mdl. Matura 1
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BG/BRG Kufstein
Mündliche Reifeprüfung
8B
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
Haupttermin 2000/2001
Kandidatin: --1. Prüfungstag (Freitag) Nachmittag
Prüfung Nummer 10
Frage zum Spezialgebiet:
„Rechnen mit Matrizen insbesondere zur Beschreibung geometrischer Abbildungen“
Übe auf das Dreieck ABC zuerst eine Spiegelung um die homogene Gerade mit dem Steigungswinkel , eine Zentralstreckung mit dem Faktor k und zuletzt eine Drehung um den Ursprung um
den Winkel aus, und berechne die Abbildungsmatrix für die Hintereinanderausführung! Führe an
schließend eine Schiebung um den Vektor v durch und berechne die Koordinaten der neuen Bildpunkte A2, B2 und C2! Berechne den Fixpunkt (Cramer’sche Regel)!
1
A(6/2);
B(-2/0);
C(4/6);
= 165°;
k= 2 ;
= 75°;
v =
4
2
Lösung:
A=
cos(2 ) sin( 2 )
sin( 2 ) cos(2 )
D=
cos() sin( )
sin( ) cos()
D·K·A =
=
3
2
1
2
1
2
3
2
=
0,866 0,5
0,5 0,866
K=
k 0
0 k
=
2
2
0
0
2
2
0
0,707
0
0
,
707
=
( 3 1) 2
( 3 1) 2
= 0,259 0,966
4
4
=
0,966 0,259
( 3 1) 2
( 3 1) 2
4
4
0 0,866 0,5
0,259 0,966 0,707
0,183 0,683 0,866 0,5
·
·
=
·
=
0,707 0,5 0,866
0,966 0,259 0
0,683 0,183 0,5 0,866
0,259 0,966 0,612 0,354
·
bzw.
0,966 0,259 0,354 0,612
A1:
x
y
=
0,5 0,5
0,5 0,5
·
6
2
B1:
x
y
=
0,5 0,5
0,5 0,5
·
2
0
C1:
x
y
=
0,5 0,5
0,5 0,5
·
4
6
x
y
Fixpunkt:
=
4
2
=
=
=
1
1
5
1
0,5 0,5
0,5 0,5
·
x = 0,5·x + 0,5·y – 1
y = 0,5·x – 0,5·y + 4
x
y
+
1
4
A2:
x
y
=
4
2
B2:
x
y
=
1
1
+
1
4
=
2
3
C2:
x
y
=
5
1
+
1
4
=
4
3
+
=
3
6
1
4
0,5·x – 0,5·y = -1
- 0,5·x + 1,5·y = 4
x – y = -2
- x + 3·y = 8
=2
Dx =
2 1
8
3
=2
Dy =
1 2
1 8
=6
A2
B2
C
C2
F
A
A1
x=
Dx
D
=
2
2
=1
y=
Dy
D
=
6
2
=3
x
B
F(1/3)
0,5 0,5
0,5 0,5
y
1 1
1 3
D=
B1
C1
BG/BRG Kufstein
Mündliche Reifeprüfung
8B
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
Haupttermin 2000/2001
Kernstofffrage 1:
Ein Jahrmarktsbudenbesitzer möchte ein Glücksspiel so gestalten, dass sein Gewinn möglichst
groß wird, die Kunden jedoch den Eindruck erhalten, ihrerseits gute Gewinnchancen zu haben.
Das Spiel funktioniert folgendermaßen: Der Spieler dreht zweimal an einem Glücksrad, auf dem
ein Sektor noch nicht festgelegter Größe rot bemalt wurde. Der Einsatz beträgt 2 €.
Erdreht er zweimal den roten Bereich, so bekommt der Spieler 5 € ausbezahlt, gewinnt also 3 €.
Erdreht er nie den roten Bereich, erhält der Spieler den Einsatz zurück.
Erdreht er einmal den roten Bereich, erhält er nichts, verliert also seinen Einsatz.
Wie groß muss der Winkel des Sektors gewählt werden, um den Gewinn etwaiger Spieler möglichst gering zu halten? Mit wie viel Gewinn darf der Schießbudenbesitzer im Schnitt rechnen?
p ... Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad beim einmaligen Drehen im roten Bereich stehen bleibt
Bernoulli-Experiment mehrmals durchgeführt Binomialverteilung
P(R=0) = b2;p(0) = 02 ·p0·(1 - p)2 = 1 – 2·p + p2
P(R=1) = b2;p(1) = 21 ·p1·(1 - p)1 = 2·p – 2·p2
P(R=1) = b2;p(2) = 22 ·p2·(1 - p)0 = p2
durchschnittliche Gewinn eines Spielers = Erwartungswert (abhängig von p) = E(p)
E(p) = 0 € · (1 – 2·p + p2) + (-2 €) · (2·p – 2·p2) + 5 € · p2 = (7·p2 – 4·p) €
E’(p) = (14·p – 4) € = 0
E(
2
4
) = - € ≈ - 57 c
7
7
p=
2
7
= p · 360° ≈ 103°
d.h.: Pro Spiel gewinnt der Besitzer durchschnittlich 57 Cent.
Kernstofffrage 2:
Ermittle für beide Gleichungen die Definitionsmenge und löse (in IR)!
2·9x+1 – 3·22x = 6·4x+1 + 6·32x
x(lg(x) + 2) = 1000
D = IR
D = IR+
2·9·9x – 3·4x = 6·4·4x + 6·9x
xlg(x) · x2 = 1000
18·9x – 3·4x = 24·4x + 6·9x
lg(xlg(x) · x2) = lg(1000)
12·9x = 27·4x
lg(xlg(x)) + lg(x2) = 3
9
4
x
9
4
=
27
12
lg(x) · lg(x) + 2 · lg(x) = 3
[lg(x)]2 + 2 · lg(x) – 3 = 0
x
=
9
4
x=1
L = {1}
[lg(x)]1,2 = -1 ± 1 3
lg(x) = 1 x = 10
bzw.
lg(x) = -3 x = 0,001
1 ; 10}
L ={ 1000
|lg(...)
