Thermodynamik und Statistische Physik (T4)

Zentralübung
Thermodynamik und Statistische Physik (T4)
Blatt 11
WiSe 2015/16
Aufgabe 1: Quantenmechanischer harmonischer Oszillator II
Auf dem letzten Blatt haben Sie die kanonische Zustandssumme des eindimensionalen quantenmechanischen harmonischen Oszillators berechnet. Benutzen Sie diese für die folgenden Teilaufgaben.
a) Sei A eine beliebige zeitabhängige Observable. Zeigen Sie, dass gilt
∂A A
∂ A
tr e = tr
e .
∂t
∂t
Warum gilt dies nicht ohne die Spurbildung?
b) Die Zustandssumme hängt nicht von der Masse m des Teilchens ab. Zeigen Sie damit
h
p2
mω 2 2
i=h
x i.
2m
2
c) Berechnen Sie hx2 i und vergleichen Sie das Ergebnis mit hx2 i für den klassischen harmonischen Oszillator.
Aufgabe 2: QM Teilchen auf Zylindermantel
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m welches sich auf dem Mantel eines Zylinders (Radius R,
Höhe h, Symmetrieachse z) bewegen kann. Das zugehörige Potential lautet
(
0
für r = R, φ ∈ [0, 2π[, z ∈ [0, h]
V (r, φ, z) =
∞ sonst
a) Lösen Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mittels einem Separationsansatz in
Zylinderkoordinaten und bestimmen Sie die zugehörigen Eigenfunktionen sowie Energieeigenwerte.
b) Durch welche Quantenzahlen ist jeweils ein Boson oder ein Fermion auf dem Zylindermantel
bestimmt?
c) Betrachten Sie nun gesondert jeweils 10 Bosonen oder 10 Fermionen welche sich auf dem
Zylindermantel befinden. Bestimmen Sie die zugehörige Fermi Energie EF bei T = 0 in
beiden Fällen.
1
Aufgabe 3: Fermi-Dirac Verteilung
Betrachten Sie die Fermi-Dirac Verteilung
n(E) =
1
eβ(E−µ)
+1
.
a) Zeigen Sie, dass die Fermi-Dirac Verteilung symmetrisch bezüglich µ ist, d.h. n(µ + ∆E) =
1 − n(µ − ∆E).
b) Skizzieren Sie die Verteilung als Funktion der Energie für verschiedene Temperaturen T = 0,
kB T < µ und kB T > µ.
c) Bestimmen Sie die Ableitung nach der Energie und skizzieren Sie diese für T = 0 und T 6= 0.
d) Entwickeln Sie n(E) in linearer Ordnung um den Symmetriepunkt E = µ und bestimmen
Sie daraus approximativ die Breite ∆E in Abhängigkeit der Temperatur.
e) Für welchen Limes geht die Fermi-Dirac Verteilung in die klassische Boltzmann Verteilung
nB (E) = e−βE
über?
Aufgabe 4: Bosegas im Magnetfeld
Betrachten Sie ein System nicht wechselwirkender Spin 1 Bosonen in einem Magnetfeld. Der Hamiltonoperator für ein Teilchen ist gegeben durch
H(~
p, sz ) =
p~2
− µ0 Bsz
2m
sz kann die Werte ±1 und 0 annehmen.
a) Berechnen Sie die großkanonische Zustandssumme für dieses System.
b) Berechnen Sie die mittleren Besetzungszahlen hns (~k)i der Einteilchenzustände mit Wellenzahl
~k und s = −1, 0, 1.
P
c) Berechnen Sie die Gesamtzahl Ns = ~k hns (~k)i der Teilchen mit Spin s. Approximieren Sie
hierzu die Energieniveaus durch eine kontinuierliche Verteilung. Verwenden Sie hierzu den
Ausdruck für die verallgemeinerte Zeta-Funktion
(
∞
n
X
gs (z)
n+1 z
(±1)
=
s
n
fs (z)
n=1
Ergebnis: Ns =
V
λ3 g3/2 (z
· eβµ0 Bs ), wobei λ =
√ 2π~
2πmkB T
und z = eµβ .
d) Bestimmen Sie die Magnetisierung M (T, µ) = µ0 (N+ − N− ). Entwickeln Sie im Limes kleiner
B. Finden Sie die magnetische Suszeptibilität χ(T, µ) = ∂M/∂B in diesem Limes.
2µ2 V
Ergebnis: χ = kB T0 λ3 g1/2 (z)
e) Bestimmen Sie die Temperatur der Bose-Einstein Kondensation in Abhängigkeit von der
Gesamtteilchenzahldichte für B = 0. Wie verhält sich die Suszeptibilität, wenn sich die
Temperatur von oben der kritischen Temperatur Tc nähert.
f) Welcher Zustand ist im Limes T → 0 makroskopisch besetzt?
Bei Fragen E-Mail an [email protected]
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