Mathematische Methoden der Physik II Serie 1

Mathematische Methoden der Physik II
Doppelintegrale, Flächenintegrale
Serie 1
Abgabetermin: 8. März 2016
1. Berechne das Integral
I=
Z
dxdy(x + y)2
G
über das Gebiet G, welches aus dem kreisförmigen Streifen r02 ≤ x2 +y 2 ≤ r12 besteht.
2. Betrachte das elektrische Feld einer Ladung Q
~ r) =
E(~
Q ~r
4πǫ0 r 2 r
mit r = |~r| und berechne den elektrischen Fluss
I
~ r)
d~σ · E(~
Ψ=
Σ
durch die Oberfläche Σ einer Kugel am Ursprung mit Radius R. Parameterisiere die
Kugeloberfläche durch ~r(u, v) = R (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)).
3. Betrachte den Torus, welcher unten abgebildet ist.
(a) Zeige, dass ~r(u, v) = (h(u) cos v, h(u) sin v, r sin u) mit h(u) = R + r cos u und
0 ≤ u, v ≤ 2π eine Parametrisierung der Torusoberfläche ist. Überlege zuerst,
was R und r bedeuten.
(b) Bestimme
∂~
r ∂~
r
∂u , ∂v
und illustriere das Resultat mit einer Zeichnung.
(c) Berechne die Torusoberfläche.
4. Herleitung des Coulomb-Feldes aus dem Gaussschen Gesetz
I
~ r ) = QΣ ,
d~σ · E(~
ǫ0
wo Σ eine geschlossene Oberfläche ist, welche die Ladung QΣ einschliesst.
(a) Betrachte eine Ladung Q, welche am Ursprung ~r = 0 konzentriert ist. Das
zugehörige elektrische Feld ist kugelsymmetrisch und hat also die Form
~ r ) = f (r) ~r .
E(~
r
Berechne den Fluss eines solchen Feldes durch eine Kugel mit Radius R und
benutze dann das Gausssche Gesetz, um f (R) zu bestimmen
5. Berechne die Jakobiante J(u, v) = ∂(x, y)/∂(u, v) für den Variablenwechsel von (x, y)
auf (u, v) mit u = x/(x2 + y 2 ) und v = y/(x2 + y 2 ).
6. (a) Berechne das Doppelintegral
I2 =
Z
dx dy e−(x
2 +y 2 )
,
G
wobei das Gebiet G der gesamten (x, y)-Ebene entsprechen soll. (Hinweis: Polarkoordinaten einführen).
(b) Wie kann man mithilfe des Resultates von (a) auf das eindimensionale Integral
Z ∞
2
dx e−x
I1 =
−∞
schliessen?