Übungen zum Themenkreis Pflichtteil Nummer 2 – Stammfunktion

Übungen zum Themenkreis Pflichtteil Nummer 2 – Stammfunktion, Integral
1. Warum lässt sich für f(x) = 2x + sin(x² + 4x + 3) keine Stammfunktion angeben?
2. Beschreibe mit Schlagworten, wie man eine Potenz ableitet und aufleitet! Gehe auf den Sonderfall
f(x) = 1/x bzw. x-1 ein! Wie leitet man die Sinusfunktion 4 Mal ab und auf?
x , 1/x , ln(x), sowie der
Zeichne die Schaubilder der Basisfunktionen ex, x², x³,
Winkelfunktionen sin(x) und cos(x) (letztere im Gradmaß und im Bogenmaß) in einem geeigneten
WINDOW aus dem GTR ab und präge Dir ihren Verlauf gründlich ein!
3. Beschreibe mit Schlagworten, wie man eine Verkettung ableitet und Verkettungen mit innerer
linearer Funktion aufleitet!
4. Gib eine Stammfunktion an!
a) f(x) = 1/x² + cos(4x)
b) f(x) = 6 * sin(¼ x) – ½ x³
16
c) Berechne

9
2
 1dx !
x
ln 6
d) Berechne
e
4x
dx!
0
e) Gib für f(x) = 4 + 3 * cos(2x) und g(x) = 3x + 5 * sin(2x) eine Stammfunktion so an,
dass der Punkt P(0/2) im Schaubild enthalten ist!
16
f) Berechne das Integral

9
e
g) Berechne das Integral
2
 1dx !
x
4
 x  6x
dx!
1
1
h) Berechne das Integral
  5x  2
0,5
3
dx!
Lösungen (noch nicht zusammengefasst)
1. Weil der zweite Summand eine Verkettung mit innerer NICHTlinearer Funktion ist
2. Ableitung: alten Exponenten als Faktor voranstellen, die Potenz um 1 vermindern
Aufleitung: Exponenten um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen
Sonderfall: F(x) = ln ǀxǀ
Ableitung: sin(x)  cos(x)  – sin(x)  – cos(x)  sin(x), Aufleitung umgekehrt
3. Ableitung: „innere mal äußere Funktion“
Aufleitung: äußere Funktion hochleiten, durch die innere Ableitung teilen
4a) f(x) = x-2 + cos(4x)
 F(x) = – x-1 + ¼ * sin(4x)
4b) F(x) = 6 * 4 * (-cos(¼ x)) – ½ * ¼ *x4
16
16
2
 1dx   4 x  x   (16  16)  (12  9)  3
9
x

4c)
9
ln 6
4d)

0
ln 6
1
1
1
1 
e dx   e4 x    e4ln 6  e0    eln1296  1  (1296  1)  323, 75
4
4
4
 4 0
4x
Nebenrechnung: 4 ln(6) = ln(64) = ln 1296; Exponentialfunktion und Logarithmus heben sich
dann gegenseitig auf
4e) F(x) = 4x + 3 * ½ * sin(2x) + c F(0) = 4*0 + 1,5 * sin(0) + c = 2
Da 4*0 = 0 und sin(0) = 0 ist c = 2.
G(x) = 1,5 x² – 2,5 * cos(2x) + c F(0) = 1,5*0² – 2,5 * cos(0) + c = 2.
Da 1,5*0² = 0 und cos(0) = 1, gilt
-2,5 + c = 2  c = 4,5
16
4f)

9
e
4g)
16
2
 1dx   4 x  x   (16  16)  (12  9)  3
9
x
4
 x  6 xdx  4 ln x  3x
2
e
  4*1  3e2  (4*0  3)  3e2  1
1
1
1
1 4
1
3
1 1
4
4
0,5  5 x  2    5 * 4 *(5 x  2)  0,5  20  3  0,5   20 81  0, 0625  4, 04...
1
4h)