: Die Normalenkomponenten der Induktion B und die Tangentialkomponenten
~ müssen stetig sein. Für die Komponenten in Kugelkoordinaten bedeutet
der Feldstärke H
dies:
und
Hθi r=R = Hθa r=R .
Bri r=R = Bra r=R
Wir zerlegen das Dipolfeld des Außenraums in radiale und tangentiale Komponenten
~ = (B
~ · ~er )~er + (B
~ · ~eθ )~eθ . Unter
(azimutale Anteile in Richtung ~eϕ treten nicht auf), B
Benutzung von ~ez · ~er = cos θ und ~ez · ~eθ = − sin θ ergibt sich ~ez = cos θ ~er − sin θ ~eθ . Das
Dipolfeld lautet somit
µ m
µ0 m 0
a
~
3 cos θ ~er − ~ez =
2 cos θ ~er + sin θ ~eθ .
B (~r ) =
4π r 3
4π r 3
Damit ergibt sich als Stetigkeitsbedingung für Br :
B i cos θ =
µ0 m
2 cos θ
4π R3
also
Bi =
µ0 2m
.
4π R3
~a =B
~ a /µ0
Die Stetigkeitsbedingung für Hθ lautet mit H
1
1 µ0 m
B i − M sin θ =
sin θ
−H i sin θ = −
µ0
µ0 4π R3
also
B i = µ0 M −
µ0 m
.
4π R3
Bei beiden Stetigkeitsbedingungen hat sich die θ-Abhängigkeit herausgekürzt. Damit ist
bewiesen, dass der Ansatz (konstantes Feld innen, reines Dipolfeld außen) gerechtfertigt
war. (Dass sich ein so einfaches Resultat ergibt, ist eine Besonderheit der Kugelgeometrie.
3
Für anders geformte Permanentmagnete wird es komplizierter; es liegt dann im Nahbereich
kein reines Dipolfeld vor.)
Gleichsetzen der beiden Resultate für B i liefert
M=
3m
.
4πR3
Das magnetische Moment der Kugel ist wie zu erwarten das Produkt aus der Magnetisie4π 3 ~
~ und dem Kugelvolumen V , also m
~
rungsdichte M
~ =
R M = V M.
3
Für das Feld im Innenraum folgt
2~
~
~ i = 2 µ0 m
B
,
= µ0 M
3
4π R
3
~i − M
~ = 2M
~ −M
~ = −1M
~ .
~i = 1 B
H
µ0
3
3
~ zeigt im Innenraum der magnetisierten
Wir stellen fest: Die magnetische Induktion B
Kugel in Richtung des Dipolmoments m,
~ es ergeben sich zusammen mit dem Dipolfeld
~
des Außenraums geschlossene Feldlinien. Das muss auch so sein, denn das B-Feld
ist
~
~ ·B
~ =0
quellenfrei. Die Feldstärke H hingegen ist nicht quellenfrei, denn es gilt wegen ∇
~ ·H
~ = −∇
~ ·M
~ . Man könnte die rechte Seite als eine fiktive “magnetische
die Beziehung ∇
~ ·M
~ interpretieren, die auf der Oberfläche der Kugel konzentriert ist
Ladung” ρm = −∇
~
(da dort M einen Sprung macht und deshalb eine nichtverschwindende Divergenz besitzt).
~
Als Konsequenz besitzt das H-Feld
auf der Oberfläche eine Quelle, dort “entspringen
~ im Innenraum sogar in die entgegengesetzte
Feldlinien”. Die Rechnung hat gezeigt, dass H
Richtung zeigt. An den Magnetpolen ist es betragsmäßig um einen Faktor 2 kleiner als im
Außenraum. Die zugehörigen Feldlinienbilder sind unten dargestellt. Die H-Feldlinien im
Kugelinneren sind in größerem Abstand gezeichnet, um den kleineren Wert der Feldstärke
zu kennzeichnen.
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