Kurzfassung 23.06.2017 23.06.2017 23.06.2017

KurzfaŊŊung
E-Dynamik
Björn O. Lange
Universität Siegen
Bitte vergeben Sie mir manch’ Flapsigkeit,
I was young and needed the money, damals am ...
30. März 2000
Inhaltsverzeichnis
1 Erhaltungsgrößen aus den Maxwell Gleichungen
1.1 Coulomb Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Energieerhaltung, Poynting Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3
2 Potentiale, Allgemeine Lösungen
2.1 Eichfreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
3 Multipolentwicklung in der Elektrostatik
3.1 kartesische Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Multipolentwicklung in Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Allgemeine Lösung der Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
9
4 Kovariante Formulierung
4.1 Potentiale und deren Maxwellgleichungen
4.2 Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Maxwellgleichung mit Feldtensor . . . . .
4.4 Erhaltung, Kontinuität . . . . . . . . . . .
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5 Beschleunigte Ladung - Lienard Wiechert Potentiale
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11
11
11
12
12
13
6 Elektromagnetische Wellen
14
6.1 Bsp: Polarisierte ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1
2
INHALTSVERZEICHNIS
7 E-Dynamik in Materie
7.1 Linear Response . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen . .
7.3 Komplexer Brechungsindex - ebene Welle in
7.4 Oszillatormodell - ǫ(ω) . . . . . . . . . . . .
7.5 Zerfließen eines Wellenpakets . . . . . . . .
A Spherical and cylindrical
A.1 Cylindrical coordinates
A.2 Spherical coordinates .
A.3 In general . . . . . . .
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Materie
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16
16
16
17
18
18
coordinates
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
B Div, Grad, Curl and all that
B.1 Gradient . . . . . . . . . . .
B.2 Divergence . . . . . . . . .
B.3 Curl . . . . . . . . . . . . .
B.4 Laplacian . . . . . . . . . .
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21
21
21
22
23
C Summary: Cylindrical Coordinates
23
D Summary: Spherical Coordinates
24
1
ERHALTUNGSGRÖSSEN AUS DEN MAXWELL GLEICHUNGEN
1
Erhaltungsgrößen aus den Maxwell Gleichungen
~ ·E
~
∇
= 4πρ
4π ~ 1 ~
j + ∂t E
=
c
c
= 0
1 ~
= − ∂t B
c
~ ×B
~
∇
~ ·B
~
∇
~ ×E
~
∇
1.1
3
(1)
(2)
(3)
(4)
Coulomb Gesetz
~ ·E
~ = 4πρ
∇
⇒
Z
V
~ ·E
~ dV = 4π
∇
Z
ρ dV
V
Diese Gleichung wird für eine Punktladung am Ursprung berechnet. Als Volumen wählt man
~ = E e~r
der Problemsymmetrie entsprechend eine Kugel. Dann ist E
I
I
~ · dA
~=E
LHS =
dA = 4πEr2
E
∂V
RHS = 4π
∂V
Z
V
⇒E=
1.2
q
r2
qδ(~r) dV = 4πq
| {z }
ρ
~ = q e~r
E
r2
oder
Kontinuitätsgleichung
Aus (1) folgt
∂t ρ = ∂t
c ~ 1 ~
1 ~ ~
∇·E =
∇ · ∂t E
4π
4π
c
Weiter mit (2)
c ~
4π ~
~ · ~j
~
~
∂t ρ =
∇· ∇×B−
j = −∇
4π
c
Die zugehörige Erhaltungsgröße ist die Ladung. In einem abgeschlossenen System gilt
dann nämlich
Z
I
Z
Z
~
~ · ~j dV = −
~j · dA
∂t Q = ∂t
∂t ρ dV = −
∇
ρ dV =
V
V
V
∂V
In einem abgeschlossenen System fließt aber nichts durch die Grenzflächen. Also ist Q erhalten. Läßt man die Grenzen gegen ∞ laufen, so ist dA = r2 dΩ, also muß für eine Erhaltung
der Strom ~j schneller als 1/r2 abfallen.
Das gleiche Argument werden wir auch bei der Energieerhaltung benutzen.
1.3
Energieerhaltung, Poynting Theorem
Auf eine Ladung wirkt die Lorentzkraft
~
~ + 1 ~v × B
F~ = q E
c
~ eine Arbeit geleistet,
Wird diese Ladung ein Stück d~x = ~v dt bewegt, so wird nur durch E
~ senkrecht auf diesem Weg wirkt. Die geleistete Arbeit ist
da ~v × B
~
dW = F~ · d~x = q~v · Edt
1
ERHALTUNGSGRÖSSEN AUS DEN MAXWELL GLEICHUNGEN
4
Hier ist ~j = q~v δ(~r − r~′ ) also wird
Z
dW
~
= d3 r ~j · E
dt
Wir definieren die Energiedichte als Energie pro Volumenelement, also
Z
Z
dW
3
W = d r um
⇒
= d3 r ∂t um
dt
u hat den Index m bekommen, weil es sich dabei um die materielle“ Energiedichte handelt.
”
Der Vergleich liefert
~
∂t um = ~j · E
~ aus den Maxwell Gleichungen. Gleichung (2) wird mit E
~ durchmultiWir berechnen ~j · E
pliziert:
~ = c E
~
~ · (∇
~ × B)
~ − 1 E
~ · ∂t E
~j · E
4π
4π
Zunächst benutzen wir
~ · (E
~ × B)
~ = ∂i ǫijk Ej Bk = ǫijk (Bk ∂i Ej + Ej ∂i Bk )
∇
~ ·∇
~ ×E
~ −E
~ ·∇
~ ×B
~
= ǫkij Bk ∂i Ej − ǫjik Ej ∂i Bk = B
~ · (∇
~ × B)
~ =B
~ ·∇
~ ×E
~ −∇
~ · (E
~ × B)
~
⇒E
Außerdem ist
~
~ 2 = 2E∂
~ tE
∂t E
Alles zusammen eingesetzt
~
~ ·∇
~ ×E
~− c ∇
~ · (E
~ × B)
~ − 1 E
~ · ∂t E
~ = c B
~j · E
4π
4π
4π
~ ×E
~ benutzen wir (4)
Für ∇
=−
c ~
~ × B)
~ + c B
~ · (− 1 ∂t B)
~ − 1 ∂t E 2
∇ · (E
4π
4π
c
8π
~ × B)
~ −∂t 1 (E 2 + B 2 )
~ · c (E
= −∇
|4π {z
|8π {z
}
}
~
S
uf
Hier ist jetzt der Index f für Felder. Das Poynting Theorem lautet also
~ ·S
~=0
∂t um + ∂t uf + ∇
Das ist nichts anderes als eine Kontinuitätsgleichung, die Erhaltungsgröße ist die Gesamtenergie.
Z
Z
~ · dA
~
∂t Etot = ∂t
dV (um + uf ) = −
S
V
ϕV
Gleiche Argumentation wie vorhin, aber ACHTUNG: Poyntingvektor geht mit 1/r2 , also
verschwindet das Integral auf der rechten Seite für V −→ ∞ nicht. (siehe Kap 5)
2
POTENTIALE, ALLGEMEINE LÖSUNGEN
2
5
Potentiale, Allgemeine Lösungen
Wir definieren die Potentiale durch
~ =∇
~ ×A
~
B
~
~ = −∇φ
~ − 1 ∂t A
E
c
denn dadurch sind die homogenen Maxwellgleichungen automatisch erfüllt.
~ ·B
~ =∇
~ · (∇
~ × A)
~ =0
∇
~ ×E
~ = −∇
~ × (∇φ
~ + 1 ∂t A)
~ = − 1 ∂t (∇
~
~ × A)
~ = − 1 ∂t B
∇
c
c
c
Die inhomogenen Gleichungen drücken wir auch durch die Potentiale aus:
4π ~ ~
~
~ − 1 ∂t E
j =∇×B
c
c
~ × (∇
~ × A)
~ + 1 ∂t ∇φ + 1 ∂t A
~
=∇
c
c
~
~ · A)
~ − △A
~ + ∇ 1 ∂t φ + 1 ∂ 2 A
= ∇(∇
c
c2 t
1 2
~ ·A
~
~ + grad 1 ∂t φ + ∇
=
∂
−
△
A
c2 t
c
und
~ ·E
~
4πρ = ∇
1 ~
~
~
= −∇ · ∇φ + ∂t A
c
1
1
∂t φ + 2 ∂t2 φ
c
c
{z
}
0 eingefügt
1
1
1 2
~
~
∂
−
△
φ
−
∂
∂
φ
+
∇
·
A
=
t
t
c2 t
c
c
1 ~ ~ 1
· A − ∂t
= −△φ − ∂t ∇
c
c
|
2.1
Eichfreiheit
Die Potentiale kann man transformieren, ohne daß sich die realen Felder ändern. Einfach ist
~′ = A
~ + ∇Λ,
~
dies beim Vektorpotential: A
denn die Rotation schmeißt den Λ Term heraus,
~
~ gleich bleiben.
und das B-Feld bleibt invariant. Es soll aber auch E
~ ′ = ∇φ
~ ′ + 1 ∂t (A
~ + ∇Λ)
~
~ ′ = ∇φ
~ ′ + 1 ∂t A
−E
c
c
~ φ′ + 1 ∂t Λ + 1 ∂t A
~
=∇
c
c
|
{z
}
φ
~
= −E
Also transformiert man φ′ = φ − 1c ∂t Λ.
Wir nutzen diese Freiheit dazu, um die lästigen Terme in den inhomogene Maxwellgleichun~ und φ. Dann ist erstmal
gen weg zu kriegen. Dazu starten wir mit irgendwelchen A
1
~ ·A
~ =: F (~x, t) 6= 0
∂t φ + ∇
c
2
POTENTIALE, ALLGEMEINE LÖSUNGEN
6
Jetzt suchen wir uns mit gegebenem F ein Λ, so daß dann
1
~ ·A
~ ′ = 1 ∂t φ − 1 ∂t Λ + ∇
~ · (A
~ + ∇Λ)
~
0 = ∂t φ′ + ∇
c
c
c
1
= − 2 ∂t2 − △ Λ + F (~x, t)
c
Diese Differentialgleichung müssen wir lösen, um solch ein Λ zu finden. Eine Lösung existiert immer, immerhin ist diese DG die gleiche wie die inhomogenen MG, die auch immer
Lösungen haben. Es läßt sich, wie wir gleich zeigen werden, eine explizite Lösung angeben:
Z
F (x~′ , t − |~x − x~′ |/c) 3 ′
Λ(~x, t) =
d x
4π|~x − x~′ |
Haben wir dieses erstmal erreicht, nennt man es die Lorentzeichung und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zu
~=
✷A
1
~ ·A
~=0
∂t φ + ∇
c
4π ~
j
c
✷φ = 4πρ
Auch hier läßt sich die Kontinuitätsgleichung schnell zeigen:
~ ·A
~ = −c∇
~ · ✷A
~ = −4π ∇
~ · ~j
4π∂t ρ = ✷∂t φ = −c✷∇
2.2
retardierte Potentiale
Jetzt können eine Lösung der inhomogenen MG direkt angeben. Wir wollen
✷φ(~r, t) = 4πρ(~r, t)
lösen. Zunächst die Fourierzerlegung in der Zeit anwenden.
Z
Z
1
1
−iωt
φ(~r, t) = √
φ(~r, ω)e
dω
,
φ(~r, ω) = √
φ(~r, t)eiωt dt
2π
2π
Z
Z
1
1
ρ(~r, t) = √
ρ(~r, ω)e−iωt dω
,
ρ(~r, ω) = √
ρ(~r, t)eiωt dt
2π
2π
Das war auch schon das Schwerste. Einsetzen liefert mit k = ω/c
Z
1
(−k 2 − △)φ(~r, ω)e−iωt dω
✷φ(~r, t) = √
2π
Z
1
= 4πρ(~r, t) = √
4πρ(~r, ω)e−iωt dω
2π
Also müssen wir
(△ + k 2 )φ(~r, ω) = −4πρ(~r, ω)
lösen. Wir erinnern uns, in der QM-Streutheorie kommt das gleiche vor, daß
(△ + k 2 )
eikr
= −4πδ(~r)
r
|{z}
G(~
r)
Also ist
φ(~r, ω) =
Z
G(~r − r~′ )ρ(r~′ , ω)d3 r′
2
7
POTENTIALE, ALLGEMEINE LÖSUNGEN
Jetzt haben wir alles zusammen und setzen es wieder ein:
Z
1
φ(~r, t) = √
φ(~r, ω)e−iωt dω
2π
Z Z
1
=√
G(~r − r~′ )ρ(r~′ , ω)e−iωt dω d3 r′
2π
1
=√
2π
Z Z
1
=√
2π
Z Z
=
Z
~′
eik|~r−r | ~′
ρ(r , ω)e−iωt dω d3 r′
|~r − r~′ |
1
|~r − r~′ |
~′
ρ(r~′ , ω)e−iω(t−|~r−r |/c) dω d3 r′
ρ(r~′ , t − |~r − r~′ |/c) 3 ′
d r
|~r − r~′ |
3
8
MULTIPOLENTWICKLUNG IN DER ELEKTROSTATIK
3
Multipolentwicklung in der Elektrostatik
3.1
kartesische Multipolentwicklung
φ(~r) =
Z
ρ(r~′ ) 3 ′
d r
|~r − r~′ |
Es wird lediglich 1/|~r − r~′ | Taylor entwickelt, da man annimmt, daß r ≫ r′ .
!−1/2
X
1
f (~r) := =
rl2
r
l
1
∂i f (~r) = −
2
X
l

∂j ∂i f (~r) = − ∂j
=
rl2
!−3/2
X
l
2ri = −
ri
r3

!−3/2 
δ
 ri − ij = − − 3
rl2
r3
2
X
l
rl2
!−5/2
3ri rj − r2 δij
r5

2rj  ri −
δij
r3
Soweit. Nach Belieben mehr...
1
f (~r − r~′ ) ≈ f (~r) − ri′ ∂i f (~r) + ri′ rj′ ∂i ∂j f (~r)
2
1
|~r − r~′ |
≈
1 ri′ ri
1
3ri rj − r2 δij
+ 3 + ri′ rj′
r
r
2
r5
Zum Schluß möchte ich noch die r nach vorne ziehen und von den r′ trennen. Dazu schreibe
ich im letzten Term r2 = δlm rl rm und nutze, daß über doppelte Indizes summiert wird, also
alle nur Dummy Indizes sind.
=
ri rj
ri
1
+ 3 ri′ + 5 (3ri′ rj′ − r′2 δij )
r
r
2r
Einsetzen:
1
φ(~r) =
r
Z
ρ(r~′ ) d3 r′
{z
}
|
+
q
Fertig.
3.2
ri
r3
Z
ρ(r~′ )ri′ d3 r′
{z
}
|
+
di
ri rj
2r5
Z
ρ(r~′ )(3ri′ rj′ − r′2 δij ) d3 r′
{z
}
|
Qij
Multipolentwicklung in Kugelflächenfunktionen
In Kugelkoordinaten ist der Laplaceoperator von der Form
△=
1
˜
(∂r r2 ∂r + △(Ω))
r2
˜
Die Kugelflächenfunktionen sind Eigenfunktionen des △(Ω)
Operators mit dem (2l + 1) fach
entarteten Eigenwert
˜
△(Ω)Y
lm = −l(l + 1)Ylm
Auch bei dieser Multipolentwicklung wollen wir wieder 1/|~r − r~′ | entwickeln, dieses mal
nach Kugelflächenfunktionen. Das geht, weil die KFF ein vollständiges und orthogonales
Funktionensystem sind. Ich trage jetzt mal einige wissenswerte Eigenschaften zusammen.
Orthonormalität
Z
dΩ Yl∗′ m′ (Ω)Ylm (Ω) = δll′ δmm′
3
MULTIPOLENTWICKLUNG IN DER ELEKTROSTATIK
9
Vollständigkeit
∞ X
l
X
l=0 m=−l
∗
Ylm
(θ′ , ϕ′ )Ylm (θ, ϕ) = δ(cos θ − cos θ′ )δ(ϕ − ϕ′ )
Additionstheorem
Pl (cos ξ) =
l
4π X ∗ ′
Ylm (Ω )Ylm (Ω)
2l + 1
m=−l
Dabei ist ξ der Winkel zwischen Ω und Ω′ und Pl = Pl0 die zugeordneten Legendrepolynome.
Man erinnere sich daran, daß die KFF von der Form
Ylm (θ, ϕ) = (Normierung) · Plm (cos θ)eimϕ
So, nun aber zu unserer Entwicklung. Zunächst nehmen wir an, daß r größer als r′ ist. Aus
der kartesischen Entwicklung wissen wir, daß
1
|~r − r~′ |
=
1 r~′ · ~r 1 3(~r · r~′ )2 − r2 r′2
+ ...
+ 3 +
r
r
2
r5
=
r′2
r′
1
+ 2 cos ξ + 3
r
r
r
1
(3 cos2 ξ − 1) + . . .
2
Oben stehen die Potenzen von r′ , unten immer eine mehr in r und dann folgt ein Polynom
in cos ξ, welche glücklicherweise die Legendrepolynome sind. (ohne Beweis)
=
∞
X
r′l
Pl (cos ξ)
rl+1
l=0
=
∞ X
l
X
l=0 m=−l
4π r′l ∗ ′
Y (Ω )Ylm (Ω)
2l + 1 rl+1 lm
Das setzen wir in das Potential ein und integrieren bei jedem Summanden über r′ . Zumindest
ersetzen wir
Z
∗
qlm := d3 r′ r′l Ylm
(θ′ , ϕ′ )ρ(r~′ )
denn auch dann haben wir das Potential in Potenzen von 1/r entwickelt
φ(~r) =
∞ X
l
X
l=0 m=−l
4π qlm
Ylm (θ, ϕ)
2l + 1 rl+1
und man kann es mit den kartesischen Multipolen vergleichen, wenn man will.
3.3
Allgemeine Lösung der Poissongleichung
△φ = 0
Ansatz:
φ(~r) =
∞ X
l
X
Rlm (r)Ylm
l=0 m=−l
Schön, ich werde jetzt etwas schreibfaul:
X 1
1 ˜
2
∂
r
∂
RY
+
△RY
=0
r
r
r2
r2
3
10
MULTIPOLENTWICKLUNG IN DER ELEKTROSTATIK
X
Y
l(l + 1)
1
∂r r2 ∂r R −
R
r2
r2
=0
Alle Y sind linear unabhängig, also muß die Klammer verschwinden. Dazu Ansatz (auch der
kommt immer wieder vor) R = u(r)/r. Dann wird
′
u
1 ′′
u′′
1
1
2
2u r −u
′
′
∂
r
∂
∂
r
=
(u
r
+
u
−
u
)
=
=
r
r
r
r2
r
r2
r2
r2
r
Also Differentialgleichung
u′′ −
l(l + 1)
u=0
r2
Potenzansatz u = rd liefert die allgemeine Lösung
u(r) = alm rl+1 + blm r−l
⇒
Rlm (r) = alm rl +
blm
rl+1
Genau diese Potenzen haben wir auch in der Multipolentwicklung gefunden. Kunststück,
denn schließlich ist
△
1
|~r − r~′ |
=0
für
~r 6= r~′
4
11
KOVARIANTE FORMULIERUNG
4
Kovariante Formulierung
Zunächst soll das Verwirrspiel von ko- und kontravarianten Vektoren aufgeklärt werden.
Grundsätzlich stehen bei Vektoren die Indizes oben. Das sind die kovarianten Vektoren. Dann ist die Ableitung auf natürliche Weise kontravariant, denn der kovariante Vektor
steht im Nenner:
xµ −→
∂
= ∂µ
∂xµ
Die Indizes können mit η rauf- und runtergezogen werden, summiert wird nur über gleiche
Indizes, die diagonal zueinander stehen, also der eine oben, der andere unten.
xµ = (ct, ~x)
4.1
⇒
xµ = (ct, −~x)
Potentiale und deren Maxwellgleichungen
Wir wollen die Maxwellgleichungen und die Lorentzeichung kovariant formulieren.
✷φ = 4πρ
~=
✷A
4π ~
j
c
1
~ ·A
~=0
∂t φ + ∇
c
Dazu definieren wir
j µ = (cρ, ~j)
~
Aµ = (φ, A)
Also heißt es jetzt
✷Aµ =
4π µ
j
c
∂µ Aµ = 0
Die Eichfreiheit ist dann
Aµ −→ Aµ − ∂ µ Λ
Achtung, hier ist der Index der Ableitung oben, also haben Zeit- und Raumableitung umgekehrte Vorzeichen. Und dann stimmt’s auch.
4.2
Lorentzkraft
Dazu zuerst einfache Mechanik. Wir definieren die relativistische Geschwindigkeit und Beschleunigung als
uµ =
d µ
x = (γc, γ~v)
dτ
aµ =
d µ
u
dτ
und behalten im Auge, daß γ = dt/dτ ist. Los geht’s:
d
1
~
~
m~v = q E + ~v × B
|·γ
dt
c
Wir verallgemeinern gleich ∂τ mv i −→ ∂τ mui zu

?
?
?
?
0 1
2 3
q
q 0 i
u
E
+0
+u
B
−u3 B 2
i
j k
i
ma = (u E + ǫ jk u B ) = 
0 2
1 3

u E
−u B +0
+u3 B 1
c
c
0 3
1 2
2 1
u E
+u B −u B +0
|
{z
i-te Komponente davon




}
4
12
KOVARIANTE FORMULIERUNG

?
q
E1
= 

E2
c
E3
?
0
−B 3
B2
?
B3
0
−B 1
 0
?
u
 u1
−B 2 

B 1   u2
0
u3

 q i µ
 = F µu
 c
Tja, aber wie sieht die 0-Komponente aus? Oder anders gefragt, was ist die 0-Komponente
einer 4er Kraft? (Manche nennen die 4er Kraft auch Minkowskikraft.) Klar, es ist f o = mao .
Man kann es per Hand ausrechnen, eine wichtige Sache der relativistischen Mechanik ist,
daß die 4er Beschleunigung immer senkrecht auf der Geschwindigkeit steht.
u α aα = 0
Das folgt aus 2uα aα = ∂τ uα uα = ∂τ c2 = 0. Hier ist
aα ∼ Fαβ uβ
d.h.
0 = Fαβ |uα{zuβ}
symm
Daraus folgt, daß Fαβ antisymmetrisch in den Indizes sein muß. Also ist


0 −E 1 −E 2 −E 3
 E1
0
B 3 −B 2 

F αβ = 
2
3
 E
−B
0
B1 
E 3 B 2 −B 1
0
Unsere Bewegungsgleichung sieht dann so aus:
maµ =
4.3
q µ ν
F u
c ν
Maxwellgleichung mit Feldtensor
Man rechnet schnell nach, daß
Fαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα
✷ = ∂µ ∂ µ
∂β F βα = ✷Aα =
⇒
4π α
j
c
Bei der letzten Gleichung Lorentzeichung nicht vergessen! Das sind also die inhomogenen
Gleichungen. Für die homogenen benutzt man den total antisymmetrischen Tensor im 4D
Minkowskiraum (Zu jedem metrischen Raum gibt’s so was, man nennt den auch Volumentensor oder Levi-Civita) und definiert den dualen Feldstärketensor
F̃ αβ =
1 αβµν
ǫ
Fµν
2
und bildet dessen Divergenz
∂β F̃ βα = 0
Tja, das muß man tatsächlich per Hand aus-x-en, da gibt’s keinen Trick, den ich kenne.
4.4
Erhaltung, Kontinuität
∂α j α = 0
1
∂α T αβ = − F βγ jγ
c
Dazu gibt’s viel zu sagen, in dem Energie-Impuls Tensor T steht die Energiedichte, der
Poyntingvektor und so Zeug drin. Um den wirklich zu verstehen, viel Spaß mit allgemeiner
Relativität.
5
5
13
BESCHLEUNIGTE LADUNG - LIENARD WIECHERT POTENTIALE
Beschleunigte Ladung - Lienard Wiechert Potentiale
Dies ist ein Beispiel dafür, daß die relativistische Behandlung einfacher ist, als die nichtrelativistische.
Wir betrachten dazu die Weltlinie einer beschleunigten Ladung. Die Felder am Ort (~x, t) werden von der
Ladung am Ort ~r, tret erzeugt. Den (Orts-) Seperationsvektor nenne ich
~ = ~x − ~r
R
,
t
x
r(t)
Rµ
~ = c(t − tret )
R = |R|
~
Daraus machen wir einen 4er Vektor Rµ = (R, R).
Diese Art Vektoren nennt man Nullvektoren, da
Rµ Rµ = 0 ist, wie das bei Weltlinien von Photonen
so üblich ist. Jetzt kommt ein typischer SR-Trick:
r(t ret )
x
Wir wollen das 4er Potential Aµ finden, das am Besten kovariant formuliert sein sollte. Das
muß dann in allen Lorentz Frames gelten, insbesondere im sogenannten MCLF = Momentarily Comoving Lorentz Frame. Dort ist die vorherrschende Zeitkoordinate ist tret und es
gilt
~j = 0
⇒
~=0
A
Ao = φ =
,
q
R
uµ = (c, ~0)
Auf der Suche nach möglichen Lorentzinvarianten findet man:
R
c
µ
u Rµ = ~
·
= Rc
~
0
R
Durch Vergleich mit dem obigen Aµ kann man sofort hinschreiben
Aµ =
quµ
R α uα
zur Zeit tret
Lienard - Wiechert Potential
Nun geht man in das Laborsystem, in dem sich die Ladung tatsächlich bewegt mit uµ =
(γc, γ~v ) und berechnet
~ · ~n)
Rα uα = γRc(1 − β
mit
~n =
~
R
R
Bemerkung: Das ist wirklich eine Lorentzinvariante und gleich Rc. Man beachte, daß R =
R(t) und beide Male zu verschiedenen Zeiten ausgewertet wurde. Daraus folgt
φ(~r, t) =
~ r , t) =
A(~
qγc
~ · ~n)
γRc(1 − β
qγ~v
γRc(1 − β~ · ~n)
=
=
q
~ · ~n)
R(1 − β
tret
~
qβ
R(1 − β~ · ~n)
tret
Bei der Berechnung der Felder aus den Potentialen muß darauf geachtet werden, daß tret =
tret (~r, t), also keine Koordinate ist wie ~r und t. Ich hoffe, man muß sich weder die Rechnung
noch das Ergebnis merken. Dieses ist
~ r , t) =
E(~
~
q(~n − β)
~ 3
R2 γ 2 (1 − ~n · β)
~ r , t) = ~n × E(~
~ r , t)
B(~
+
~ × β]
~˙
q~n × [(~n − β)
~ 3
cR(1 − ~n · β)
tret
6
14
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
Wichtig ist, daß der zweite Term verschwindet, wenn keine Beschleunigung vorliegt, und
dieser Term eine 1/R Abhängigkeit hat. Dann ist nämlich die Intensität, und auch der
~ ist
Poyntingvektor, proportional 1/R2. Die abgestrahlte Leistung durch eine Fläche dF
~ · dF
~ =S
~ · ~n R2 dΩ
dP = S
aufintegriert
P =−
2q 2 µ
a aµ
3c3
⇒
Dipolformel
P =−
ω4 ~ 2
|d|
3c3
Daraus berechnet man schnell die obige Dipolformel für eine Antenne mit dem
~
Dipolmoment d.
6
Elektromagnetische Wellen
✷φ = 0
~=0
✷A
,
1
~ ·A
~=0
∂t φ + ∇
c
,
Konzentrieren wir uns auf φ. Zunächst räumliche Fouriertrafo:
Z
~
φ(~r, t) = d3 k φ(~k, t)eik~r
⇒
⇒
△φ = −
✷φ =
Z
Z
~
d3 k ~k 2 φ(~k, t)eik~r
3
d ke
i~
k~
r
1 2 ~
2 ~
~
∂ φ(k, t) + k φ(k, t) = 0
c2 t
{z
}
|
=0
⇒
φ(~k, t) = a~k e−iωt + b~k eiωt
mit
ω 2 = c2~k 2
Also
φ(~r, t) =
⇒
Z
d3 k
~
~
a~k ei(k~r−ωt) + b~k ei(k~r+ωt)
φ∗ (~r, t) =
Z
d3 k
=
Z
d3 k
=
Z
d3 k
~
~
~
~
~
~
a~∗k e−i(k~r−ωt) + b~∗k e−i(k~r+ωt)
a~∗k ei(−k~r+ωt) + b~∗k ei(−k~r−ωt)
a∗−~k ei(k~r+ωt) + b∗−~k ei(k~r−ωt)
Da die Felder reell sein sollen, fordern wir, daß auch φ reell ist, also φ = φ∗ . Daraus folgt
b~k = a∗−~k und
Z
~
~
φ(~r, t) = d3 k a~k ei(k~r−ωt) + a~∗k e−i(k~r−ωt)
Analog
~ r , t) =
A(~
Z
d3 k
~~ ei(~k~r−ωt) + A
~ ∗ e−i(~k~r−ωt)
A
~
k
k
Nun müssen wir noch die Lorentzeichung verwursten:
Z
1
~
~
∂t φ = d3 k a~k (−iω/c)ei(k~r−ωt) + a~∗k (iω/c)e−i(k~r−ωt)
c
6
15
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
~ ·A
~=
∇
⇒
Z
d3 k
0=
Z
~~ · ~k)ei(~k~r−ωt) + (−i)(A
~ ∗ · ~k)e−i(~k~r−ωt)
i(A
~
k
k
d3 k
~~ · ~k)
(−a~k |~k| + A
k
~
~~∗ · ~k)
iei(k~r−ωt) + (a~∗k |~k| − A
k
Letztendlich folgt daraus
a~k =
6.1
~k · A
~~
k
~~ · ~n~
=A
k
k
|~k|
Bsp: Polarisierte ebene Welle
~k = (0, 0, k)
,
~ r , t) = Ae
~ ik(z−ct)
A(~
,
φ(~r, t) = Az eik(z−ct)
~ und B.
~
Daraus berechnen wir die Felder E
1
Ex = −∂x φ − ∂t Ax = ikAx eik(z−ct)
c
1
Ey = −∂y φ − ∂t Ay = ikAy eik(z−ct)
c
1
Ez = −∂z φ − ∂t Az = −ikAz eik(z−ct) + ikAz eik(z−ct) = 0
c
Bx = −ikAy eik(z−ct) = −Ey
By = ikAx eik(z−ct) = Ex
Bz = 0
Toll, daraus sehen wir sofort die Relationen
~ B
~
E⊥
,
~ ~k
E⊥
,
~ ~k
B⊥
,
~
ie−i(k~r−ωt)
~2 = B
~2
E
~ und B
~ schwingen in gleicher Phase. (Vergleiche Wellen in Materie.)
außerdem: E
7
16
E-DYNAMIK IN MATERIE
7
E-Dynamik in Materie
Durch Mittelung der gebundenen Ladungen in der Materie definiert man
~ =E
~ + P~
D
~ = ǫE
~
D
,
~ =B
~ −M
~
H
~ = µH
~
B
,
Dadurch verändern sich die homogenen Maxwellgleichungen nicht,
~ ·B
~ =0
∇
~ ×E
~ = − 1 ∂t B
~
∇
c
,
aber die inhomogenen sind jetzt mit den neuen Größen gültig.
~ ·D
~ = 4πρext
∇
7.1
~
~ ×H
~ = 4π ~jext + 1 ∂t D
∇
c
c
,
Linear Response
Im homogenen, isotropen Medium sind die Größen ǫ, µ skalar ,und keine Matrizen wie oben,
und es gilt
~ = χ(ω)E
~
P~ = nα(ω)E
⇒
ǫ=1+χ
und die inhomogenen Maxwellgleichungen lauten
~ · (ǫE)
~ = 4πρext
∇
7.2
,
~
~
~ × B = 4π ~jext + 1 ∂t ǫ~E
∇
µ
c
c
Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen
Wir betrachten zwei dielektrische Medien, in denen es keine freien Ladungsträger gibt, z.B.
Vakuum und Glas. Dann sind
ρext = 0
,
~jext = 0
Mit ~n und ~t bezeichne ich Einheitsvektoren normal und tangential zur Grenzfläche.
Jetzt legen wir einen kleinen Kasten (mit beliebig
kleinen Seitenflächen) um die Grenzfläche und beMedium 1
rechnen
A
Z
~ · D)
~ dV
0 = qext = (∇
=
I
~ · dA
~ = A~n · (D
~2 −D
~ 1)
D
Medium 2
~ Feldes hat keine Normalkomponente, also ist die NormalkompoD.h. die Änderung des D
~
~ ·D
~ = 0 ist. Da auch
nente von D selbst stetig. In die Argumentation floß nur ein, daß ∇
~
~
~
∇ · B = 0 ist, ist auch die Normalkomponente von B stetig.
~ ×H
~ =
Als nächstes die Schleife. Wir benutzen ∇
Medium 1
~
~
∇ × E = 0 und berechnen
Z
I
~ · d~s
~ × E)
~ · dA
~= E
0 = (∇
~2 − E
~ 1)
= s ~t · (E
~ und H
~ stetig.
Also ist die Tangentialkomponenten von E
Medium 2
s
7
E-DYNAMIK IN MATERIE
7.3
17
Komplexer Brechungsindex - ebene Welle in Materie
~ und B
~ Felder zeitlich Fourier transformieren und
Man könnte wie in Kap. () zunächst die E
dann die Partialwellen betrachten. Der Einfachheit halber setzen wir gleich nur eine ebene
Welle an mit der Zeitabhängigkeit
~ r , t) = E(~
~ r )e−iωt
~ r , t) = B(~
~ r )e−iωt
E(~
,
B(~
Dabei ist ω reell. Wir definieren
n2 = ǫµ
und verwursten die Maxwellgleichungen in Materie ohne freie Ladungsträger
~ · (ǫE)
~ =0
~ ×E
~ − iω B
~ =0
∇
,
∇
c
2
~ =0
~ ·B
~ =0
~ ×B
~ + iω n E
∇
,
∇
c
durch rot-rot-Bildung zu
2
~ r)
E(~
2n
△+ω 2
~ r) = 0
c
B(~
Das haben wir schon ein paar mal gelöst, die Ortsabhängigkeit der Felder ist also exp(i~k~r)
mit
!2
~k
ω2
= 2 = reell
n
c
Angenommen, wir lassen auch komplexe ǫ und µ , also n zu, dann gilt obiges immer noch.
Dieses ~k 2 auf der linken Seite kam von einer zweifachen Ableitung, ist also wirklich ~k · ~k und
nicht das Betragsquadrat. Daher muß ~k/n = ~ko reell sein. Wir nehmen nun zwei explizite
Darstellungen
n = nr + iκ = |n|eiδ
⇒
⇒
~k = n~ko = nr~ko + iκ~ko = |n|eiδ~ko
~ r) = E
~ o einr ~ko ~r e−κ~ko ~r
E(~
~ genauso. Die Energie geht wie E
~2 + B
~ 2 ∼ exp(−2κko r). Der Absorptionskoeffizient
B
~
α = 2κko = 2κ Im(n) bezieht sich auf die Energie, nicht auf das Feld selbst.
~ und B
~ herleiten. Aus der ∇
~ ×E
~ MaxWir wollen nun noch eine Phasenbeziehung von E
wellgleichung folgt für die konstanten (aber i.A. komplexen) Amplituden der Felder
~k × E
~o = i ω B
~o
| : ko = ω/c
c
~
~
~ o = nko × E
~ o = |n| ko × E
~ o eiδ
iB
ko
ko
Jetzt schreibe ich noch die vollständige Lösung an. Da wir die exp-Funktion benutzt haben,
~ o ist reell, dann ist
bilden wir für die reellen Felder den Realteil. Angenommen also, E
α
~ r , t) = E
~ o cos(nr~ko~r − ωt)e− 2 r
E(~
~
~ o cos(nr~ko~r − ωt + δ)e− α2 r
~ r , t) = |n| ko × E
B(~
~ko
~ und B
~ um δ phasenveschoben sind und deren
Daraus lesen wir ab, daß die Maxima von E
Amplitudenverhältnis ist
~ r , t + δ/ω)|
|B(~
= |n|
~ r , t)|
|E(~
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist mit ko = ω/c
c
△r
=
nr ko △r − ω△t = 0
⇒
v=
△t
nr
7
18
E-DYNAMIK IN MATERIE
7.4
Oszillatormodell - ǫ(ω)
Wie folgt eine gebundene Ladung in Materie einem oszillierenden Feld? Wir nehmen an,
daß es einfach nur in einer Potentialmulde schwingen kann aber dabei Reibung erfährt. Die
Bewegungsgleichung ist dann
mr̈ + mΓṙ + mωo2 r = qEe−iωt
|:m
Ansatz: Die Ladung wird trotzdem von dem Feld gezogen, also die gleiche zeitliche Abhängigkeit haben.
r = le−iωt
,
ṙ = −iωle−iωt
,
r̈ = −ω 2 le−iωt
Eingesetzt
−ω 2 l − iωΓl + ωo2 l =
⇒
l=
q
E
m
q/m
E
ωo2 − ω 2 − iωΓ
Es bildet sich also ein Dipolmoment d = ql aus, das durch das Feld induziert wurde.
d=
ωo2
q 2 /m
E = αE
− ω 2 − iωΓ
Mit der (komplexen) Polarisierbarkeit α. Der Rest ist nur noch Umformulierung:
ǫ = 1 + 4πnα = 1 +
ωp2
ωo2 − ω 2 − iωΓ
mit der Plasmafrequenz ωp2 = 4πnq 2 /m. Um diesen Ausdruck in Real- und Imaginärteil
zerlegen zu können, erweitern wir mit dem konjugiert komplexen Nenner
ǫ(ω) = 1 + 4πnα = 1 +
=1+
ωp2
ωo2 − ω 2 − iωΓ
ωp2 (ωo2 − ω 2 )
(ωo2 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2
+i
ωo2 − ω 2 + iωΓ
ωo2 − ω 2 + iωΓ
ωp2 ωΓ
(ωo2 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2
Wie die beiden Teile graphisch aussehen ist ja bekannt.
7.5
Zerfließen eines Wellenpakets
Ein gaußförmiges Wellenpaket in z-Richtung verändert seine Form mit der Zeit, wenn Dispersion vorliegt. Wir setzen erstmal dieses Paket an:
Z
1
ϕ(z, t) = √
dk A(k)e−i(ω(k)t−kz)
2π
mit
A(k) = Ce−α(k−ko )
2
Wir nähern uns der Dispersion in der Nähe von ko durch
ω(k) ≈ ω(ko ) + vg (k − ko ) + β(k − ko )2
Das war’s schon, jetzt muß man nur noch behalten, daß man ein Integral wie
Z
2
dk eak +bk
mit quadratischer Ergänzung löst.
Im Detail: Ich sammele alles zusammen und füge noch eine 1 ein
Z
2
C
z iko z −iωo t −itv(k−ko ) −itβ(k−ko )2
dk e−α(k−ko ) eikz e|−iko{z
e }e
e
e
ϕ= √
2π
=1
7
19
E-DYNAMIK IN MATERIE
und substituiere q = k − ko
C
ϕ = √ e−i(ωo t−ko z)
2π
Z
dq exp[− (α + itβ) q 2 + (iz − ivt) q]
| {z }
| {z }
a
b
Nebenrechnung:
Z
Z
b2
b2
2
2
dq exp[−(aq − bq)] = dq exp −(aq − bq + ) +
4a
4a
#
"
2
Z
√
b2
b
= exp( ) dq exp −
aq − √
4a
2 a
Substitution p =
√
aq −
b2 1
= exp( ) √
4a a
b
√
,
2 a
Z
√
daraus folgt dq = dp/ a
2
dp e−p = exp(
b2 1 √
)√ π
4a a
Es geht weiter
C exp[i(ko z − ωo t)]
α(z − vg t)2
√
ϕ= √
exp −
4(α + iβt)
α + iβt
2
Intensität der Welle
α(z − vg t)2
ϕ ϕ= p
exp −
4(α2 + β 2 t2 )
2 α2 + β 2 t2
∗
|C|2
Also immer noch Gaußpaket exp(−z 2 /2l2 ), aber jetzt mit Breite
r
r
β2
l(t)
α2 + β 2 t2
⇒
= 1 + 2 t2
l(t) =
α
l(0)
α
Das Wellenpaket zerfließt also nur, wenn β 6= 0.
A
20
SPHERICAL AND CYLINDRICAL COORDINATES
A
Spherical and cylindrical coordinates
In this handout we will not introduce the spherical and cylindrical coordinates through a
formal transformation but rather by just looking at the picture and reading off the important
features. The question of interest to us here is: “what displacement vector d~s will we get by
an infinitesimal increase in one coordinate?”. Let us demonstrate this for both cases.
dV
r dφ
z
dz
r
r sin θ dϕ
z
dV
dr
dr
r dθ
r
y
r
φ
r sin θ dϕ
r sin θ
y
x
θ
ϕ
x
Abbildung 1: Infinitesimal Volume Element in cylindrical (left) and spherical (right) coordinates
A.1
Cylindrical coordinates
This concerns the picture on the left in Figure (1). A general point in space (for example
the one where the little volume box is in the picture) is characterized by the coordinates
(r, φ, z). If we increase r by dr, this point moves to the one that has coordinates (r + dr, φ, z),
the lower front corner of the box. The displacement is therefore d~sr = dr r̂. Similarly for
an increase in the z coordinate we get d~sz = dz ẑ. However, if we change φ to φ + dφ, the
displacement depends on r, the distance of our point from the z axis. From the picture we
can read off d~sφ = r dφ φ̂. The fact that the displacement vector can depend on the initial
coordinates (r, φ, z) is a general feature of curved coordinates and will appear even more
often in the next case.
Note that the basis vectors r̂, φ̂, ẑ are normalized to magnitude 1 and are perpendicular on
each other. This is also a feature that both coordinate systems have in common.
A.2
Spherical coordinates
In this system, r̂ points outwards on the line between the origin and the general point at
(r, θ, ϕ). The displacement vector d~sr = dr r̂ is still very easy to read off. Slightly more
complicated to see is that d~sθ = r dθ θ̂. If we increase ϕ, however, the displacement is
d~sϕ = r sin θ dϕ ϕ̂ as can be seen as follows: the displacement at the point (where the box
is) is the same as the displacement down in the x − y plane, where the distance to the z
axis is only r sin θ. Again, the basis vectors are orthonormal, meaning that they each have
a magnitude of 1 and are perpendicular on each other.
A.3
In general
These types of coordinate systems are called “curvilinear orthonormal coordinates”. Let us
call the coordinates just (x1 , x2 , x3 ) and the corresponding basis vectors ê1 , ê2 and ê3 . In
general, the displacement vector d~si , with i = 1, 2, 3, can be written as
d~si = ai dxi êi
(5)
B
21
DIV, GRAD, CURL AND ALL THAT
where ai are functions of the coordinates ai = ai (x1 , x2 , x3 ). For example in the previous
two cases above we have found
(x1 , x2 , x3 ) = (r, φ, z)
(a1 , a2 , a3 ) = (1, r, 1)
cylindrical coord. (6)
(x1 , x2 , x3 ) = (r, θ, ϕ)
(a1 , a2 , a3 ) = (1, r, r sin θ)
spherical coord. (7)
As a reference we can also include
(x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z)
B
(a1 , a2 , a3 ) = (1, 1, 1)
cartesian coord.
(8)
Div, Grad, Curl and all that
B.1
Gradient
The gradient of a function f (x1 , x2 , x3 ) is a vector that has the change of f as components.
Let us study this in cartesian coordinates first. We know that d~s1 = dx x̂ and the x compo~ is (∇f
~ )x = ∂f . In other words the change in f for an increase in the coordinate
nent of ∇f
∂x
x is:
~ = dx êx · ∇f
~ = dx
d~s1 · ∇f
∂f
= df
∂x
(9)
~ by
In cylindrical coordinates, for another example, we would get the θ component of ∇f
computing df = f (r, θ + dθ, z) − f (r, θ, z):
~ = r dθ θ̂ · ∇f
~
~ )θ dθ = df
d~s2 · ∇f
= r (∇f
(10)
and hence
~ )θ =
(∇f
1 ∂f
r ∂θ
(11)
We can generalize this to
~ )i =
(∇f
1 ∂f
ai ∂xi
(12)
or
~ =
∇f
X 1 ∂f
êi
ai ∂xi
(13)
i
We will show the explicit form in cylindrical and spherical coordinates at the end of this
handout.
B.2
Divergence
In preparation we need to prove a little theorem before we can start this discussion. A little
theorem is often called a “Lemma”.
• Lemma 1: We need to prove that
~ ·
∇
1
ê3 = 0
a1 a2
(14)
Let us begin with the proof by using the gradient as derived above and noting that
~ 1=
∇x
X 1 ∂x1
êi
ai ∂xi
i
(15)
B
DIV, GRAD, CURL AND ALL THAT
22
In this sum only one term is not zero, namely the first, when i = 1 and ∂x1 /∂x1 = 1.
We obtain simply (and then in general)
~ 1 = 1 ê1
∇x
a1
⇒
~ i = 1 êi .
∇x
ai
(16)
Now we also observe that, using the cross product,
~ 1 ) × (∇x
~ 2) =
(∇x
1
1
ê1 × ê2 =
ê3
a1 a2
a1 a2
(17)
and cyclic permutations of (1,2,3). It remains to show that the divergence of the
right-hand side vanishes. Any divergence of the cross product of two gradient fields
vanishes, as you can either recall from lecture or prove by yourself. (The statement
is independent of the picked coordinate system. It is most easily proven if one picks
cartesian coordinates.) We will leave this as an exercise.
~ ·V
~ . Let us decompose the vectorfield as
We are now in a position to calculate ∇
~
V
= V1 ê1 + V2 ê2 + V3 ê3
1
1
1
ê1 (V1 a2 a3 ) +
ê2 (a1 V2 a3 ) +
ê3 (a1 a2 V3 )
=
a2 a3
a1 a3
a1 a2
(18)
(19)
~ · (f~v ) = (∇f
~ ) · ~v + f (∇
~ · ~v ), our Lemma and the result for gradients
Using the identity ∇
(13), we obtain
~ · V~ =
∇
B.3
∂ a1 a3 V2
∂ a1 a2 V3
∂ a2 a3 V1
1
+
+
a1 a2 a3
∂x1
∂x2
∂x3
(20)
Curl
The derivation is very analogous to the one in chapter 3. We need to start with
• Lemma 2:
~ × 1 ê1 = 0
∇
a1
(21)
~ 1 . The left-hand side is therefore ∇
~ × ∇x
~ 1.
Proof: from (16) we know that ê1 /a1 = ∇x
Again, the curl of any gradient vanishes since partial derivatives commute.
~ as
We decompose the vectorfield V
~
V
= V1 ê1 + V2 ê2 + V3 ê3
1
1
1
ê1 (V1 a1 ) +
ê2 (V2 a2 ) +
ê3 (V3 a3 )
=
a1
a2
a3
(22)
(23)
~ × (~v f ) = f (∇
~ × ~v ) + (∇f
~ ) × ~v and above Lemma we obtain
Using the identity ∇
~ × V~ = (∇a
~ 1 V1 ) × e~1 + (∇a
~ 2 V2 ) × e~2 + (∇a
~ 3 V3 ) × e~3
∇
a1
a2
a3
(24)
Now we need to evaluate the gradients according to (13):
~ k Vk =
∇a
X 1 ∂ak Vk
êi
ai ∂xi
i
(25)
C
SUMMARY: CYLINDRICAL COORDINATES
23
We will leave it to the reader to write out all the terms as an exercise. In the end we obtain
e~2 ∂a1 V1
∂a2 V2
∂a3 V3
∂a3 V3
e~1
~
~
+
−
−
∇×V =
a2 a3 ∂x2
∂x3
a1 a3 ∂x3
∂x1
e~3 ∂a2 V2
∂a1 V1
+
(26)
−
a1 a2 ∂x1
∂x2
or, more organized,
1
~ ×V
~ =
∇
a1 a2 a3
B.4
a1 ê1
∂
∂x1
a1 V1
a2 ê2
∂
∂x2
a2 V2
a3 ê3 ∂
∂x3 a3 V3 (27)
Laplacian
~ · ∇f
~ . We simply
This is now mostPeasy, since we already have all the pieces for △f = ∇
~
~
write V = ∇f = i 1/ai ∂f /∂xi from (13) and plug it into (20). The result is
∂
∂
∂
a2 a3 ∂f
a1 a3 ∂f
a1 a2 ∂f
1
+
+
△f =
a1 a2 a3 ∂x1
a1 ∂x1
∂x2
a2 ∂x2
∂x3
a3 ∂x3
C
(28)
Summary: Cylindrical Coordinates
(x1 , x2 , x3 ) = (r, φ, z)
,
(a1 , a2 , a3 ) = (1, r, 1)
(29)
We calculate from (13), (20), (27) and (28)
~ = ∂f r̂ + 1 ∂f φ̂ + ∂f ẑ
∇f
∂r
r ∂φ
∂z
~ ·V
~ = 1 ∂ (rVr ) + ∂ Vφ + ∂ (rVz )
∇
r ∂r
∂φ
∂z
~ × V~ = r̂ ∂Vz − r ∂Vφ + φ̂ ∂Vr − ∂Vz + ẑ ∂(rVφ ) − ∂Vr
∇
r ∂φ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂φ
1 ∂
∂f
∂
∂
∂f
1 ∂f
△f =
r
+
+
r
r ∂r
∂r
∂φ r ∂φ
∂z
∂z
(30)
(31)
(32)
(33)
or
~ = ∂f r̂ + 1 ∂f φ̂ + ∂f ẑ
∇f
∂r
r ∂φ
∂z
∂
∂
1 ∂
~
~
(rVr ) +
Vφ +
Vz
∇·V =
r ∂r
∂φ
∂z
r̂
~ ×V
~ = 1 ∂
∇
r ∂r
Vr
rφ̂
∂
∂φ
rVφ
ẑ ∂ ∂z V z
∂f
1 ∂2f
∂2f
1 ∂
r
+ 2 2+ 2
△f =
r ∂r
∂r
r ∂φ
∂z
(34)
D
D
24
SUMMARY: SPHERICAL COORDINATES
Summary: Spherical Coordinates
(x1 , x2 , x3 ) = (r, θ, ϕ)
,
(a1 , a2 , a3 ) = (1, r, r sin θ)
(35)
We calculate from (13), (20), (27) and (28)
~ = 1 ∂f r̂ + 1 ∂f θ̂ + 1 ∂f ϕ̂
∇f
1 ∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂ 2
∂
∂
~
~
∇·V = 2
(r sin θ Vr ) +
(r sin θ Vθ ) +
(rVϕ )
r sin θ ∂r
∂θ
∂ϕ
(36)
(37)
r̂
θ̂
ϕ̂ ∂(rVθ ) ∂Vr
∂(sin θ Vϕ ) ∂Vθ
1 ∂Vr
∂(rVϕ )
+
+
(38)
−
−
−
r sin θ
∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
∂r
r
∂r
∂θ
2
∂ r sin θ ∂f
∂
∂ r sin θ ∂f
r ∂f
1
+
+
(39)
△f = 2
r sin θ ∂r
1
∂r
∂θ
r ∂θ
∂ϕ r sin θ ∂ϕ
~ V
~ =
∇×
or
~ = ∂f r̂ + 1 ∂f θ̂ + 1 ∂f ϕ̂
∇f
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂
1
∂
1 ∂ 2
~
~
(sin θ Vθ ) +
Vϕ
∇ · V = 2 (r Vr ) +
r ∂r
r sin θ ∂θ
∂ϕ
1
~ ×V
~ =
∇
2
r sin θ
2
△f =
r̂
∂
∂r
V
r
1 ˜
1 ∂
rf + 2 △f
2
r ∂r
r
rθ̂
∂
∂θ
rVθ
r sin θ ϕ̂ ∂
∂ϕ
r sin θ V ϕ
with
1 ∂
∂f
1 ∂2f
˜
△f =
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
(40)