Ubungen zur Einf ¨uhrung in die partiellen

Übungen zur Einführung in die
partiellen Differentialgleichungen
Sommersemester 2012
Prof. Dr. S. Müller — Dr. H. Olbermann
Übungsblatt 9
Aufgabe 1 (5 Punkte):
Es sei Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, u ∈ C2 (Ω × (0, T]) ∩ C0 (Ω × [0, T]) und
∂t u − ∆u + u3 + sin(u) = 0
in Ω × (0, T] .
Zeigen Sie
max u(Ω × [0, T]) ≤ max {max u(ΓT ), 0} ,
wobei ΓT = (∂Ω × [0, T]) ∪ (Ω × {0}).
Aufgabe 2 (5 Punkte):
Es seien j ∈ C1 (R4 , R3 ), ρ ∈ C1 (R4 , R). Weiterhin seien E, B ∈ C2 (R4 , R3 ) Lösungen der inhomogenen Maxwell-Gleichungen, also


div E(x, t) = ρ(x, t)





div B(x, t) = 0





∂B


rot E(x, t) = − (x, t)


∂t




∂E


rot B(x, t) = j(x, t) +
(x, t)
∂t
für alle x ∈ R3 , t ∈ R. Zeigen Sie
∂2t B − ∆B =rot j
∂2t E − ∆E = − ∂t j − ∇ρ .
Anmerkung: In der Elektrodynamik haben die obigen Funktionen folgende Bedeutung: j ist die
Stromdichte, ρ die Ladungsdichte, E das elektrische und B das magnetische Feld.
Aufgabe 3 (1+4 Punkte):
(i) Es sei f ∈ C2 (R), k ∈ Rn und u(x, t) = f (t)eik·x .
Bestimmen Sie die Funktion f so, dass
∂2t u − ∆u = 0
und f (0) = a, f 0 (0) = b.
für alle x ∈ Rn , t ∈ R
(ii) Es seien g, h ∈ L2 (Rn ), mit Fouriertransformierten ĝ = F g, ĥ = F h, so dass eine Konstante
C existiert mit
| ĝ(k)| ≤ C(1 + |k|)−(n+3)
|ĥ(k)| ≤ C(1 + |k|)−(n+2)
für alle k ∈ Rn . Weiterhin sei u : Rn × [0, ∞) → R definiert durch
!
Z
sin(|k|t)
−n
ĥ(k) eik·x dLn (k) .
u(x, t) = (2π)
cos(|k|t) ĝ(k) +
|k|
Rn
Zeigen Sie u ∈ C2 (Rn × [0, ∞)), ∂2t u − ∆u = 0 in Rn × [0, ∞) und u(x, 0) = g(x), ∂t u(x, 0) = h(x)
für alle x ∈ Rn .
Aufgabe 4 (5+3∗ Punkte):
Es sei g ∈ C4 (R5 ), h ∈ C3 (R5 ), und u ∈ C2 (R5 × [0, ∞)) eine Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems für die Wellengleichung in R5 , also
 2

∂ u − ∆u = 0
in R5 × [0, ∞)


 t
u(x, 0) = g(x) für alle x ∈ R5



 ∂t u(x, 0) = h(x) für alle x ∈ R5 .
?
Weiterhin sei
U(x, r, t) =
∂B(x,r)
u(y, t)dH 4 (y)
und Ũ(x, r, t) = r2 ∂r U(x, r, t) + 3rU(x, r, t).
(i) Zeigen Sie
∂2t Ũ = ∂2r Ũ
und bestimmen Sie Ũ für alle x ∈ R5 , r > 0, t ≥ 0 in Abhängigkeit von g und h.
(ii) Zeigen Sie
Ũ(x, r, t)
u(x, t) = lim
r→0
3r
1 2
1 2
=∂t t ∂t + t G(x, t) + t ∂t + t H(x, t)
3
3
wobei
?
G(x, r) =
∂B(x,r)
g(y)dH 4 (y)
?
H(x, r) =
Abgabe: Fr 15.6.12, in der Vorlesung.
∂B(x,r)
h(y)dH 4 (y) .