Bergische Universität Wuppertal ¨Ubungen zur Linearen Algebra 1

Bergische Universität Wuppertal
SS 2006
Blatt 1
10.04.06
Übungen zur Linearen Algebra 1
Apl. Prof. Dr. G. Herbort
Aufgabe 1. Gegeben seien die Mengen E, M1 , M2 , , F, N1 und N2 , wobei M1 , M2 ⊂ E und
N1 , N2 ⊂ F seien. Zeigen Sie, dass gilt
a) (M1 × N1 ) ∩ (M2 × N2 ) = (M1 ∩ M2 ) × (N1 ∩ N2 )
b) (M1 × N1 ) ∪ (M2 × N2 ) ⊂ (M1 ∪ M2 ) × (N1 ∪ N2 )
c) Geben Sie Mengen M1 , M2 , N1 und N2 von ZZ an, für die
(M1 × N1 ) ∪ (M2 × N2 ) 6= (M1 ∪ M2 ) × (N1 ∪ N2 )
gilt.
(4+3+3 Punkte)
Lösung. a) ”⊂”: (x1 , x2 ) ∈ (M1 × N1 ) ∩ (M2 × N2 ) bedeutet, dass x1 ∈ M1 ∩ M2 , x2 ∈ N1 ∩ N2 ,
also (x1 , x2 ) ∈ (M1 ∩ M2 ) × (N1 ∩ N2 ).
”⊃”: Ist (x1 , x2 ) ∈ (M1 ∩ M2 ) × (N1 ∩ N2 ), so muss x1 ∈ M1 ∩ M2 und x2 ∈ N1 ∩ N2 sein.
Das heißt aber (x1 , x2 ) ∈ (M1 × N1 ) ∩ (M2 × N2 ).
b) Sei (x1 , x2 ) ∈ (M1 × N1 ) ∪ (M2 × N2 ). Wenn (x1 , x2 ) ∈ M1 × N1 , so ist (x1 , x2 ) ∈ (M1 ∪
M2 ) × (N1 ∪ N2 ), ebenso gilt, wenn (x1 , x2 ) ∈ M2 × N2 , dass (x1 , x2 ) ∈ (M1 ∪ M2 ) × (N1 ∪ N2 )
c) Sei nun M1 := {1}, M2 := {2} und N1 := {3}, N2 := {4}. Dann ist
L := (M1 × N1 ) ∪ (M2 × N2 ) = {(1, 3), (2, 4)}
und
R := (M1 ∪ M2 ) × (N1 ∪ N2 ) = {1, 2} × {3, 4}
Wir sehen, dass (1, 4) ∈ R, aber (1, 4) ∈
/ L.
Aufgabe 2. Sei M eine Menge. Für eine Menge A ⊂ M sei IA : M −→ ZZ die ”charakteristische Funktion” von A, also IA (x) := 1, wenn x ∈ A und IA (x) := 0, wenn x ∈
/ A. Sind nun
A, B und C Teilmengen von M , so drücken Sie die charakteristischen Funktionen von
A ∩ B,
Ac ,
A \ B(:= A ∩ B c ),
A ∪ B,
A∪B∪C
mit Hilfe der charakteristischen Funktionen von A, B und C aus (d.h. als Funktionen, die durch
Additionen, Subtraktionen und Produktbildungen aus IA , IB uns IC entstehen können).
(1+1+1+3+4 Punkte)
Lösung. Es gilt IA (x) · IB (x) = 1, wenn x ∈ A und x ∈ B und IA (x) · IB (x) = 0 sonst, also
IA∩B = IA · IB .
Da 1 − IA (x) = 1, wenn x ∈
/ A und 1 − IA (x) = 0, wenn x ∈ A, ist IAc = 1 − IA . Weiter ist
c
A \ B = A ∩ B , also IA\B = IA · IB c = IA · (1 − IB ).
Es gilt ferner
IA∪B = I(Ac ∩B c )c = 1 − IAc ∩B c = 1 − IAc · IB c = 1 − (1 − IA )(1 − IB ) = IA + IB − IA · IB
Schließlich ist
IA∪B∪C = IA + IB∪C − IA · IB∪C = IA + IB + IC − IB · IC − IA · (IB + IC ) + IA · IB · IC .
Aufgabe 3. Sei A ⊂ ZZ die Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen und B die Menge der durch
7 teilbaren Zahlen. Berechnen Sie dann A ∩ B. (Antwort beweisen!)
(3+7 Punkte)
Lösung. Genau dann gehört x zu A ∩ B, wenn x durch 21 teilbar ist.
Beweis: Ist x durch 21 teilbar, so erst recht durch 3 und durch 7, also x ∈ A ∩ B. Sei nun
x ∈ A ∩ B, also x = 3m = 7k mit geeigneten ganzen Zahlen k, m. Dann ist aber auch
x = 7x − 2 · 3x = 21m − 2 · 21k = (m − 2k) · 21
also ist x durch 21 teilbar.
Aufgabe 4. Sei M eine nichtleere Menge und X, Y ⊂ M . Dann definieren wir X∆Y :=
(X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y ).
Zeigen Sie:
a) A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C) für alle A, B, C ⊂ M
b) Genau dann ist A∆B = B, wenn A = ∅.
(5+5 Punkte)
Lösung. a) Es gilt
A ∩ (B∆C) = A ∩ ( (B ∩ C c ) ∪ (B c ∩ C) )
= (A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ B c ∩ C)
Weiter gilt
(A ∩ B)∆(A ∩ C) =
=
=
=
( (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)c ) ∪ ( (A ∩ B)c ∩ (A ∩ C) )
( (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ C c ) ) ∪ ( (Ac ∪ B c ) ∩ (A ∩ C) )
A ∩ B ∩ Ac ∪ A ∩ B ∩ C c ∪ Ac ∩ A ∩ C ∪ B c ∩ A ∩ C
(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ B c ∩ C)
Das beweist die Behauptung.
b) Sei A = ∅. Dann gilt A∆B = ∅ ∩ B c ∪ M ∩ B = B.
Umgekehrt angenommen, es sei A∆B = B. Da A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B), ist A ∩ B =
A ∩ B ∩ B = A ∩ B ∩ (A∆B) = ∅, also B = A∆B = A ∪ B, also A ⊂ B, somit A = A ∩ B = ∅.