Mathematische Methoden der Physik II Serie 1
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Mathematische Methoden der Physik II Doppelintegrale, Flächenintegrale Serie 1 Abgabetermin: 8. März 2016 1. Berechne das Integral I= Z dxdy(x + y)2 G über das Gebiet G, welches aus dem kreisförmigen Streifen r02 ≤ x2 +y 2 ≤ r12 besteht. 2. Betrachte das elektrische Feld einer Ladung Q ~ r) = E(~ Q ~r 4πǫ0 r 2 r mit r = |~r| und berechne den elektrischen Fluss I ~ r) d~σ · E(~ Ψ= Σ durch die Oberfläche Σ einer Kugel am Ursprung mit Radius R. Parameterisiere die Kugeloberfläche durch ~r(u, v) = R (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)). 3. Betrachte den Torus, welcher unten abgebildet ist. (a) Zeige, dass ~r(u, v) = (h(u) cos v, h(u) sin v, r sin u) mit h(u) = R + r cos u und 0 ≤ u, v ≤ 2π eine Parametrisierung der Torusoberfläche ist. Überlege zuerst, was R und r bedeuten. (b) Bestimme ∂~ r ∂~ r ∂u , ∂v und illustriere das Resultat mit einer Zeichnung. (c) Berechne die Torusoberfläche. 4. Herleitung des Coulomb-Feldes aus dem Gaussschen Gesetz I ~ r ) = QΣ , d~σ · E(~ ǫ0 wo Σ eine geschlossene Oberfläche ist, welche die Ladung QΣ einschliesst. (a) Betrachte eine Ladung Q, welche am Ursprung ~r = 0 konzentriert ist. Das zugehörige elektrische Feld ist kugelsymmetrisch und hat also die Form ~ r ) = f (r) ~r . E(~ r Berechne den Fluss eines solchen Feldes durch eine Kugel mit Radius R und benutze dann das Gausssche Gesetz, um f (R) zu bestimmen 5. Berechne die Jakobiante J(u, v) = ∂(x, y)/∂(u, v) für den Variablenwechsel von (x, y) auf (u, v) mit u = x/(x2 + y 2 ) und v = y/(x2 + y 2 ). 6. (a) Berechne das Doppelintegral I2 = Z dx dy e−(x 2 +y 2 ) , G wobei das Gebiet G der gesamten (x, y)-Ebene entsprechen soll. (Hinweis: Polarkoordinaten einführen). (b) Wie kann man mithilfe des Resultates von (a) auf das eindimensionale Integral Z ∞ 2 dx e−x I1 = −∞ schliessen?
