11 . ¨Ubung zur Elementaren Zahlentheorie

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Wintersemester 2011/12
20.01.2012
11 . Übung zur Elementaren Zahlentheorie
Abgabe: Bis 27.01.2012, 8:14 Uhr, In der Vorlesung.
11.1 ( 2+2 Punkte)
a) Bestimmen Sie die Menge aller a ∈ Z für die a9 − a durch drei teilbar ist.
d) Bestimmen Sie die Menge aller z ∈ C \ {0} welche die Gleichung z +
erfüllen.
1
z
= 1
Lösungshinweis:
a) Wir suchen alle a ∈ Z so dass a9 − a ≡ 0 mod 3. Nach Korollar 5.11 gilt für jedes
a ∈ Z dass a3 ≡ amod3. Also ist a9 = (a3 )3 ≡ a3 =≡ a mod 3. Folglich ist für jedes
a ∈ Z a9 − a durch 3 teilbar. Die Lösungemenge ist also Z.
b) Aus z + z1 = 1 folgt zz + 1 = z. Wegen zz = |z|2 ∈ R folgt Im z = 0, also z ∈ R.
Es gilt z = |z|2 + 1 ≥ 1. Für z ≥ 1 hat aber 1 = z − z 2 = z(1 − z) keine Lösung. Die
Lösungsmenge ist also leer.
11.2 ( 3+2 Punkte)
Es sei ϕ : N → N die Eulersche φ-Funktion.
a) Berechnen Sie φ(62 ), φ(6)2 und φ2 (6).
b) Bestimmen Sie die Primfaktorenzerlegung von φ (20122012 ).
Lösungshinweis:
a) Wir berechnen:
φ(62 ) = φ(22 · 32 ) =∗ φ(22 )φ(32 ) =∗∗ 2 · 3 · 2 = 12
φ(6)2 = (φ(3)φ(2))2 = 22 = 4
φ2 (6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1
b) Wegen 2012 = 22 · 503 (Primfaktorenzerlegung) gilt
φ 20122012
=∗ φ 42012 φ 5032012
=∗∗ φ 24024 φ 5032012
= 24023 (2 − 1)5032011 (503 − 1)
= 24024 · 251 · 5032011 .
In beiden Teilaufgaben wurde bei ∗ Satz 5.12 und in ∗∗ Satz 5.11 benutzt.
11.3 (1+3 Punkte)
Es sei φ : N → N die Eulersche φ-Funktion.
a) Untersuchen Sie φ auf Injektivität.
b) Untersuchen Sie, φ auf Surjektivität.
Lösungshinweis:
a) φ ist nicht injektiv, da φ(1) = φ(2) = 1.
b) φ ist nicht surjektiv. Um dies zu zeigen weisen wir nach, dass φ(n) für alle Zahlen
n > 3 gerade ist. Ist n = 2k für k > 1 dann ist nach Satz 5.11 φ(2k ) = 2k−1 , also gerade.
Hat n eine ungerade Primzahl p als Primfaktor, dann ist nach n = pk · r mit k ∈ N und r
teilerfremnd zu pk . Also ist φ(n) = φ(pk ) · φ(r) = pk−1 (p − 1)φ(r) gerade, da p − 1 gerade.
11.4 ( 3 Punkte)
In einem Londoner Hotel gibt es 191 Betten. Zu den Olympischen Spielen reisen x
Fußballmannschaften (mit je 11 Personen) und y Handballmannschaften (mit je 7
Personen) an, so dass alle Betten ausgebucht sind. Bestimmen Sie alle Paare (x, y) ∈
N2 für die dies möglich ist.
Lösungshinweis: Um eine Lösung zu finden berechnen wir 191 − 11x für x = 1, 2, 3, 4 . . .
Für x = 4 erhalten wir 191 − 44 = 157 = 21 · 7. Also ist (4, 21) eine Lösung. Nach Satz
5.6., Sind alle Lösungen in Z2 gegeben durch
{(4 + 7m, 21 − 11m) | m ∈ Z}
Für m = 1 erhält man eine weitere Lösung (11, 10). Für alle m < 0 und alle m > 1
erhält man Lösungen außerhalb des gwewünschten Bereiches N2 . Es sind also entweder
4 Fußballmannschaften und 21 Handballmannschaften oder 11 Fußballmannschaften und
10 Handballmannschaften.