Elektromagnetische Feldtheorie Vorlesungsskript

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Elektromagnetische Feldtheorie
Vorlesungsskript
Prof. Dr. G. Wachutka
17. Januar 2011
Inhaltsverzeichnis
2
Inhaltsverzeichnis
1 Klassische Kontinuumstheorie des Elektromagnetismus
1.1 Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Energie von elektromagnetischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Elektrische Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Magnetische Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . .
1.3 Potentialdarstellung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential . . . . . . . . .
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung . . . . . . . . .
1.4 Feldverhalten an Materialgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Grenzflächenbedingung für die normalen Feldkomponenten . . . .
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten .
1.5 Das Randwertproblem der Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Das RWP der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme . . . . . . . . . . .
1.5.2.1 Dirichletsche Randwertbedingung . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.2 Neumannsche Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.3 Gemischtes Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung . . . . . .
1.5.3.1 Orthogonalentwicklung nach Eigenfunktionen von ∆ . .
1.5.3.2 Lösung mittels Greenfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.3 Spiegelladungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen . . . . . . . . . . . .
1.5.4.1 Grundgleichungen, Rand- und Grenzflächenbedingungen
1.5.5 Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
9
13
15
17
17
20
23
23
26
30
30
34
34
35
37
41
41
44
47
51
51
56
2 Makromodellierung des Elektromagnetismus in technischen Systemen
2.1 Flusserhaltende Diskretisierung durch Ersatzschaltbilder . . . . . . . . .
2.1.1 Partition in Blockkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.1 Diskretisierung in Finite Netze (Finite Volumina, Finite
Boxen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.2 Stromdiskretisierung (Knotenregel) . . . . . . . . . . . .
2.1.1.3 Konzentrierte Elemente (Kompaktmodelle) . . . . . . . .
2.1.2 Physikalische Modellierung von Mehrpol-Blockkomponenten . . .
57
57
57
57
58
60
67
Inhaltsverzeichnis
2.2
2.3
2.4
3
Kapazitive Speicherelemente (Kondensator, Batterie, Akku, . . . ) . . . . . 68
2.2.1 Kondensatoranordnungen (Geometrie und Topologie) . . . . . . . 68
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.2.1 Beziehungen zwischen Leiterladungen und -potentialen . 70
2.2.2.2 Darstellung der gespeicherten elektrischen Energie . . . 71
2.2.2.3 Teilkapazitätskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Induktive Speicherelemente (Spulen, Drosseln) . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3.1 Spulenanordnung (Geometrie und Topologie) . . . . . . . . . . . . 77
2.3.2 Induktionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.3 Zusammenhang mit der magnetischen Feldenergie . . . . . . . . . 82
Niederfrequente Wechselstromnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre . . . . . . . . . . . 86
2.4.1.1 Wechselspannungsgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4.1.2 Zeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen . . . . . . . 94
2.4.2.1 Lineare Wechselstrom-Bauelemente . . . . . . . . . . . . 94
2.4.2.2 Elementare Beispiele für lineare Wechselstrombauelemente 96
2.4.2.3 Kirchhoffsche Regeln für Wechselstromschaltungen . . . 101
2.4.2.4 Einfache Grundschaltungen aus R, L, C . . . . . . . . . 102
2.4.2.5 Zusammenfassung Wechselstromschaltungen . . . . . . . 109
2.4.3 Leistung und Effektivwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4.3.1 Momentane Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4.3.2 Effektivwerte, Wirkleistung . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4.3.3 Leistungsbilanz bei energiespeichernden Bauelementen . 116
2.4.3.4 Scheinleistung und Blindleistung . . . . . . . . . . . . . 118
3 Elektromagnetische Wellen in homogenen Medien
124
3.1 Grundlegende Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1.1 Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1.2 Differentialgleichungen für Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.1.3 Wellengleichung für das elektromagnetische Viererpotential . . . . 131
3.1.4 Physikalischer Mechanismus für EM Wellenausbreitung . . . . . . 134
3.2 Homogene Wellengleichung in einer Raumdimension . . . . . . . . . . . . 134
3.2.1 Spezielle Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2.2 Grundlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2.3 Veranschaulichung im x-t-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.3 Ebene Wellen in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.3.1 Grundlösungen der dreidimensionalen Wellengleichung . . . . . . 137
3.3.2 Ebene eletromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.3.3 Energiedichte und Leistungsfluss ebener EM-Wellen . . . . . . . . 142
3.3.4 Harmonische ebene Wellen in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.3.5 Darstellung beliebiger EM-Wellen durch harmonische ebene Wellen 148
3.3.6 Grundgleichungen in Fourierdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.3.7 Räumlich gedämpfte ebene EM-Wellen in Leitern . . . . . . . . . 152
4
1 Klassische Kontinuumstheorie des
Elektromagnetismus in materiellen
Medien
1.1 Maxwellsche Gleichungen
Die Grundgleichungen des Elektromagnetismus lassen sich wie folgt zusammenfassen
(vgl. § 4.4 der Vorlesung Elektrizität und Magnetismus ):
#»
div D = ρ
(1.1)
#»
∂B
#»
rot E = −
∂t
(1.2)
#»
div B = 0
(1.3)
#»
#» #» ∂ D
rot H = j +
∂t
(1.4)
Die Maxwellschen Gleichungen sind Naturgesetze.
5
Hinzu kommen die drei phänomenologischen Materialgleichungen (Modellgleichungen):
#»
#»
D = E
(1.5)
#»
#»
B = µH
(1.6)
#»
#»
j = σE
(1.7)
Das System (1.1) - (1.7) ist auf einem Gebiet Ω ⊂ E3 zu lösen (nach entsprechender
#» #»
Substitution und Elimination ergibt sich ein geschlossenes System für E, H ).
Nach Vorgabe von passend gewählten Randwerten auf ∂Ω und Anfangsbedingungen für
t = t0 sind hierdurch alle elektromagnetischen Vorgänge vollständig bestimmt.
1.2 Energie von elektromagnetischen Feldern
1.2.1 Elektrische Energiedichte
(i) Energie zum Aufbau einer diskreten Ladungsanordnung (qi , #»
r i )|i=1, ..., N :
1
Wel =
4π
=
N
X
k=2
=
q3 q1
q3 q2
q2 q 1
+ #»
+ #»
+ ...
#»
#»
#»
| r 2 − r 1 | | r 3 − r 1 | | r 3 − #»
r 2|
N
X
X
qk k−1
qi
1
qk qi
=
#»
#»
#»
4π i=1 | r k − r i | i<k 4π | r k − #»
r i|
i,k=1
N
1 1 X
qk qi
#»
2 4π i6=k | r k − #»
r i|
i,k=1
!
1.2.1 Elektrische Energiedichte
6
(ii) Übergang zu einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ( #»
r ):
(qi , #»
r i )|i=1, ..., N
N
X
{. . . , #»
r i , . . .} qi
i=1
→
→
ρ( #»
r)
{. . . , #»
r , . . .} ρ( #»
r ) d3 r
Z
V
Also:
1 Z Z ρ( #»
r )ρ( #»
r 0) 3 3 0
Wel =
d rd r
8π
| #»
r − #»
r 0|
(1.8)
V V
(iii) Differentielle Änderung der elektrischen Energie:
ρ( #»
r ) → ρ( #»
r ) + δρ( #»
r)
Folgende Definitionen sollen gelten:
F (α) := Wel [ρ + αδρ] ; α ∈ R
d
δWel [ρ, δρ] :=
Wel [ρ + αδρ]
dα
α=0
Damit gilt:
dF · 1 + O δρ2
Wel [ρ + δρ] = F (1) = F (0) +
dα α=0
d
= Wel [ρ] +
Wel [ρ + αδρ]
+ O δρ2
dα
α=0
= Wel [ρ] + δWel [ρ; δρ] + O δρ2
1.2.1 Elektrische Energiedichte
7
Dadurch folgt für die differentielle Änderung der elektrischen Energie:
d  1 1 Z Z (ρ( #»
r ) + αδρ( #»
r ))(ρ( #»
r 0 ) + αδρ( #»
r 0 )) 3 3 0 
δWel =
d
r
d
r
dα 2 4π
| #»
r − #»
r 0|


V V
1 1 Z Z d
=
2 4π
dα
V V
V V
=
Z
V
!
(ρ( #»
r ) + αδρ( #»
r ))(ρ( #»
r 0 ) + αδρ( #»
r 0 )) d3 r d3 r0
#»
#»
0
|r − r |
α=0
!
ρ( #»
r ) δρ( #»
r 0 ) δρ( #»
r ) ρ( #»
r 0)
+ #» #»0
d3 r d3 r 0
| #»
r − #»
r 0|
|r − r |
1 1 Z Z
=
2 4π
Z
1 Z ρ( #»
r 0)
3 0
3
#»
d r δρ( r ) d r = Φ( #»
r ) δρ( #»
r ) d3 r
4π | #»
r 0 − #»
r|
V
V
Φ( #»
r ): Elektrostatisches Potential
{z
|
}
Fazit:
δWel =
Z
Φ( #»
r ) δρ( #»
r ) d3 r
(1.9)
V
#»
#»
(iv) Darstellung durch Feldgrößen E bzw. D:
#»
• δρ verursacht δD gemäß div δ D = δρ .
#»
#»
• E genügt E = −∇Φ.
#»
• δρ sei eingeschlossen in der Kugel K( 0 , R).
Damit folgt:
#»
Φ( #»
r ) div δ D( #»
r ) d3 r
Z
δWel =
#»
K( 0 ,R)
=−
Z
#»
K( 0 ,R)
α=0
#»
#»
grad Φ( #»
r ) δ D( #»
r ) d3 r +
Φ( #»
r ) δ D( #»
r ) |{z}
d #»
a
|
{z
}
| {z } | {z }
#»
δK( 0 ,R)
1
1 ∼ R2
−E( #»
r)
∼
∼ 2
R
R
Z
1.2.1 Elektrische Energiedichte
8
Für R → ∞ folgt damit:
Z
δWel =
#»
#»
E · δ D d3 r
(1.10)
R3
Zudem gilt:
Z
Wel =
wel ( #»
r ) d3 r
R3
Z
δWel =
δwel ( #»
r ) d3 r
R3
(v) Interpretation:
#»
#» #»
Es gebe ein Materialgesetz D →
7 E(D). Dann ist
#»
#»
δwel = E · δ D
(1.11)
die lokale differentielle Änderung der Energiedichte des elektrischen Feldes und
#»
wel =
ZD
#» #»
#»
E(D0 ) · dD0
#»
0
#» #»
Wegintegral im E-D-Raum
|
{z
}
ist die (lokale) Energiedichte des elektrischen Feldes.
(1.12)
1.2.2 Magnetische Energiedichte
9
#»
#»
(vi) Beispiel: D = E, = const.
#»
wel =
ZD
#»
0

Dx
Dy
Dz
0
0
0

Z
Z
1 #» #» 1  Z 0
D dD =  Dx dDx0 + Dy0 dDy0 + Dz0 dDz0 

=
1
(Dx2 + Dy2 + Dz2 )
2
Also:
wel =
#»2 1 #» #»
1 #»2
D = E = E ·D
2
2
2
(1.13)
1.2.2 Magnetische Energiedichte
(i) Elektromagnetische Leistung zur Aufrechterhaltung einer Stromverteilung:
• Diskrete Ladungen qk haben am Ort #»
r k (t) die Geschwindigkeit #»
v k (t). Damit
folgt für die elektromagnetische Leistung:
Pelmag = −
N
X
#»
F k ( #»
r k ) · #»
vk
k=1
=−
N
X
k=1
=−
N
X
k=1
qk
#»
#»
E( #»
r k )+ #»
v k × B( #»
r k ) · #»
vk
|
{z
0
}
#»
qk #»
v · E( #»
r k ) (= − mechanische Leistung)
1.2.2 Magnetische Energiedichte
10
#»
• Kontinuierliche Stromverteilung j ( #»
r ) = ρ( #»
r ) #»
v ( #»
r ):
N
X
{. . . , #»
r k , . . .} qk
→
k=1
{. . . , #»
r , . . .} ρ( #»
r ) d3 r
Z
V
⇒ Pelmag = −
Z
#»
ρ( #»
r ) #»
v ( #»
r ) · E( #»
r ) d3 r
V
Also:
Pelmag = −
Z
#»
#» #»
j ( r ) · E( #»
r ) d3 r
(1.14)
V
#»
#»
(ii) Darstellung durch Feldgrößen H bzw. B:
#»
#» #» ∂ D
Durch Einsetzen von rot H = j +
in (1.14) folgt:
∂t
Pelmag = −
Z
#» #»
rot H · E d3 r +
Z
V
V
|
Z
V
#»
#» ∂ D 3
E·
dr
∂t
{z
}
∂wel 3
dWel
dr=
∂t
dt
dWel
ist die Änderung des rein elektrischen Energieinhalts. Demnach ist die
dt
dWmag
Änderung des magnetischen Energieinhalts
enthalten im Term:
dt
−
Z
V
#» #»
!
rot H · E d3 r =
Z
V
|
∂wmag 3
d r + Energiefluss aus System durch Berandung ∂V
∂t
{z
dWmag
dt
}
1.2.2 Magnetische Energiedichte
11
Nebenrechnung
#» #»
#» #»
div(E × H) = ∇ · (E × H)
#»
#»
#»
#»
= (∇ × E) · H − (∇ × H) · E
#»
∂ B #»
#» #»
=−
· H − rot H · E
∂t
Damit gilt:
−
Z
#» #»
rot H · E d3 r =
V
Z
V
=
Z
V
#»
Z
∂ B #» 3
#» #»
· H d r + div(E × H) d3 r
∂t
V
#»
Z
∂ B #» 3
#» #»
· H d r + E × H d #»
a
∂t
∂V
#»
Mit V = K( 0 , R) folgt für R → ∞:
Pelmag
#»
Z
#» ∂ D 3
= E·
d r+
{z ∂t}
R3
R3 |
δwel
δt{z
} |
|
dWel
dt
Z
#»
Z
#» ∂ B 3
#» #»
H·
(E × H) · d #»
a
d r + lim
R→∞
#»
| {z ∂t}
| r |=R
δwmag
δt{z
}
dWmag
dt
Für den letzten Term gilt dabei:
1
#»
E∼ n
R
1
#»
H∼ m
R














für n = 2, mZ = 3: quasistatischer Fall
#» #»
⇒ lim
(E × H) d #»
a →0













für n =Z 1, m = 1: dynamischer Fall
#» #»
(E × H) d #»
a ist die totale abgestrahlte Leistung
⇒
R→∞
| #»
r |=R
| #»
r |=R
1.2.2 Magnetische Energiedichte
12
(iii) Fazit:
Differentielle Änderung der gesamten magnetischen Energie:
δWmag =
Z
#»
#»
H( #»
r ) · δ B( #»
r ) d3 r
(1.15)
R3
Differentielle Änderung der Energiedichte des magnetischen Feldes:
#»
#»
δwmag = H · δ B
(1.16)
Energiedichte des magnetischen Feldes:
#»
wmag =
ZB
#» #»0
#»0
H(B ) · dB
(1.17)
#»
0
#»
#»
(iv) Beispiel: B = µH, µ = const.
#»
wmag = µ
ZH
#»
0
#»0
#»0 µ #»2 1 #» #»
H · dH = H = H · B (1.18)
2
2
1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung
13
1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung
(i) Sei X eine physikalische Größe, die eine Dichte x( #»
r , t) besitzt (extensive Größe),
das heißt:
X(V ) =
Z
x( #»
r , t) d3 r,
∀ Kontrollvolumina V
V
Beispiele:
Ladung
Masse
Teilchen
Energie
X=
Q
M
N
W(el,mag)
Ladungsdichte
Massendichte
Konzentration
Energiedichte
x=
ρel
ρM
n
w(el,mag)
(ii) Bilanzgleichung in integraler Form (vgl. Abb. 1.1):
#»
#»
J x heißt Stromdichte zu X: J x = x( #»
r , t) #»
v x ( #»
r , t).
#»
#»
J x · d a ist die Menge der Größe X, die pro Zeiteinheit die Kontrollfläche d #»
a in
Normalrichtung passiert.
Abbildung 1.1: Stromdichte in einem Kontrollvolumen
Es gilt:
Z
Z
dX(V )
#»
= − J x d #»
a + Πx d3 r
dt
∂V
V
(1.19)
1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung
14
Wobei Πx die Produktionsrate der Größe X pro Volumen- und Zeiteinheit bezeichnet.
(iii) Bilanzgleichung in differentieller Form:
Z
Z
d Z
#»
x( #»
r , t) d3 r = − div J x ( #»
r , t) d3 r + Πx ( #»
r , t) d3 r
dt
V
V
V
∀ Kontrollvolumina V
Damit folgt:
∂x
#»
= − div J x + Πx
∂t
(1.20)
(iv) Beispiele:
• Ladungerhaltung:
Mit (1.1) und (1.4) gilt:
#»
∂D
#»
#» ∂ρ
#»
= div j +
0 ≡ div(rot H) = div j + div
∂t
| {z∂t}
∂
#» ∂ρ
div D =
∂t
∂t
Daraus folgt:
#» ∂ρ
0 = div j +
∂t
• Teilchenbilanz im Halbleiter:
Elektronen:
∂n
#»
= − div J n + Gn
∂t
Löcher:
∂p
#»
= − div J p + Gp
∂t
Gn und Gp sind die jeweiligen Teilchengenerationsraten.
1.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes
15
• Energiebilanz für das elektromagnetische Feld:
∂welmag
#»
+ div J elmag = Πelmag
∂t
#»
#»
#» ∂ D #» ∂ B
#»
#» #»
E·
+H ·
+ div J elmag = − j · E
| {z ∂t} | {z ∂t}
∂wel
∂wmag
∂t
∂t
1.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes,
Poynting-Vektor
(i) Wir wissen aus (1.11) und (1.16):
#»
#»
∂wel
#» ∂ D ∂wmag
#» ∂ B
=E·
,
=H·
∂t
∂t
∂t
∂t
Sowie (1.14):
Πelmag
#» #»
= − j · E, wegen Pelmag = −
Z
#» #» 3
j ·E d r
V
Andererseits gilt:
#»
#»
∂ D #»
#»
#» #» #»
#»
#» ∂ B
#»
div E × H = rot E · H − E · rot H = −H ·
− E ·(
+ j)
∂t
∂t
#»
Also:
#»
#»
#»
#» ∂ D #» ∂ B
#»
#» #»
E·
+H·
+ div E × H = − j · E
|
{z }
∂t {z
∂t}
|
Πelmag
∂welmag
∂t
(1.21)
1.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes
16
(ii) (1.21) legt nahe:
#»
#» #»
S := E × H
(1.22)
Poynting-Vektor
ist mit der elektromagnetischen Energiestromdichte zu identifizieren.
#»
#»
#»
#»
NB: Durch (1.21) ist J elmag nur bis auf ein additives Vektorfeld S 0 mit div S 0 = 0
eindeutig bestimmt, das heißt
#»
#» #» #»
J elmag = E × H + S 0
(1.23)
#»
mit div S 0 = 0
ist die elektromagnetische Energiestromdichte.
(iii) Beispiele:
#»
Elektrostatisches Feld (z.B. E = const.)
#»
Magnetostatisches Feld (z.B. H = const.)
#» #» #»
⇒ S = E × H = const. 6= 0, aber Energiefluss = 0!
In der Tat:
Z
∂V
#»
S d #»
a =
Z
V
#»
div S d3 r =
Z
#»
#»
div E × H d3 r = 0,
V
∀ Hüllflächen V
#»
D. h. für die integrale Bestimmung des Leistungsflusses kann S verwendet werden.
17
1.3 Potentialdarstellung des elektromagnetischen
Feldes
1.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential
(i) Vektorpotential (allgemein):
#»
#»
#»
• Sei U ( #»
r ) ein Vektorfeld mit U ( #»
r ) = rot V ( #»
r ).
Dann gilt:
#»
#»
div U = div(rot V ) = 0
• In „sternförmigen“ Gebieten Ω ⊂ R3 gilt auch die Umkehrung:
#»
div U = 0 in Ω
#»
#»
#»
⇒ es existiert V ( #»
r ) auf Ω mit U = rot V in Ω
Satz von Poincaré
(Bourne/Kendall: § 7.3, Großmann: § 5.2.9)
• Das Vektorpotential ist nur bis auf ein additives Gradientenfeld bestimmt,
denn:
#»
#»
#»
#» #»
U = rot V = rot V 0 ⇒ rot(V − V 0 ) = 0
Mit § A.5 (iii) der Vorlesung Elektrizität und Magnetismus folgt:
#» #»
es existiert χ( #»
r ) mit V − V 0 = grad χ( #»
r)
1.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential
18
Das heißt:
#»
#»
V 0 = V − grad χ( #»
r)
(ii) Elektromagnetisches Vektorpotential:
Nach § 1.1 gilt stets:
#»
div B( #»
r , t) = 0 in R3 × (−∞, ∞)
#»
Damit existiert ein A( #»
r , t) mit:
#»
#»
B( #»
r , t) = rot A( #»
r , t)
(1.24)
#»
A heißt elektromagnetisches Vektorpotential.
#»
NB: A ist durch (1.24) nur bis auf ein additives Gradientenfeld eindeutig bestimmt:
#»
#»
#» #»
#»
A und A 0 := A − ∇χ liefern dasselbe B-Feld (Eichfreiheit).
(iii) Skalares elektromagnetisches Potential:
Nach (1.2) gilt:
#»
∂ B (1.24) ∂
#»
#»
#»
˙
rot E = −
= − rot A = − rot A
∂t
∂t
#» #»
˙
⇒ rot(E + A) = 0
Damit folgt mit § A.5 (iii) aus der Vorlesung Elektrizität und Magnetismus :
#» #»
˙
∃ Φ( #»
r , t) mit E + A = − grad Φ
1.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential
19
Also:
#»
∂ A #»
#»
#»
E = − grad Φ( r , t) −
( r , t)
∂t
(1.25)
Φ heißt elektromagnetisches skalares Potential.
#»
NB: (1.25) verallgemeinert E = − grad Φ aus der Elektrostatik auf den zeitabhängigen Fall. Daher wird Φ oft auch (schlampigerweise) elektrisches Potential
genannt.
(iv) Eichtransformation:
#»
#» #»
Wird das Vektorpotential gemäß A 0 := A − ∇χ „umgeeicht“, so muss auch das
skalare Potential transformiert werden, damit (1.25) gültig bleibt.
!
#»
#»
#»0
∂
A
∂
∂χ
∂A
∂
A
0
0
0
= ∇Φ +
− ∇χ = ∇ Φ −
+
∇Φ +
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
#»
∂A
= ∇Φ +
∂t
!
Damit muss für Φ0 gelten:
Φ0 −
∂χ !
= Φ + (const.)
∂t
Insgesamt folgt also:
#»
#»
A 0 ( #»
r , t) = A( #»
r , t) − ∇χ( #»
r , t)
(1.26a)
∂χ #»
Φ0 ( #»
r , t) = Φ( #»
r , t) +
( r , t)
∂t
(1.26b)
#»
#»
#»
liefern für beliebige Eichfunktionen χ( #»
r , t) dasselbe E- und B-Feld wie A und Φ.
Beweis: In (1.24) und (1.25) einsetzen.
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung
20
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung
#» (i) Durch Einführen der elektromagnetischen Potentiale A, Φ sind die homogenen
Maxwellgleichungen
#»
div B = 0 und
#»
#» ∂ B
rot E +
=0
∂t
identisch erfüllt.
Einsetzen von (1.24) und (1.25) in die inhomogenen Maxwellgleichungen (1.1) und
(1.4) liefert (bei linearen Materialgleichungen):
#»
#»
∂
#»
ρ = div D = div E = − div (∇Φ) −
div A
∂t

!
#»
#» 
1
∂  ∂A 
∂
#» ∂ D
#»
#»
(∇Φ) +
j = rot H −
= rot
rot A +
∂t
µ
∂t
∂t
∂t
div(∇Φ) +
∂
#»
div( A) = −ρ
∂t
!
!
#»
∂2 A
∂Φ
1
#»
#»
rot A + +∇
= j
rot
2
µ
∂t
∂t
(1.27)
(1.28)
#»
Ziel ist nun die Entkopplung dieser Gleichungen bezüglich A und Φ.
(ii) Lorenzeichung:
• Seien und µ räumlich konstant. Mit einer geeigneten Eichfunktion χ lässt
sich die Lorenzeichung
∂Φ
#»
div A + µ
=0
∂t
(1.29)
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung
21
erfüllen.
#»
• Damit lässt sich A aus (1.27) eliminieren:
∆Φ − µ
∂ 2Φ
ρ
=−
2
∂t
(1.30)
Wellengleichung
• Weiter ist:
#»
#»
#»
#»
rot rot A = ∇ × ∇ × A = ∇(div A) − ∆ A
∂Φ
aus (1.28), so erhält man:
∂t
!
#»
∂2 A
∂Φ
#»
#»
#»
∇(div A) − ∆ A + µ
+ ∇ µ
= jµ
2
∂t
∂t
|
{z
}
#»
−∇(div A)
Eliminiert man zudem mit (1.29)
Daraus folgt:
#»
∂2 A
#»
#»
∆ A − µ 2 = −µ j
∂t
(1.31)
Wellengleichung
Kompaktschreibweise:
ρ/
∂2
Φ
(∆ − µ 2 ) #» = −
#»
µ
j
A
∂t
|
{z
}
Wellenoperator
!
!
(1.32)
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung
22
#» Alle vier Komponenten von A, Φ werden formal gleich behandelt (vierdi
#»
mensionale Raum-Zeit, Viererpotential, Viererstromdichte ρc, j ).
(iii) Coulombeichung:
• Seien , µ (stückweise) räumlich konstant: Mit einer passend gewählten Eichfunktion χ ergibt sich die Coulombeichung (oder optische Eichung):
#»
div A = 0
(1.33)
div(∇Φ) = −ρ( #»
r , t)
(1.34)
• (1.27) lautet dann:
Poissongleichung
Sie ist instantan bezüglich der Zeit t und sieht formal aus wie im elektrostatischen Fall, obwohl Φ( #»
r , t) das elektromagnetische Skalarpotential ist.
• (1.28) vereinfacht sich zu:
!
#»
∂2 A
∂
#»
#»
(∇Φ)
∆ A − µ
= −µ j − ∂t2
∂t
|
{z
}
#»
jt
(1.35)
Dies ist die Wellengleichung mit der divergenzfreien, transversalen Stromdichte
∂
#»
#»
(grad Φ) (Beweis: Bilde Divergenz von (1.28)).
j t := j − ∂t
23
1.4 Feldverhalten an Materialgrenzen
1.4.1 Grenzflächenbedingung für die normalen Feldkomponenten
#»
(i) Das Vektorfeld U ( #»
r ) erfülle die Beziehung
#»
div U = γ
(1.36)
mit Volumendichte γ
#»
#»
Beispiele hierfür sind div D = ρ oder div B = 0.
1 und 2 in
An einer Grenzfläche Σ zwischen zwei verschiedenen Materialien #»
den Gebieten Ω1 und Ω2 existiere eine Grenzflächendichte ν( r ) der durch γ( #»
r)
beschrieben extensiven Größe (z.B. γ = ρ damit ν = σ Oberflächenladungsdichte).
Abbildung 1.2: Oberflächenladungsdichte an Grenzfläche
Für ein Kontrollvolumen V , welches die Grenzfläche Σ schneidet, V ∩ Σ 6= ∅, gilt
dann (vgl. Abb. 1.2):
Z
∂V
#»
U · d #»
a =
Z
V
γ d3 r +
Z
V ∩Σ
ν da
(1.37)
1.4.1 Grenzflächenbedingung für die normalen Feldkomponenten
24
#»
1 →
2 ), Z das zylin(ii) Seien N ( #»
r 0 ) mit #»
r 0 ∈ Σ die Oberflächennormale auf Σ (
drische Kontrollvolumen, A = Σ ∩ Z der Querschnitt sowie M der Zylindermantel.
Abbildung 1.3: Zylindrisches Kontrollvolumen
Z
#»
U · d #»
a+
A1
Z
A2
#»
U · d #»
a+
Z
#»
U · d #»
a =
M
Z
γd r+
3
Z
Z
ν da
Σ∩Z=A
Für ∆h → 0 folgt mit dem Mittelwertsatz:
#»
#»
#»
#» #» #»
U ( #»
r ) · N ( #»
r 0 )∆A = ν( #»
r 0 )∆A
lim
−
U
(
r
)
·
N
( r 0 ) ∆A +#r»lim
#r»→ #r»
→ #r»
0
#r»∈Ω
1
0
#r»∈Ω
2
Also:
#»
#» #»
#»
U2 ·N − U1 ·N = ν
#»
1 nach 2
N zeigt von #»
#»
#» #»
#» #»
mit U j · N ( #»
r 0 ) :=#r»lim
U
(
r
)
·
N
( r 0)
#
»
→r ,
0
#r»∈Ω
j
(1.38)
1.4.1 Grenzflächenbedingung für die normalen Feldkomponenten
25
#»
(iii) Anwendung auf D:
#»
div D = ρ, Grenzflächenladungsdichte σint .
#»
#» #»
#»
D2 · N − D1 · N = σint auf Σ
(1.39)
#»
Der Sprung in der Normalkomponente von D längs Σ ist gleich der Grenzflächenladungsdichte σint auf Σ.
Speziell:
σint = 0
#»
⇒ Normalkomponente von D ist stetig
#»
(iv) Anwendung auf B:
#»
div B = 0, keine Grenzflächenladungsdichte.
#»
#» #»
#»
B 1 · N = B 2 · N auf Σ
#»
⇒ Normalkomponente von B ist stetig
(1.40)
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
26
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen
Feldkomponenten
#»
(i) Das Vektorfeld U ( #»
r ) erfülle die Beziehung:
#» #» #»
rot U = J + V + #»
ν δΣ
(1.41)
#»
#»
mit Flussdichte J und beschränktem Vektorfeld V ( #»
r)
#»
#»
#» #» ∂ D
#» #» ∂ B
Beispiele sind rot H = j −
oder rot E = 0 −
.
∂t
∂t
1 und 2 in
Auf der Grenzfläche Σ zwischen zwei verschiedenen Materialien #»
#»
#»
den Gebieten Ω1 und Ω2 existiere eine Grenzflächenflussdichte ν ( r ) der durch J
#» #»
beschriebenen extensiven Größe (z.B. J = j el ⇒ #»
ν elektrische Oberflächenstromdichte).
Abbildung 1.4: Grenzflächenflussdichte an einer Grenzfläche
Für eine Kontrollfläche A mit positiv orientierter Randkurve C = ∂A, welche die
Grenzfläche Σ schneidet (vgl. Abb. 1.4), gilt dann:
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
Z
#»
U d #»
r =
Z
#»
J d #»
a+
A
∂A
Z
A
#»
V d #»
a+
27
#»
ν · #»
n ds
Z
A∩Σ
(1.42)
mit #»
n Oberflächennormale von A ( d #»
a = #»
n da)
#»
#»
#»
#»
1 nach 2
r 0 ) = t ein Tangentialvektor auf Σ, N ( #»
r 0 ) = N die (von (ii) Seien t ( #»
#»
weisende) Oberflächennormale, r 0 ∈ Σ, A eine rechteckige Kontrollfläche sowie
#» #»
#»
n = N × t die orientierte Oberflächennormale zu A (vgl. Abb. 1.5).
Abbildung 1.5: Rechteckige Kontrollfläche an der Grenzfläche
Dann schreibt sich (1.42):
4 Z
X
#»
U d #»
r =
i=1 γi
Z #»
#»
J + V · #»
n da +
A
Z
#»
ν · #»
n ds
Σ∩A
Es folgt mit dem Mittelwertsatz:
#»
#» #»
#» #»
#»
#» #»
#»
#»
#»
lim U ( #»
r ) · t ∆l −#r»lim
U
(
r
)
·
t
∆l
+
U
(
r
)
·
N
∆b
−
U
(
r
)
·
N
∆b
4
2
#
»
→r ,
#r»→ #r» ,
0
#r»∈Ω
2
0
#r»∈Ω
1
= ∆l∆b
#»
#»
J ( #»
r 0 ) + V ( #»
r 0 ) · #»
n + ∆l #»
ν ( #»
r 0 ) · #»
n
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
28
Erst ∆b → 0, dann Division durch ∆l und ∆l → 0 liefert:
#»
#» #»
#»
U 2 · t − U 1 · t = #»
ν · #»
n auf Σ
(1.43)
#»
#» #»
#»
#» #»
mit U j · t :=#r»lim
U
(
r
)
·
t ( r 0)
#
»
→r
0
#r»∈Ω
j
#» #»
(iii) Wegen #»
n = N × t gilt weiter:
#»
#» #»
#» #»
ν · #»
n = #»
ν · N × t = #»
ν ×N · t
Also:
#»
#» #»
#» #»
#» U 2 · t − U 1 · t = #»
ν ×N · t
(∗)
#»
für jeden Tangentialvektor t
Abbildung 1.6: Projektor auf die Grenzflächennormalebene
Nebenrechnung Der Projektor auf die Grenzflächentangentialebene lautet:
#» #»
#» #»
#»
#»
#» #»
ΠX = X − (N · X) · N = −N × (N × X)
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
Damit gilt:
#» #»
#» #»
X · t = 0 für alle t ⊥N
#»
⇔ ΠX = 0
#» #» #»
⇔ N × N ×X =0
#» #»
⇔ N ×X =0
#» #» #» #» #» #»
wegen − N × X = N × N N × X
Damit lässt sich (∗) umschreiben zu:
#» #» #» #»
#»
#» N.R.
U 2 t − U 1 t = ( #»
ν × N ) · t ⇐=⇒
#» #»
#» #»
#»
#»
#» #»
#» #» #»
N × U 2 − N × U 1 = N × ( #»
ν × N ) = #»
ν (N
· ν}) = #»
ν
| ·
{z N}) − N (N
| {z
1
0
Fazit:
#» #»
#» #»
N × U 2 − N × U 1 = #»
ν
(1.44)
#»
1 nach 2
N zeigt von #»
(iv) Anwendung auf E:
#»
∂B
#»
#»
rot E = −
, keine Grenzflächenflussdichte: J = #»
ν = 0.
∂t
#»
#» #»
#»
E 1 × N = E 2 × N auf Σ
(1.45a)
#» #» #» #»
E 1 t = E 2 t auf Σ
(1.45b)
#»
Tangentialkomponente von E stetig
29
30
#»
#»
#» #» ∂ D
#»
(v) Anwendung auf H: rot H = j +
, Grenzflächenstromdichte i .
∂t
#» #»
#» #»
#»
N × H2 − N × H1 = i
(1.46)
#»
1 nach 2
N zeigt von #»
Speziell: i = 0:
#»
#» #»
#»
H 1 × N = H 2 × N auf Σ
(1.47a)
#» #» #» #»
H 1 t = H 2 t auf Σ
(1.47b)
#»
Tangentialkomponenten von H stetig
1.5 Das Randwertproblem der Potentialtheorie
1.5.1 Das Randwertproblem der Elektrostatik: Rand- und
Grenzflächenbedingungen
#» (1.5) #» #» (1.25)
#» (1.1)
(i) In elektrischen Medien gilt D = E, E = −∇Φ, div D = ρ, also:
div(( #»
r )∇Φ) = −ρ
(1.48)
Poissongleichung, vgl (1.34)
#»
#»
(ii) In elektrisch leitenden Medien gilt (Statik) j = 0, und da j = −σ∇Φ
⇒
∇Φ = 0
1.5.1 Das RWP der Elektrostatik
31
Φ( #»
r ) = const. auf Leitern
(1.49)
(iii) Grenzflächenbedingungen für das elektrische Potential Φ am Materialgrenzen Σ
zwischen Ω1 und Ω2 :
Abbildung 1.7: Tangenten- und Normalenvektor an einer Grenzfläche
#»
#»
#»
#»
Wegen E 1 · t = E 2 · t ist die Tangentialkomponente von ∇Φ stetig. Durch
#»
Integration von t · ∇Φ „links“ und „rechts“ von Σ folgt:
Φ ist längs Materialgrenzen stetig
(iv) Grenzflächenbedingungen für die Normalenableitung des Potentials:
#»
#»
1 nach 2 , vgl. (1.39)) folgt:
Wegen D2 · #»
n zeigt von n − D1 · #»
n = σint auf Σ ( #»
∂Φ ∂Φ 1
− 2
= σint
∂n 1
∂n 2
auf Σ
(1.50)
∂Φ wobei
:= lim #»
n ( #»
r 0 ) · ∇Φ( #»
r ), j = 1, 2
∂n j #r»#r»→∈Ω#r»0
j
1.5.1 Das RWP der Elektrostatik
32
(v) Sonderfall A:
Abbildung 1.8: Leiter und Isolator
1 ist idealer Leiter
2 ist (dielektrischer) Isolator
#»
#»
⇒
⇒
#»
#»
E 1 = 0 , also E 1 · t = 0
#»
#»
E2 · t = 0
#»
−∇Φ|2 = E 2 ⊥ Leiteroberfläche
#»
Außerdem gilt D2 · #»
n = σint , also:
∂Φ 2
= −σint auf Σ
∂n 2
(1.51)
1.5.1 Das RWP der Elektrostatik
33
(vi) Sonderfall B:
Abbildung 1.9: Grenzfläche zwischen zwei Isolatoren
1 und 2 sind Isolatoren, keine Grenzflächenladungen (σint = 0) (vgl. 1.9).
#»
#»
#»
#» #»
#»
E 1 · t = E 2 · t und D1 · #»
n = D2 · #»
n
⇒
⇒
#»
#»
1 E 1 · #»
n = 2 E 2 · #»
n
#»
#»
#»
1 E1 · t
E2 · t
1
· #»
= · #»
1 E 1 · #»
2 E 2 · #»
n
n
Abbildung 1.10: Einfallwinkel
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
34
#» #»
D· t
Mit tan α = #» #» (vgl. Abb. 1.10) folgt:
D· n
#»
#»
1 sin α1 · |E 1 |
1 sin α2 · |E 2 |
⇒
·
#» = ·
#»
1 cos α1 · |E 1 |
2 cos α2 · |E 2 |
tan α1
1
=
tan α2
2
(1.52)
Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
1.5.2.1 Dirichletsche Randwertbedingung
(i) Sei Ω ⊂ E3 ein zusammenhängendes, beschränktes Gebiet mit lipschitz-stetigem
Rand ∂Ω, auf dem div(∇Φ) = −ρ gelöst werden soll, sodass auf dessen Rand ∂Ω
die Lösung Φ( #»
r )|∂Ω einem vorgegebenen Randwert ΦD ( #»
r ) annimmt.
div(∇Φ) = −ρ auf Ω̊ und Φ|∂Ω = ΦD
(1.53)
Dirichletsches Randwertproblem, [Dir-RWP]
(ii) Satz. Für 0 < c0 ≤ ( #»
r ), ∈ C 1 (Ω), ρ ∈ C(Ω) und ΦD ∈ C(∂Ω)
hat [Dir-RWP] eine eindeutig bestimmte, klassische Lösung Φ ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω).
(iii) Beispiel Kondensatoranordnung:
Leitende Gebiete Ω0 , Ω1 , . . . , ΩN schließen ein dielektrisches Gebiet Ω ein. #»
n ist
dabei die innere Normale auf ∂Ω =
N
]
∂Ωj (äußere Normale bzgl. Ωj ) (vgl. Abb.
j=0
1.11). Damit sind alle ∂Ωj Äquipotentialflächen mit konstantem Potential Vj .
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
35
Abbildung 1.11: Kondensatoranordnung
Annahme: keine Raumladung, ρ ≡ 0
gegeben:
(V0 , V1 , . . . , VN ) ∈ RN +1
gesucht:
Potential Φ( #»
r ) in Ω mit
div(∇Φ) = 0 und Φ|∂Ωl = Vl (l = 0, 1, . . . , N )
(1.54)
[V-RWP]
Satz. [V-RWP] hat eine durch V = (V0 , V1 , . . . , VN ) eindeutig bestimmte,
klassische Lösung Φ( #»
r ).
1.5.2.2 Neumannsche Randbedingung
(i) Sei Ω ⊂ E3 ein zusammenhängendes, beschränktes Gebiet mit lipschitz-stetigem
Rand ∂Ω, auf dem div(∇Φ) = −ρ gelöst werden soll, sodass auf dessen Rand
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
36
∂Φ #» #» #» #» n = äußere Normale auf ∂Ω einen vorge= n · ∇Φ( r ) mit #»
∂Ω
( r )
∂Ω
∂n
∂Ω
#»
gebenen Wert FN ( r ) annimmt.
∂Φ = FN
div(∇Φ) = −ρ auf Ω und
∂n ∂Ω
(1.55)
Neumannsches Randwertproblem, [Neu-RWP]
NB: De facto ist die Neumann-Randbedingung
die Vorgabe einer Oberflächenla
∂Φ
#»
. Diese muss jedoch eine notwendige
dungsdichte σ( #»
r ) = −D( #»
r ) · #»
n ( #»
r) = ∂n ∂Ω
Voraussetzung erfüllen:
−
Z
Z
ρd r =
3
Ω
div(∇Φ) d r =
3
Ω
Z
=
∂Ω
Insbesondere: Falls ρ ≡ 0
⇒
Z
∂Ω
∇Φ · |{z}
d #»
a
#»
n da
Z
∂Φ
da = FN da
∂n
∂Ω
Z
!
FN da = 0 notwendig für Lösbarkeit!
∂Ω
r ), ∈ C 1 (Ω), ρ ∈ C(Ω), FN ∈ C(∂Ω) mit
(ii) Satz. Für
0 < c0 ≤Z ( #»
Z
FN da = − ρ d3 r (∗) hat [Neu-RWP] bis auf eine additive,
Ω
∂Ω
reelle Konstante eine eindeutig bestimmte, klassische Lösung Φ ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω).
(*) bedeutet anschaulich:
Z
Ω
ρ d3 r = −
Z
∂Ω
∂Φ
da =
∂n
Z
∂Ω






#»
D · d #»
a =




Q(Ω)
−
Z
∂Ω
= eingeschlossene Ladung
σ da = gesamte OF-Ladung auf δΩ
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
37
Elektrische Neutralität ⇔ elektrische Energie in Ω (Innenraum).
(iii) Beispiel: Kondensatoranordnung wie in § 1.5.2.1 (iii), aber mit Vorgabe der Gesamtladung Ql (l = 1, ..., N ) auf den Kondensatorplatten ∂Ωl
gegeben: (Q0 , Q1 , Q2 , ..., QN ) ∈ RN +1 mit
N
X
Ql = 0
l=0
gesucht: Potential Φ( #»
r ) in Ω mit
div(∇Φ) = 0 in Ω und
Z
∂Ωl
∂Φ
da = Ql
∂n
(1.56)
[Q-RWP]
#»
n = äußere Normale von ∂Ωl
Satz. [Q-RWP] hat durch die Vorgabe von (Q0 , Q1 , ..., QN ) ∈ RN +1
mit
N
X
Ql = 0 eine bis auf eine additive Konstante eindeutig
l=0
bestimmte Lösung Φ( #»
r ).
Beweisidee: Aus Qk =
N
X
Ckl (Vl − V0 ) lassen sich für l = 1, . . . , N Potentialvorga-
l=1
ben V0 − Vl bestimmen, V0 ist beliebig wählbar. Dann [V-RWP] lösen.
1.5.2.3 Gemischtes Randwertproblem, Randbedingung dritter Art
#»
(i) Sei Ω ⊂ E3 ein Gebiet, auf dem div D = − div(∇Φ) = ρ gelöst werden soll, so
∂Φ #»
dass auf dessen Rand ∂Ω die Linearkombination α( #»
r )Φ( #»
r ) + β( #»
r)
( r ) einen
∂n
gegebenen Wert annimmt.
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
38
(ii) Beispiel 1: Elektrischer Kontakt mit ohmschem Kontaktwiderstand (vgl. Abb. 1.12):
#»
#»
j = σ E = −σ∇Φ
∂Φ
Φin − ΦKlemme
#»
= σ∂Ω
= γel (Φin − ΦKlemme )
IKlemme = j · #»
n = −σΩ
|{z}
∂n
d
Übergangsleitwert ≥ 0
Abbildung 1.12: Elektrischer Kontakt
Also:
!
∂Φ γel
γel
Φ+
=
ΦKlemme
σΩ
∂n ∂Ω
σΩ
|{z}
h≥0
bzw.
∂Φ
= h(ΦKlemme − Φ)
∂n
(1.57)
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
Grenzfälle:
∂Φ
= 0: homogene Neumann-RB, isolierender Rand
h = 0 ⇒ γel = 0 ⇒
∂n
h → ∞ ⇒ γel → ∞ ⇒ Φ = ΦKlemme : Dirichlet-RB, idealer Ohmscher Kontakt
(iii) Beispiel 2: Wärmetransport, thermischer Übergang (vgl. Abb. 1.13):
#»
J Q = −κ∇T ;
#»
div J Q = ΠQ
κ = thermische Leitfähigkeit
T = Temperatur
ΠQ = Heizleistungsdichte
⇒ div(κ∇T ) = −ΠQ
Thermischer Kontakt von Ω durch eine Schicht zur Außenwelt:
∂T Tin − Text
#»
= κ∂Ω
:= K (Tin − Text )
IQ = J Q · #»
n = −κΩ ·
∂n ∂Ω
d
Dabei ist K =
κ∂Ω
der Wärmedurchgangskoeffizient (K-Wert).
d
Abbildung 1.13: Thermischer Übergang
39
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
K
∂T
T+
κ∂Ω
∂n
!
=
∂Ω
K
Text
κ∂Ω
40
(1.58)
|{z}
h
bzw.
∂T
= h(Text − T )
∂n
Grenzfälle:
∂T
K=0⇒
= 0: homogene Neumann-RB, thermisch völlig isolierend.
∂n
K → ∞ ⇒ T = Text : Dirichlet-RB, Anschluss an Wärmereservoir (heat-sink) mit
fester Temperatur Text .
(iv) Definition: Gemischtes Randwertproblem (Randwertproblem dritter Art)
Suche Φ( #»
r ) auf Ω ⊂ E3 (zusammenhängend, beschränkt, mit lipschitz-stetigem
Rand ∂Ω), sodass gilt:
div(σ∇Φ) = −Π auf Ω
und
∂Φ
+ hΦ
∂n
!
(1.59)
= F auf ∂Ω
∂Ω
[Gem. RWP]
Damit „die Physik stimmt“, müssen wir fordern:
σ > 0, h ≥ 0
#»
#»
#»
(d.h j el k E = −∇Φ; J Q k −∇T )
(v) Satz. Für 0 < c0 ≤ σ( #»
r ), σ ∈ C 1 (Ω), Π ∈ C(Ω), h ∈ C(∂Ω), h ≥ 0,
h 6= 0, F ∈ C(∂Ω) hat [Gem. RWP] eine eindeutig bestimmte,
klassische Lösung: Φ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω).
NB: Ist h ≡ 0 ⇒ [Neu-RWP]-Lösungstheorie. Mit 0 ≤ h ≤ ∞ interpoliert
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
41
man zwischen [Neu-RWP] und [Dir-RWP]. Der Grenzwert h → ∞ ist singulär
(Dirichlet-RB ist wesentliche, Neumann-RB ist natürliche RB).
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
1.5.3.1 Orthogonalentwicklung nach Eigenfunktionen von ∆
(Spektraldarstellung)
(i) Problemstellung: Löse gemischtes Randwertproblem
div(∇Φ) = −ρ auf Gebiet Ω, 0 < c0 ≤ ( #»
r)
(1.60)
mit Φ|∂Ω(D)
∂Φ = σN
= ΦD und ∂n ∂Ω(N )
wobei ∂Ω = ∂Ω(D) ∪ ∂Ω(N)
∅ = ∂Ω(D) ∩ ∂Ω(N) , ∂Ω(D) 6= ∅
(ii) Lösungsschritt 1:
∂Φ(0) Finde Φ(0) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) mit
=
Φ
und
= σN als
D
∂Ω(D)
∂n ∂Ω(N )
Lösung der homogenen DGL div ∇Φ(0) = 0.
Ansatz für Φ: Φ = Φ(0) + ϕ. ϕ erfüllt dann das homogene Randwertproblem:
Φ(0) div (∇ϕ) = −ρ − div ∇Φ(0) =: −f
ϕ|∂Ω(D) = 0,
∂ϕ =0
∂n ∂Ω(N )
(1.61)
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
42
(iii) Lösungsschritt 2:
r ) und λν ∈ C
Finde Eigenfunktionen und Eigenwerte zu − div(∇ .), d.h finde bν ( #»
mit:
− div(∇bν ) = λν bν
(1.62)
und homogene Randwertbedingungen für bν
Für beschränkte („endliche“) Gebiete Ω lässt sich zeigen:
a) {λν |ν = 1, ...∞} ist diskret, λν ∈ R+ , 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ . . .
b) {bν } können orthonormal gewählt werden:
< bµ |bν >:=
Z
b∗µ ( #»
r )bν ( #»
r ) d3 r = δµν
(1.63)
Ω
c) {bν |ν ∈ N} sind vollständig, d.h. jede Funktion ϕ ∈ L2 (Ω) lässt sich nach
b1 , b2 , b3 , . . . entwickeln.
ϕ=
∞
X
αν bν mit αν =< bν |ϕ >
(1.64)
ν=1
Kurzschreibweise als Vollständigkeitsrelation:
∀
ϕ∈L2 (Ω)
Z
∞
X
#»
#»
ϕ( r ) =
bν ( r ) b∗ν ( #»
r 0 )ϕ( #»
r 0 ) d3 r0
ν=1
=
Z X
∞
Ω ν=1
|
Ω
bν ( #»
r )b∗ν ( #»
r 0 ) ϕ( #»
r 0 ) d3 r 0
Deltafunktion δ( #»
r − #»
r 0)
{z
}
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
∞
X
43
bν ( #»
r )b∗ν ( #»
r 0 ) = δ( #»
r − #»
r 0)
(1.65)
ν=1
(iv) Lösungsschritt 3:
r) =
Für ein gegebenes f suchen wir eine Lösung zu (1.61) mit dem Ansatz ϕ( #»
∞
X
r ). Die homogenen Randbedingungen sind identisch erfüllt, es bleibt zu
αν bν ( #»
ν=1
lösen:
∞
X
!
f = − div(∇ϕ) =
αν [− div(∇bν )] =
ν=1
αµ λµ =
∞
X
|
αν λν < bµ |bν > =
ν=1
|
{z
}
δµν
⇒ αµ =
Z
{z
λ ν bν
}
∞
X
αν λν bν
ν=1
bµ (r)∗ f ( #»
r ) d3 r =< bµ |f >
Ω
< bµ |f >
λµ
Damit folgt abschließend die Lösung:
ϕ( #»
r) =
ϕ( #»
r) =
∞
X
< bν |f > #»
bν ( r )
λν
ν=1
1
r 0 ) f ( #»
bν ( #»
r ) b∗ν ( #»
r 0 ) d3 r0
λ
ν
ν=1
Z X
∞
Ω
Greenfunktion G( #»
r , #»
r 0)
|
{z
}
(1.66a)
(1.66b)
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
44
1.5.3.2 Lösung mittels Greenfunktion
(i) Greenfunktion: Definiert als die Lösung des homogenen Randwertproblems mit
f ( #»
r ) = δ( #»
r − #»
r 0 ) („Punktladung“) als rechte Seite, also:
div #»r (( #»
r )∇ #»r G( #»
r , #»
r 0 )) = −δ( #»
r − #»
r 0)
(1.67)
und homogene Randbedingungen
(ii) Ist ϕ Lösung von (1.61), so gilt:
ϕ( #»
r) =
δ( #»
r − #»
r 0 )ϕ( #»
r 0 ) d3 r0
Z
Ω
=−
div #»r 0 ( ∇ #»r 0 G( #»
r , #»
r 0 )) ϕ( #»
r 0 ) d3 r 0
Z
Ω
=
Z
∇ #»r 0 G( #»
r,
#»
r 0 ) · ∇ #»r 0 ϕ( #»
r 0 ) d3 r 0 −
Ω
=−
|
{z
}
0
Z
Z
G( #»
r , #»
r 0 ) ( #»
r 0 ) #»
n · ∇ #»r 0 ϕ( #»
r 0 ) da0
∂Ω(N )
Ω
0
G( #»
r , #»
r 0 ) div #»r 0 ( ∇ #»r 0 ϕ( #»
r 0 )) d3 r0 +
G( #»
r , #»
r 0 ) ( #»
r 0 ) #»
n · ∇ #»r 0 ϕ( #»
r 0 ) da0
|
{z
}
| {z }
∂Ω(D)
0
−f ( #»
r 0)
Z
Ω
Z
| {z }
#»
n · ∇ #»r 0 G( #»
r , #»
r 0 ) ϕ( #»
r 0 ) da0
Z
∂Ω(N )
=
a0
∇ #»r 0 G( #»
r , #»
r 0 ) ϕ( #»
r 0 ) d #»
∂Ω(D)
−
+
Z
G( #»
r , #»
r 0 )f ( #»
r 0 ) d3 r0
|
{z
0
}
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
45
(iii) Fazit:
ϕ( #»
r) =
Z
G( #»
r , #»
r 0 )f ( #»
r 0 ) d3 r0
(1.68)
Ω
löst homogenes Randwertproblem (1.61)
NB: G ist Kern eines symmetrischen Integraloperators: G( #»
r , #»
r 0 ) = G( #»
r 0 , #»
r ).
(iv) Kennt man die Eigenfunktionen und -werte von div(∇◦), so gilt nach (1.66b) die
Spektraldarstellung:
G( #»
r , #»
r 0) =
1 ∗ #»0
bν ( #»
r)
b (r )
λν ν
ν=1
∞
X
(1.69)
Für unbeschränkte Gebiete Ω gilt eine analoge Darstellung, aber:
∞
X
(. . . , bν , λν , . . .)
ν=1
→
Z
(. . . , bk , λk , . . .) dµ(k)
k∈Σ
(v) Beispiel:
Ω = (0, L1 ) × (0, L2 ) × (0, L3 ) mit homogenen Dirichletbedingungen und = const.,
das Randwertproblem lautet dann:
1
f =: fe; ϕ|δΩ = 0
Finde Eigenfunktionen in kartesischen Koordinaten #»
r = (x1 , x2 , x3 ).
#»
Separationsansatz: b( r ) = b1 (x1 ) · b2 (x2 ) · b3 (x3 ).
−∆ϕ =
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
Wegen ∆ =
46
∂2
∂2
∂2
+
+
gilt:
∂x21 ∂x22 ∂x23
!
−∆b = −b001 b2 b3 − b1 b002 b3 − b1 b2 b003 = λb1 b2 b3
⇒−
⇒−
b001 b002 b003
− −
=λ∈R
b1 b2 b3
b001
b00
b00
= λ1 ; − 2 = λ2 ; − 3 = λ3
b1
b2
b3
b00j + λj bj = 0, (j = 1, 2, 3)
Allgemeine Lösung:
bj (xj ) = Aj sin(kj xj ) + Bj cos(kj xj ); kj =
q
λj
Randbedingungen:
bj (0)
| {z }
⇒ Bj = 0
=
bj (Lj ) = 0
| {z }
kj Lj = nj π
wobei nj ∈ N
π
xj
bj (xj ) = Aj sin nj
Lj
!
Normierung:
!
1=
ZLj
b2j (xj )
0
= A2j
dxj =
A2j
ZLj
0
Lj 1
π 2
sin
2
π
xj
nj
Lj
!
dxj
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
s
Aj =
47
2π
Lj
Fazit:
3
3
Y
(2π) 2
π
#»
√
bn1 n2 n3 ( r ) =
xj ; nj ∈ N
sin nj
Lj
L1 L2 L3 j=1
!
n1 π
=
L1
λn1 n2 n3
2
n2 π
+
L2
2
n3 π
+
L3
2
Die Greenfunktion
G( #»
r , #»
r 0) =
X
= bn1 n2 n3 ( #»
r)
n1 n2 n3 ∈N
1
λn1 n2 n3
bn1 n2 n3 ( #»
r 0)
führt auf die diskrete Fourierdarstellung der Lösung des Randwertproblems.
1.5.3.3 Spiegelladungsmethode
(i) Punktladung im R3 : Ladung Q bei #»
r 0 erzeugt ein Potential
ϕ( #»
r) =
Q
1
1
·
· #» #»
0 4π | r − r 0 |
mit einer homogenen Dirichlet-Randbedingung im Unendlichen, das heißt
∧
r | → ∞, ϕ(| #»
r | → ∞) = 0
Ω = R3 , ∂Ω = | #»
Das heißt, es gilt:
− div(0 ∇ϕ) = −Q ∆ #»r
1
1
#»
4π | r − #»
r 0|
!
= Q δ( #»
r − #»
r 0)
|
{z
}
Punktladungsdichte
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
48
Ein Vergleich mit (1.67) liefert:
GVac ( #»
r , #»
r 0) =
1
1
#»
4π0 | r − #»
r 0|
(1.70)
ist die Vakuum-Greenfunktion zur Poissongleichung im R3 , das heißt
∆ #»r
In der Tat wird ∆ϕ = −
ϕ( #»
r) =
Z
1
1
#»
4π | r − #»
r 0|
!
= −δ( #»
r − #»
r 0 ).
ρ
im gesamten R3 gelöst durch:
0
GVac ( #»
r , #»
r 0 )ρ( #»
r 0 ) d3 r0 =
R3
1 Z ρ( #»
r 0)
d3 r 0
4π0 3 | #»
r − #»
r 0|
R
(ii) Greenfunktion für Halbraum mit ideal leitendem Rand: Enspricht einer Punktladung
vor metallischem Halbraum (vgl. Abb. 1.14):
Abbildung 1.14: Punktladung vor metallischem Halbraum
Ω = { #»
r = #»
r || + z #»
n ; #»
r || · #»
n = 0; z > 0} =: H
#»
#»
∂H = { r = r || ; z = 0}
= const.
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
49
Im oberen Halbraum H besitzen beide Anordnungen dasselbe Potential, d.h Φ
erfüllt auf H das homogene Randwertproblem.
Q
1
1
Φ( #»
r) =
− #» #»∗
#»
#»
4π | r − r Q | | r − r Q |
"
#
(1.71)
für #»
r ∈ H und Φ|∂H = 0
Damit ist
1
1
1
GH ( #»
r , #»
r 0) =
− #» #»0 ∗
#»
#»
0
4π | r − r | | r − r |
"
#
(1.72)
die Greenfunktion für den Halbraum.
Probe:
div #»r ( ∇ #»r GH ( #»
r , #»
r 0 )) = ∆ #»r
1
1
1
1
− ∆ #»r
#»
#»
#»
0
4π | r − r |
4π | r − #»
r 0∗|
!
0
= δ( #»
r − #»
r 0 ) − δ( #»
r − #»
r ∗)
|
{z
}
0 für #»
r , #»
r0 ∈ H
0
0
und GH ( #»
r , #»
r 0 ) ≡ 0 für #»
r ∈ ∂H da | #»
r − #»
r | = | #»
r − #»
r ∗ | für #»
r ∈ ∂H.
Für beliebige Ladungsverteilungen ρ( #»
r ), #»
r ∈ H ist
Φ( #»
r) =
Z
GH ( #»
r , #»
r 0 )ρ( #»
r 0 ) d3 r 0
H
die Lösung des Potentialproblems in H.
(1.73)
!
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
50
Abbildung 1.15:
(iii) Greenfunktion für Viertelraum ( = const.) mit ideal leitendem Rand: Entspricht
Punktladung vor metallischem 90°- Winkelraum (vgl. Abb. 1.16):
Abbildung 1.16: Punktladung vor metallischem 90°- Winkelraum
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
51
Im Winkelraum W besitzen beide Anwendungen dasselbe Potential Φ( #»
r ), insbesondere erfüllt Φ das homogene Randwertproblem auf W :
Q
Φ( #»
r) =
4π
"
1
1
− #»
#»
#»
| r − r Q | | r − s1 #»
r Q|
1
1
+ #»
− #»
#»
| r − s2 r Q | | r − s3 #»
r Q|
#
(1.74)
und Φ|∂W = 0
Somit ist:
3
1 X
1
GW ( #»
r , #»
r 0) =
#»
4π n=0 | r − sn #»
r 0|
(1.75)
Greenfunktion für Viertelraum
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
1.5.4.1 Grundgleichungen, Rand- und Grenzflächenbedingungen
(i) Ladungsbilanz: Aus (1.1) und (1.4) folgt (vgl. § 1.2.3):
#»
#»
0 = div(rot H) = div j +
#»
∂ div D
∂t
#» ∂ρ
= div j + .
∂t
Also:
#» ∂ρ
div j +
=0
∂t
(1.76)
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
52
Das heißt ΠQ = 0 im Sinne von § 1.2.3, es werden keine Ladungen erzeugt oder
vernichtet.
#»
(ii) Modell für j (vgl. Elektrizität und Magnetismus § 2.2.2):
N #»
#» X
j =
(|qα |nα µα )E − qα Dα ∇nα
α=1
+
(α) #»
σα RH j α
#»
× B − σα Pα ∇T
(1.77)
Dabei gilt für die einzelnen Terme in der Klammer:
• 1. Term: Driftstrom (Ohmsches Gesetz, Metall)
• 2. Term: Diffusionsstrom (Ficksches Gesetz, Bipolartransistor)
• 3. Term: Lorentzkraft (Hall-Effekt, Hall-Sensor)
• 4. Term: Thermische Diffusion (Seebeck-Effekt, Thermoelement)
Allgemein:
#»
∂A
#»
E = −∇Φ −
∂t
|{z}
0 für quasistationäre Ströme
#»
Ohne B und ∇T :
N
X
#»
(σα ∇Φ
j =−
|{z} +qα Dα ∇nα )
α=1
#»
−E
=−
N
X
|qα | µα nα ∇Φ + qα Dα nα ∇ ln
α=1
=−
N
X
α=1
σα ∇Φα
nα
n0
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
53
Dabei heißt Φα elektrochemisches Potential.
N
X
#»
j =−
σα (∇Φα + Pα ∇T )
(1.78)
α=1
elektrochemisches Transportmodell
(iii) Quasistationäre Näherung (quasi-stationary approximation, QSA), dielektrische
Relaxionszeit:
#» σ #»
#»
#»
Setze j = σ E = D in (1.76) ein; wegen div(D) = ρ gilt:
∂ρ
σ
σ
= − ρ, falls = const.
∂t
Das heißt, die Störung ∆ρ einer stationären Raumladung (
t − t0
∆ρ(t, #»
r ) = ∆ρ(t = t0 , #»
r ) exp −
τR
mit τR =
Relaxationszeit
σ
Typische Werte für τR sind:
• Metall: τR ≈ 10−15 s = 1 fs
• Halbleiter: τR ≈ 10−12 . . . 10−4 s
• Isolator: τR = 104 . . . 106 s ≈ 10 Tage
∂ρ0
= 0) gehorcht
∂t
(1.79)
(1.80)
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
54
QSA: Alle zeitlichen Vorgänge von Interesse (Schalten, Ladungsverschiebung, etc.)
seien langsam im Vergleich zu τR , das heißt:
∂ρ
≈0
∂t
Damit stationäres Strömungsproblem:
#»
div j = 0
(1.81)
#»
∂B
#»
(iv) Weitere Annahme:
= 0 ⇒ rot E = 0
∂t
#»
⇒ E = −∇Φ
#»
j = −σ∇Φ
(1.82)
Potentialströmung
Das heißt: Keine Wirbelströme durch Induktion zugelassen.
div(σ( #»
r )∇Φ) = 0
(1.83)
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
55
Man erhält also ein gemischtes Randwertproblem für stationäre Strömungen (vgl. Elektrostatik § 1.5.2.3 (1.59)).
Abbildung 1.17: Gebiet begrenzt von Klemmen und isolierendem Rand
Löse (1.83) im Gebiet Ω mit den Randbedingungen:
Φ|∂Ωj = Vj (potentialgesteuerte Klemmen)

n
[

∂Φ
= 0 auf ∂Ω\  ∂Ωj  (elektrisch isolierender Rand)
∂n
j=1
U = RD ΦD
dielektrisches
Netzwerk
lineares
Materialgesetz
Kirchhoffsches
Netzwerk
elektrisches
Netzwerk
A
U = Rel I
elektrische
Strömung
Z
#»
I = j d #»
a
dielektrischer
fluss
Z
#»
ΦD = D d #»
a
„Through“-Größe
A
−
U = Φ+
el − Φel
−
U = Φ+
el − Φel
„Across“-Größe
elektrische
Spannung U
div(σ∇Φelchem ) = 0
elektrische
Spannung U
div(∇Φel ) = −ρ
#»
E = −∇Φelchem
#»
j = −σ∇Φelchem
(Ohm,Fick)
#»
#»
( j , σ, E)
#»
div j = 0
#»
rot E = 0
#» #»
(D, , E)
#»
div D = ρ
#»
rot E = 0
#»
E = −∇Φ
#»
D = −∇Φel
Netzwerkdarstellung
(Pot) in (Cont)
Flussgröße
treibende Kraft
(Pot)
(Cont)
Kontinuitätsth.
stationäre Strömungen
Elektrostatik
magnetische
Kreise
A
Vm = Rm ΦB
magnetischer
fluss
Z
#»
a
ΦB = B d #»
−
Vm = Φ+
mag − Φmag
magnetische
Spannung Vm
div(µ∇Φmag ) = 0
#»
#»
(B, µ, H)
#»
div B = 0
#» #»
rot H = j
#»
H = −∇Φmag
#»
#»
B = −µ∇Φmag
Magnetostatik
#»
J Q d #»
a
thermisches
Netzwerk
A
Z
∆T = Rth Q̇
Q̇ =
Wärmestrom
∆T = Thot − Tcold
Temperaturgefälle ∆T
div(κ∇T ) = −ΠQ
−∇T
#»
J Q = −κ∇T
(Fourier)
rot ∇T = 0
#»
( J Q , κ, −∇T )
#»
div J Q = ΠQ
stationärer Wärmefluss
1.5.5 Korrespondenz
56
1.5.5 Korrespondenz zwischen Elektrostatik, stationären
Strömungen, Magnetostatik und Wärmefluss
(Thermodynamik)
57
2 Makromodellierung des
Elektromagnetismus in technischen
Systemen
2.1 Flusserhaltende Diskretisierung durch
Ersatzschaltbilder (Kirchhoffsche Netzwerke)
2.1.1 Partition in Blockkomponenten (konzentrierte Elemente,
lumped elements, Kompaktmodelle)
2.1.1.1 Diskretisierung in Finite Netze (Finite Volumina, Finite Boxen)
Sei X eine extensive Größe:
∂x
#»
+ div J x = Πx in Ω ⊂ E3 (vgl. (1.20))
∂t
Wähle Gitter (Netz, Mesh, Schaltkreis) mit Knoten K ∈ K. Zu jedem Knoten K ∈ K
lässt sich eine Zelle (Finite Volumina, Finite Boxen) BK ⊂ E3 konstruieren, so dass
K[∈ BK das Zentrum von BK bildet und B = {BK |K ∈ K} eine Partition von Ω bildet:
B K = Ω und B̊K ∩ B̊K 0 = ∅ für K 6= K 0 (vgl. Abb. 2.1).
K∈K
Die Zuordnung K 3 K BK ∈ B ist eine Bijektion.
Konstruktion von BK :
• Nächste Nachbarn:
Zu K ∈ K sei NN (K) = {K 0 ∈ K|K 0 ist nächster Nachbar (geometrisch erklärt)}
• Die Mittelebenen zwischen K und K 0 ∈ NN (K) schließen einen Polyeder BK um
K ein.
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
58
# »
• K ist mit allen K 0 ∈ NN (K) über gerichtete Zweige KK 0 verbunden. ⇒ gerichteter
Graph.
Abbildung 2.1: Finite Box um einen Knoten in einem Gitter
Für BK ∈ B setzt sich die Oberfläche ∂BK aus der disjunkten Vereinigung ebender
# »
Polygonflächen F (KK 0 ) mit K 0 ∈ NN (K) zusammen:
∂BK =
]
# »
# »
# »
F (KK 0 ) mit F̊ (KK 0 ) ∩ F̊ (KK 00 ) = ∅ für K 0 6= K 00
K 0 ∈NN (K)
2.1.1.2 Stromdiskretisierung (Knotenregel)
Für BK ∈ B gilt:
Z
BK
Z
Z
∂x 3
#» 3
d r+
div J x d r =
Πx d3 r
∂t
BK
BK
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
59
(Vorläufige) Annahme: stationäre Strömung,
Z
#»
div J x d3 r =
BK
∂x
= 0 (nicht-speichernder Knotenpunkt).
∂t
#»
J x · d #»
a =
Z
Πx d3 r
BK
∂BK
=
Z
#»
J x · d #»
a
Z
X
K 0 ∈NN (K) # »0
F (KK )
=: < Πx >BK · vol(BK ) =: I0,K
= Stromquelle von X am Knoten K
# »
Mit I(KK 0 ) :=
Z
#»
J x · d #»
a folgt die Kirchhoffsche Knotenregel:
# »
F (KK 0 )
X
# »
I(KK 0 ) = I0,K
für K ∈ K
(2.1)
K 0 ∈NN (K)
(einfache kirchhoffsche Knotenregel)
Allgemeiner: X(BK ) := XK :=
Z
x d3 r am Knoten K gespeicherte Menge von X.
BK
Z
BK
d Z
d
∂x 3
dr=
x d 3 r = XK
∂t
dt
dt
BK
X
# »
dXK
+
I(KK 0 ) = I0,K
dt
K 0 ∈NN (K)
Kirchhoffsche Knotenregel
(2.2)
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
60
2.1.1.3 Konzentrierte Elemente (Kompaktmodelle)
(i) Modellgleichungen für Flussdichten (Ströme):
#»
NB: In div J x gehen keine Wirbelströme ein, sondern nur Potentialströme.
Betrachte Menge verschiedener extensiver Transportgrößen: T = {X, Y, Z, . . . }
⇒ Phänomenologische Transporttheorie (Onsager 1931):
X
#»
Jx = −
σXY ∇ΦY
(2.3)
Y ∈T
mit (σXY )X,Y ∈T symmetrische, positiv definite Matrix
Beispiel: Elektrothermisches Transportmodell
T = {Nel , UQ }
#»
J n = −σn (∇Φn + Pn ∇T )
#»
#»
J Q = −κ∇T + Pn T J n
!
!
#» !
σn
σn Pn
∇Φn
Jn
=−
#»
σn Pn T κ + σn Pn2 T
∇T
JQ
(ii) Hieraus folgt:
a) Maschenregel:
0=
z
M
N
X
∇ΦX · d #»
r =
K
Zl+1
l=0 K
l
N
X
∇ΦX · d #»
r =
ΦX,Kl+1 − ΦX,Kl
l=0
#
»
=: −UX (Kl Kl+1 )
|
{z
}
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
61
Abbildung 2.2: Masche
N
X
#
»
UX (Kl Kl+1 ) = 0
(2.4)
l=0
[= Ue,m mit Spannungsquelle]
b) Sei σ −1 inverse Matrix zu σ = (σXY )X,Y ∈T
Abbildung 2.3: Spannung und Strom zwischen zwei Knoten
⇒ ∇ΦY = −
X
X∈T
#»
(σ −1 )Y X Jx
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
62
ZK
∀0
K,K ∈K
K 0 ∈NN (K)
ΦY,K − ΦY,K 0 = ∇ΦY · d #»
r
|
{z
}
0
K
# »
=: UY (KK 0 )
=−
K
X Z
#»
(σ −1 )Y X J X · d #»
r
X∈T K 0
=
X
X∈T
# »
FunktionY X (σ, IX (KK 0 ))
|
{z
}
Kompaktmodell CMY X (IX |X ∈ T )
Also:
X
# »
# »
UX (KK 0 ) =
CMXY (IY (KK 0 ))
(2.5)
Y ∈T
(iii) Spezialfall: Lineares Kompaktmodell:
CMXY (IY ) = RXY (K, K 0 ) · IY
(2.6)
mit RXY (K, K 0 ) Widerstandsmatrix
X
# »
# »
UX (KK 0 ) =
RXY (K, K 0 ) · IY (KK 0 )
Y ∈T
R = (RXY )X,Y ∈T heißt (verallgemeinerte) Widerstandsmatrix.
Invers: G := R−1 (verallgemeinerte Leitwertmatrix).
(2.7)
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
63
X
# »
# »
IX (KK 0 ) =
GXY (K, K 0 ) · UY (KK 0 )
(2.8)
Y ∈T
(iv) Modellgleichungen für speichernde Elemente (Kapazitäten):
(X)
XK = FK (ΦY,K 0 |Y ∈ T , K 0 ∈ K)
z. B. Ladung auf Kondensatorplatten (vgl. (2.20)):
QK =
X
CKK 0 Φel,K 0
K 0 ∈K
(X)
X X ∂FK
dXK
dΦY,K 0
=
0
dt
dt
Y ∈T K 0 ∈K ∂ΦY,K
(2.9)
| {z }
XY
CKK
0
XY
Die Werte CKK
0 heißen dabei Kapazitätskoeffizienten.
(v) Modellgleichung für Spannungsgeneratoren (Induktivitäten):
Neben Gradientenfeldern −∇ΦX als treibende Kräfte für den Stromfluss gibt es
auch noch „eingebaute“ bzw. „induzierte“ Triebkräfte, wie die durch elektrische
#»
∂B
#»
#»
.
Induktion induzierten Wirbelfelder E ind gemäß rot E ind = −
∂t
#»
∂A
#»
Daraus folgt eine Erweiterung der Transportgleichung (E = −∇Φ −
):
∂t
#»
Jx = −
#» 
∂ AY 
σXY ∇ΦY +
| ∂t
{z }

X
Y ∈T
(2.10)
#»
Wirbelstromanteil in J x
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
mit
X
64
#»
#»
#»
div(σXY A Y ) = 0, z. B. A Y = rot C Y
Y ∈T
NB: Die Bilanz
∂x
#»
+ div J x = Πx wird hiervon nicht berührt.
∂t
#»
X
∂ AY
#»
⇒ ∇ΦY +
=−
(σ −1 )Y X J x
∂t
X∈T

#» 
ZK
# »0
∂
A
#»
Y 
· d #»
r
VY (KK ) := ∇ΦY +
∂t
0
(2.11)
K
# »
Spannungsabfall am Zweig KK 0
Definition Flussvariable:
Zt
# »0
# »
ΨX (KK , t) =
UX (KK 0 , τ ) dτ
t−∞
=
Zt ΦX,K (τ ) − ΦX,K 0 (τ ) dτ
t−∞
mit t−∞ → −∞
(2.12)
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
Damit wird (2.11) mit
Zt
65
... dτ und
ZK
#»
A( #»
r , t−∞ ) d #»
r = 0 zu:
K0
t−∞
K
Z
# »
#»
r , t) · d #»
r
ΨX (KK 0 , t) = − A X ( #»
(2.13)
K0
# »
Spannungsquelle U0 (KK 0 )
Potentialgenerator
|
+
X
Zt
{z
}
# »
CMXY (IY (KK 0 , τ )) dτ
Y ∈T t−∞
Beispiel: X = Q
X #»
# »
#»
# »0 ( #»
r ) · I(KK 0 , t)
Λ KK
A( #»
r , t) =
# »
KK 0 ∈Z
# »
Z := {KK 0 | K ∈ K; K 0 ∈ NN (K)}
Diskrete Form von:
Poissongleichung: (∆ − µ
∂ 2 #»
#»
) A = −µ j
2
∂t
#»
#»
∆ A = −µ j
#» 0
r , t) 3 0
µ Z j ( #»
#» #»
dr
A( r , t) =
#»
4π 3 | r − #»
r 0|
R
d
(2.13) ergibt:
dt
# »
X
# »0
dIX (P P 0 , t)
(X)
# »0 # »0 ·
UX (KK , t) =
LKK
,P P
dt
# »0
P P ∈Z
+
X
Y ∈T
# »
CMXY (IY (KK 0 ))
2.1.1 Partition in Blockkomponenten
66
Wobei folgende Definition gilt:
(X)
# »0 # »0
LKK
,P P
:=
ZK 0
#»(X)
Λ P# P»0 ( #»
r ) d #»
r
(2.14)
K
Induktivitätskoeffizienten
Ist auch noch das Widerstandsmodell linear, so gilt:
# »
X
# »0
dIX (P P 0 , t)
(X)
# »0 # »0 ·
UX (KK , t) =
LKK
,P P
dt
# »0
P P ∈Z
+
X
# »
RXY (KK 0 ) · IY (KK 0 )
(2.15)
Y ∈T
(X)
(X)
(X)
# »0 # »0 = L # »0 # »0 · δ # »0 # »0 (Selbstinduktion).
Einfachster Fall: RXY = 0, LKK
,P P
KK ,P P
KK ,P P
# »
# »0
dIX (P P 0 , t)
(X)
# »0 # »0
UX (KK , t) = LKK
,P P
dt
Diskretes Induktionsmodell
(2.16)
2.1.2 Physikalische Modellierung von Mehrpol-Blockkomponenten
67
(vi) Fazit: Resultierende Systemgleichung (strukturell)

X
∀
K∈K
X

Y ∈T
X∈T
XY
CKK
0 ·
K 0 ∈K
dΦY,K 0
dt
(2.17)

+
GXY (KK ) · (ΦY,K − ΦY,K 0 ) = I0,K
0
X
K 0 ∈NN (K)
Verallgemeinerte Knotenregel

∀
M ∈M
X∈T
X
X
# »
KK 0 ∈M

# »
P P 0 ∈Z
(X)
# »0 # »0
LKK
,P P
# »
dIX (P P 0 )
·
dt
(2.18)

+
X
# »
RXY (KK 0 ) · IY (KK 0 ) = Ue,M
Y ∈T
Verallgemeinerte Maschenregel
2.1.2 Physikalische Modellierung von Mehrpol-Blockkomponenten
• Zerlegung der kontinuierlichen Baugruppen in funktionale Blöcke (vgl. Abb. 2.4):
IX =
Z
#»
J x · d #»
a
Interface(K)
bzw. Synthese von funktionalen Blöcken mit definiertem Klemmenverhalten (Kennlinie, Übertragungsfunktion).
68
Abbildung 2.4: Bildung von funktionalen Blöcken
• Ziel:
[Kont.]:
∂x
#»
+ div J x = Πx
∂t
X
#»
Jx = −
σX,Y ∇ΦY
(X ∈ T )
#»
#»
#» div DX = x; rot H X = J x
X
1
#»
#»
#»
DX = −
XY ∇ΦY ; H X =
rot A X
µX
Y ∈T
(X ∈ T )
Y ∈T
!
⇓
X
# »
GXY (KK 0 )(ΦY,X − ΦY,K 0 ) + . . .
[Diskret]: IX (KK 0 ) =
und
XY
CKK
0
sowie
# »0 # »0 (X),
LKK
,P P
Y ∈T
Knotenregel (2.17) und Maschenregel (2.18)
Dies wird erreicht durch Lösen des gemischten RWP-Systems [Kont.], eventuell
durch Erweiterung auf speichernde und potentialgesteuerte funktionale Blöcke (vgl.
§ 1.5.2.1-3 und § 1.5.4)
2.2 Kapazitive Speicherelemente (Kondensator,
Batterie, Akku, . . . )
2.2.1 Kondensatoranordnungen (Geometrie und Topologie)
(i) Wir betrachten die Geometrie wie in §1.5.2.1 (iii) dargestellt: Leitende Gebiete
Ωl (l = 0, . . . , N ) schließen ein dielektrisches Gebiet Ω ein. ∂Ωl sind Äquipotentialflächen mit den Potentialwerten Vl .
2.2.1 Kondensatoranordnungen (Geometrie und Topologie)
69
Abbildung 2.5: Kondensatoranordnung
Annahme: Keine Raumladung: ρ = 0
Gegeben: (V0 , V1 , , . . . , , VN ) ∈ RN +1
Gesucht:
Φ( #»
r ) in Ω mit
div(∇Φ) = 0 und Φ|∂Ωl = Vl , l = (0, 1, . . . , N )
[V-RWP]
Satz: [V-RWP] hat eine durch (V0 , V1 , . . . , VN ) eindeutig bestimmte Lösung Φ( #»
r ).
(ii) Konstruktion des Potential aus den Grundlösungen:
#»
• Finde N + 1 Grundlösungen Φ0 ( 
r ), Φ1 ( #»
r ), ..., ΦN ( #»
r ) zu [V-RWP] mit den
1 k = l
Randbedingungen Φk |∂Ωl = δkl =
.
0 k 6= l
• Das [V-RWP] zu (V0 , V1 , .., VN ) ∈ RN +1 wird dann gelöst durch:
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix
70
Φ( #»
r) =
N
X
Vk Φk ( #»
r)
(2.19)
k=0
Beweis: div(∇Φ) = div ∇
N
X
!!
Vk Φk
=
k=0
Φ|∂Ωl =
N
X
N
X
Vk div ( ∇Φk ) = 0
k=0
|
{z
0
}
Vk Φk |∂Ωl = Vl
k=0
q.e.d.
| {z }
δkl
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix
2.2.2.1 Beziehungen zwischen Leiterladungen und -potentialen
(i) Ladungen auf ∂Ωk :
Qk =
Z
∂Ωk
#»
D · #»
n da = −
N
X
#»
n · ∇Φ da = −
Vl
Z
l=0
∂Ωk
Z
#»
n · ∇Φl da =
Qk =
N
X
l=0
∂Ωk
|
Ckl Vl
{z
Ckl
(2.20)
l=0
Ckl := −
Z
#»
n · ∇Φl da
∂Ωk
Maxwellsche Kapazitätskoeffizienten
(vgl. (2.9), X = 0, ΦX,l = Vl )
NB: Ckl hängen nur von der Geometrie und ab.
N
X
(2.21)
}
Ckl Vl
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix
71
(ii) Symmetrische Darstellung von Ckl :
Ckl = −
Z
N
X
∇Φl · #»
n da =
j=0 ∂Ω
j
∂Ωk
=
Z
Z
div(Φk ∇Φl ) d3 r =
Ω
Z
n ) da = Φk ∇Φl · d #»
Φk |∂Ωj ∇Φl · (− #»
a
|
{z }
| {z }
∂Ω
d #»
a
δkj
Z
∇Φk ∇Φl d3 r +
Ω
Z
Φk div( ∇Φl ) d3 r
Ω
|
{z
=0
}
Fazit:
Ckl =
Z
∇Φk ∇Φl d3 r
(2.22)
Ω
Offenkundig gilt:
Ckl = Clk
(2.23)
2.2.2.2 Darstellung der gespeicherten elektrischen Energie
(i) Nach (1.13) gilt:
N X
N Z
X
1 Z #» #» 3
1 Z
3 (2.19) 1
Wel =
EEd r=
∇Φ ∇Φ d r =
Vk ∇Φl ∇Φl Vl d3 r
2
2
2 k=0 l=0
Ω
Ω
Ω
Z
N X
N
N X
N
1 X
1 X
3
Vk
∇Φk ∇Φl d r Vl =
Vk Ckl Vl
=
2 k=0 l=0
2 k=0 l=0
Ω
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix
72
Also:
Wel =
N
1
1 X
Vl Clk Vk = V T C V
2 k,l=0
2

C00

 C10
mit C = (Ckl ) = 
 ..
 .
C01
C11
..
.
···
···
..
.
(2.24)



C0N
V0

 
C1N 
 V1 
 
.. 
, V =  .. 
 . 
. 
CN N
VN
CN 0 CN 1 · · ·
(ii) Wegen Wel ≥ 0 ist die (wegen (2.22) symmetrische) Kapazitätsmatrix C positiv
semi-definit:
C = C T und V T C V ≥ 0 ∀ V ∈ RN +1
(iii) Fasst man Wel als Funktion der unabhängigen Variablen V = (V0 , V1 , . . . , VN )T auf,
so folgt aus (2.24):
N
N
X
1 X
∂Wel
=
Ckl Vl +
Vl Clk
∂Vk
2 l=0
l=0
!
Symm.
=
∂Welk
= Qk
∂Vk
bzw.


∂Wel
=Q
∂V
N
X
(2.20)
Ckl Vl = Qk
l=0
(2.25a)
(2.25b)
Q0


 Q1 

mit Q =  .. 
 und Q = C V (siehe 2.20)
 . 
QN
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix
73
Weiter ist
∂ 2 Wel
= Ckl
∂Vk ∂Vl
bzw.
(2.26a)
∂ 2 Wel
= C.
∂V ∂V
(2.26b)
(iv) Die Potentialvorgaben V und V + ce mit e := (1, 1, . . . , 1)T ∈ RN +1 , c ∈ R erzeugen
#»
#»
dasselbe D- und E-Feld und damit dasselbe Q:
Q = C V = C(V + c e) = C V + c C e
⇒ C e = 0 bzw.
N
X
Ckl = 0
(2.27)
l=0
Speziell: N = 1 (2 Elektroden)
C −C
C=
−C C
!
C00 =: C > 0
1
Wel = (V0 CV0 + V1 CV1 − V1 CV0 − V0 CV1 )
2
1
1
= (V0 − V1 )CV0 + (V1 − V0 )CV1
2
2
1
1
= (V0 − V1 )C(V0 − V1 ) =: CU 2
2
2
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix
74
Wegen C = C T folgt auch:
eT C = 0 bzw.
N
X
Ckl = 0
(2.28)
k=0
Folgerung: Gesamtladung: Qtot =
N
X
Qk = eT Q = eT C V = 0
k=0
N
X
| {z }
=0
Qk = 0 (vgl. §1.5.2.2 (iii))
(2.29)
k=0
(v) Summenregel für Grundlösung:
Das [V-RWP] mit V = e hat die Lösung
N
N
X
X
Φk ( #»
r)
r) =
Vk Φk ( #»
1 = Φ( #»
r) =
k=0
|{z}
N
X
Φk ( #»
r) = 1
k=0
1
Also gilt mit (2.19)
(2.30a)
k=0
N
X
bzw. Φ0 ( #»
r) = 1−
Φk ( #»
r)
k=1
(2.30b)
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix
75
Hiermit folgt für das Potential mit der Vorgabe V ∈ R3 :
Φ( #»
r ) = V0 +
N
X
(Vk − V0 )Φk ( #»
r)
(2.31)
k=1
Dabei ist Uk,0 = Vk − V0 die Spannung zwischen ∂Ωk und ∂Ω0 .
(vi) Ein analoges Vorgehen für die Ladungsberechnung liefert:
Q = C(V − V0 e)
⇒
Qk =
N
X
Ckl (Vl − V0 )
l=0
|
{z
}
0 für l = 0
Also:
Qk =
N
X
l=1
Ckl (Vl − V0 )
|
{z
Ul,0
(2.32)
}
Wegen
(V − V0 e)T C (V − V0 e) = V T C V − V0 eT C V − V0 V T C e +V02 eT Ce
| {z }
0
|{z}
0
gilt dann weiter
Wel =
1
(V − V0 e)T C (V − V0 e),
2
beziehungsweise
Wel =
N
1 X
(Vk − V0 ) Ckl (Vl − V0 ) .
{z
}
|
2 k,l=1
Qk
(2.33)
| {z }
0
2.2.2 Maxwellsche Kapazitätsmatrix
Wel =
76
N
N
1 X
1 T
1 X
Q V =
Qk (Vk − V0 ) =
Qk Uk,0
2
2 k=1
2 k=1
2.2.2.3 Teilkapazitätskoeffizienten
Sei Ukl := Vk − Vl (Spannung zwischen δΩk und δΩl ), dann folgt:
N
X
Ckl Ukl =
l=0
N
X
Ckl Vk −
l=0
N
X
Ckl Vl = −Qk
l=0
| {z }
0
Abbildung 2.6: Teilkapazitätskoeffizienten
Setze Kkl := −Ckl : Teilkapazitätskoeffizient (nur k 6= l benötigt)
Kj0 = −Cj0 =
N
X
Cjk
k=1
Qk =
N
X
Kkl Ukl
(2.34a)
l=0
l6=k
QP =
X
# »
K(P P 0 ) U (P P 0 )
P 0 ∈K
P 0 6=P
(vgl. (2.8) und (2.17))
(2.34b)
77
2.3 Induktive Speicherelemente (Spulen, Drosseln)
2.3.1 Spulenanordnung (Geometrie und Topologie)
(i)
Abbildung 2.7: Spulenanordnung
N ruhende, drahtförmige Leiterschleifen Ck (k = 1, 2, ..., N ), welche orientierte
Flächen Sk beranden (Ck = ∂Sk ) und durch die ein „von außen“ eingespeister
Strom ik (t) fließt.
ik (t): Strom in Schleife Ck
uk (t): Speisespannung an den Klemmen von Ck
(ii) Spule als Generator:
Abbildung 2.8: Spule als Generator
2.3.1 Spulenanordnung (Geometrie und Topologie)
78
#»
B(t) = B(t) #»
ez
Uind = −
d
d
d
Φ(S) = −w Φ(S0 ) = − Ψ
dt
dt
dt
wobei Φ(S0 ) = S0 · B(t)
und Φ(S) = w · Φ(S0 ) =: Ψ verketteter Kraftfluss
(iii) Spule als Verbraucher:
Abbildung 2.9: Spule als Verbraucher
Φ(S0 ) = S0 · B(t), sowie B(t) = c · I(t)
I(t) sei von U (t) getrieben, wobei U (t) gegeben ist.
⇒ U (t) = −Uind (t) =
dB
dΨ
dI
= wS0
= wS0 c
|
{z
}
dt
dt
dt
=: L
Also:
U =L
dI
dt
In der Anordnung von 2.3.1(i) gilt an den Klemmen(für reale Leiter mit ohmschen
Innenwiderstand Rk )
2.3.1 Spulenanordnung (Geometrie und Topologie)
uk (t) = rk ik (t) − uind,k (t)
79
(2.35)
(iv) Stromdichteverteilung im Kontinuumsbild:
Abbildung 2.10:
ik (t)
#» #»
#»
j k ( r k (s), t) = t k (s)
ak
(2.36)
mit ak = Drahtquerschnittsfläche
d #»
rk
#»
#»
und t k (s) :=
= Tangentialeinheitsvektor an Ck in Richtung von j k ( #»
r)
ds
#»
NB: Das Folgende lässt sich auf dreidimensional verteilte Stromdichten j ( #»
r , t)
verallgemeinern, sofern diese flusserhaltenden Zweipolen (=induktive Eintore) zugeordnet werden können.
2.3.2 Induktionskoeffizienten
80
2.3.2 Induktionskoeffizienten
(i) Annahme:
a) Die Spulen sind ortsfest, die Geometrie ist zeitunabhängig ⇒ Ruheinduktion.
b) Die Spulenströme ik (t) verändern sich mit der Zeit nur sehr langsam (niederfrequent), so dass Wellenausbreitungseffekte vernachlässigt werden können
(keine Antennenwirkung). In dieser quasistationären Näherung folgen die Ma#»
#»
r , t) den sie erzeugenden Stromdichten j k (r, t) „instantan“,
gnetfelder H k ( #»
#»
#»
gemäß der Lösung der Ampèreschen Beziehung rot H k = j k .
1 #»
#»
#»
Aus B k = rot A k und Hk = B k folgt:
µ
1
−1 #»
1 #»
#» #»
j k = rot
rot A k =
∆ A k + ∇ div A k
µ
µ
µ | {z }
0 für Coulomb-Eichung
!
Also:
#»
#»
∆ A k ( #»
r , t) = −µ j k ( #»
r , t)
(2.37)
(ii) Lösung im R3 mittels der Green-Funktion, mit µ = const. (vlg. (1.70):
G( #»
r , #»
r 0) =
#»
µ Z j k ( #»
r 0 , t)
#» #»
⇒ A k ( r , t) =
4π 3 | #»
r − #»
r 0|
R
1
1
#»
4π | r − #»
r 0|
ik (t)
µ Z
3 0
d
r
d #»
s
=
#»
#»
0|
| {z }
4π
|
r
−
r
#»
#»
Ck
da ds
2.3.2 Induktionskoeffizienten
81
Also:
N
N
X
X
d #»
s
µ Z
#»
#»
ik (t)
A( #»
r , t) =
A k ( #»
r , t) =
#»
| r − #»
s|
k=1
k=1 4π
Ck
(2.38)
(vlg. § 2.1.1.3)
(iii) Induzierte Spannungen:
d
d Z #» #»
d Z #» #»
#»
uind,k (t) = − Φ(Sk ) = −
B( r , t) · d a = −
A( r , t) · d #»
r
dt
dt | {z }
dt
Sk
Ck
#»
rot A
=−
Z
Ck
#»
N
X
∂ A #»
µ Z Z d #»
s · d #»
r d
(2.38)
#»
( r , t) · d r = −
il (t)
#»
#»
∂t
| r − s | dt
l=1 4π
Ck Cl
|
{z
=: Lkl
}
(iv) Fazit:
(2.35)
uk (t) = rk ik (t) +
N
X
l=1
Lkl
dil
dt
Transformator-Gleichungen
(vgl. (5))
(2.39)
2.3.3 Zusammenhang mit der magnetischen Feldenergie
82
mit
r · d #»
s
µ Z Z d #»
Lkl :=
#»
#»
4π
|r − s|
(2.40)
Ck Cl
Induktionskoeffizienten, Neumannsche Formel
Lkk :
Selbstinduktionskoeffizient
Lkl,k6=l : Gegeninduktionskoeffizient
Es gilt:
Lkl = Llk
(2.41)
L := (Lkl ) ∈ R(N,N ) ist symmetrisch und positiv definit.
2.3.3 Zusammenhang mit der magnetischen Feldenergie
#»
#»
(i) Für lineare Medien (B = µH) gilt:
Wmag =
Z
Ω
1 Z #»
1 #»
#» 3
#»
H · |{z}
B dr=
H · rot A d3 r
2
2
#»
Ω
rot A
1 Z
1 Z #» #» #»
#» #» 3
=
rot
(H × A) d a
| {zH} · A d r − 2
2
#»
Ω
∂Ω
j
|
{z
}
→ 0 für ∂V → ∞
Wmag
1 Z #» #» 3
=
j ·Ad r
2 3
R
(2.42)
2.3.3 Zusammenhang mit der magnetischen Feldenergie
83
(ii) Mit (2.36) folgt:
Wmag =
N
1 X
2 k=1
#»
A( #»
r , t) · d #»
r · ik (t)
Z
Ck =δSk
|Z
#»
B · d #»
a = Φ(Sk )
{z
}
Sk
Also:
Wmag
N
1 X
=
Φ(Sk ) · ik
2 k=1
(2.43)
(iii) Mit (2.38) folgt weiter:
Wmag =
N
µ Z Z d #»
s · d #»
r
1 X
· ik il
#»
#»
2 k,l=1 4π
|r − s|
Ck Cl
|
{z
Lkl
}
Also:
Wmag
N
1 X
=
ik Lkl il
2 k,l=1
=
(2.44)
1 T
I LI
2
Lkl ist positiv definit.
(iv) NB: (2.44) gilt auch für nicht drahtförmige Schleifen (mit ausgedehntem Querschnitt,
aber topologisch induktives Eintor) und kann zur allgemeinen Definition von Lkl
verwendet werden, wenn (2.40) nicht anwendbar ist.
2.3.3 Zusammenhang mit der magnetischen Feldenergie
84
Allgemein gilt für gekoppelte induktive Eintore:
(2.38)
Φ(Sk ) =
N
X
Lkl · i(Ωl )
l=1
(2.45)
| {z }
il
N
X
∂Wmag =
Lkl · il = Φ(Sk )
∂ik i1 , ..., iN l=1
∂ 2 Wmag
= Lkl
∂ik ∂il
(2.46)
(2.47)
(v) Allgemeine Neumannsche Formel:
Abbildung 2.11: Stationäres Stromproblem
#» #»
j l ( r , t) = #»
s l ( #»
r ) · il (t)
Dabei ist #»
s l ( #»
r ) die Lösung des stationären Stromproblems (1.81) - (1.83) zu den
85
Randdaten
#»
s · d #»
a = ±1.
Z
Al(ein/aus)
Wmag
1 Z #» #» 3
=
j ·Ad r
2 3
R
N
N Z
µ Z jl ( #»
s)
1 X
#» #» X
j k( r )
d3 r d3 s
=
#»
#»
2 k=1
|r − s|
l=1 4π
Ωk
Ωl
N
s k ( #»
r ) · #»
s l ( #»
s) 3 3
1 X
µ Z Z #»
=
d r d s · il (t)ik (t)
#»
#»
2 k,l=1 4π
|r − s|
Ωk Ωl
|
{z
}
Neumannsche Induktivitäskoeffizienten Lkl
s k ( #»
r ) · #»
s l ( #»
s) 3 3
∂ 2 Wmag
µ Z Z #»
d rd s
Lkl =
=
#»
#»
∂ik ∂il
4π
|r − s|
Ωk Ωl
(2.48)
2.4 Niederfrequente Wechselstromnetzwerke
Zeitlich periodische, insbesondere sinusförmige (harmonische), Strom- und Spannungsverläufe sind technisch außerordentlich wichtig:
• Transformierbarkeit (→ Energieverteilung)
• Modulierbarkeit (→ Informationsübertragung)
• Anpassung an Generatoren und Motoren
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
86
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
2.4.1.1 Wechselspannungsgenerator
(i) Erzeugungsprinzipien:
#»
• im B-Feld rotierende Leiter (kleine Frequenzen, hohe Leistung)
• Schwingkreis (hohe Frequenzen, kleine bis mittlere Leistung)
(ii) Beispiel: Rotierende Leiterschleife erzeugt induziere Spannung u(t) (vgl. Abb. 2.12).
Abbildung 2.12: Rotierende Leiterschleife
Drehwinkel ϕ(t) mit konstanter Kreisfrequenz
dϕ
= ω = const.
dt
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
ϕ(t) = ωt + ϕ0
87
(2.49)
Magnetischer Fluss:
ϕ(t) =
#»
#»
B · d #»
a = A|B| cos ϕ(t)
Z
A(t)
= Φmax cos(ωt + ϕ0 )
#»
mit Φmax := A|B|
Induzierte Spannung:
u(t) = −
dΦ
= ωΦmax sin(ωt + ϕ0 )
dt
Also:
u(t) = Û sin(ωt + ϕ0 )
mit Û := ωAB0
(iii) Kenngrößen:
• u(t): Momentanwert
• Û : Scheitelwert
• ϕ(t) = ωt + ϕ0 : Momentane Phase
• ϕ0 = ωt0 : Anfangsphase (Phase bei t = 0)
(2.50)
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
88
• T : Periodendauer, definiert als kleinstes T ∈ R mit:
∀ u(t) = u(t + k T )
k∈Z
• f :=
1
1
: Frequenz (Einheit = Hz (Hertz))
T
s
• ω=
2π
= 2πf : Kreisfrequenz (Einheit Hz)
T
2.4.1.2 Zeigerdarstellung
(i) Idee:
Abbildung 2.13:
(2.51)
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
89
Der Vektor
U1 (t)
Û cos ϕ(t)
:= U (t) =
U2 (t)
Û sin ϕ(t)
!
!
(2.52)
ist ein rotierender Zeiger (englisch Phasor), dessen Spitze einen Kreis mit Radius
Û in einer U1 -U2 -Ebene (= R2 ) mit dem Phasen-(Dreh-)winkel ϕ(t) umläuft, wobei
ϕ(t) = ωt + ϕ0 . Die Projektion von U (t) auf die U2 -Achse
U2 (t) = Û sin(ϕ(t)) = Û sin(ωt + ϕ0 ) = u(t)
ist dann der tatsächlich auftretende Spannungsverlauf u(t).
Satz. Der Zeiger Û := U (t = 0) hat die Länge Û und den Drehwinkel ϕ0 . Û charakterisiert also (bei fester Kreisfrequenz ω) den
Spannungsverlauf u(t) = Û sin(ωt + ϕ0 ) eindeutig.
(ii) Darstellung mit Hilfe komplexer Zahlen:
Zeiger U (t) bzw. Û ∈ C mit Körperaxiomen: C = (R2 , +, · )
U = U1 e1 + U2 e2 = U1 · 1 + U2 · j
Also:
U = U1 +j U2
|{z}
(2.53)
|{z}
Real- ImaginärTeil Teil
U1 = Re U , U2 = Im U .
e2 = j :=
√
−1
(2.54)
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
90
In Polarkoordinaten:
U2
Im U
U (t) = |Û | (cos ϕ(t) + j sin ϕ(t)), mit tan ϕ =
=
U1
Re U
Definition:
ejϕ := cos ϕ + j sin ϕ
(2.55)
U (t) = Û ejϕ(t)
(2.56a)
U (t) = |U (t)| ej arg U (t)
(2.56b)
U2
=: arg U
U1
(2.57a)
ϕ = arctan
|U | = Û =
q
U12 + U22
(2.57b)
mit ϕ ∈ [0, 2π)
Rechenregeln:
• Für α, β ∈ R gilt:
ejα · ejβ = ej(α+β)
(2.58)
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
91
• Es gilt: Alle komplexen Zeiger der Länge 1 haben die Form
d(ϕ) = ejϕ , mit ϕ ∈ [0, 2π).
(2.59)
• Für ϕ ∈ R mod 2π beschreibt die lineare Abbildung
C 3 V 7→ V 0 = d(ϕ) · V = ejϕ · V
(2.60)
die Drehung in R2 um ϕ mod 2π im Gegenzeigersinn. Denn:
Abbildung 2.14: Drehung
V 0 = ejϕ V = ejϕ |{z}
ejα |V | = |V |ej(α+ϕ)
α = arg(V )
Also:
arg(V 0 ) = ϕ + α
|V 0 | = |V |
• Drehungen im R2 (≡ C) sind kommutativ und abelsch:
d(ϕ)d(ψ) = d(ϕ + ψ) = d(ψ)d(ϕ)
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
92
• Für Z = |Z|ejψ (ψ = arg Z) beschreibt die lineare Abbildung
C 7→ C :
V 7→ V 0 = Z · V
(2.61)
eine Drehstreckung mit dem Drehwinkel ψ = arg Z und dem Streckungsfaktor
r = |Z|.
Beweis:
V 0 = Z · V = |Z|ejψ · |V |ejα = |Z||V | · ej(ψ+α)
Abbildung 2.15: Drehstreckung
Jede komplexe Zahl Z ∈ C lässt sich also als Drehstreckung auffassen und
umgekehrt:
Drehung
≡ Multiplikation mit ejϕ
Streckung
≡ Multiplikation mit r ∈ R+
Drehstreckung ≡ Multiplikation mit rejϕ ∈ C
• Komplexe Exponentialfunktion:
Für z = x + jy ∈ C sei
2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre
ez := ex+jy := |{z}
ex
· |{z}
ejy
Streckung Drehung
93
(2.62)
Es gilt:
ez1 +z2 = e(x1 +x2 )+j(y1 +y2 )
= ex1 ejy1 ex2 ejy2
= ez 1 ez 2
Also:
ez1 +z2 = ez1 ez2
Folgerung: e−z =
(2.63)
1
ez
(iii) (
Allgemeine Zeigerdarstellung:
)
Die reale Wechselspannung u(t) = Û sin(ωt + ϕu )
wird auf eindeutige Weise
Der reale Wechselstrom
i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi )
(
)
Û = Û ejϕu
dem komplexen Zeiger
zugeordnet.
ˆ jϕi
Iˆ = Ie
Ist Û bzw. Iˆ bekannt, so erhält man den Zeitverlauf von u(t) bzw. i(t) indem man
Û bzw. Iˆ mit der Kreisfrequenz ω in der komplexen U1 -U2 - (bzw. I1 -I2 )-Ebene
rotieren lässt und den umlaufenden Zeiger
U (t) = ejωt · Û eϕu = Û ejωt+ϕu
ˆ ϕi = Ie
ˆ jωt+ϕi
I(t) = ejωt · Ie
(2.64)
(2.65)
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
94
auf die imaginäre Achse (U2 -Achse, I2 -Achse) projiziert:
Im U (t) = Im Û ej(ωt+ϕu ) = Û sin(ωt + ϕu ) = u(t)
ˆ j(ωt+ϕi ) = Iˆ sin(ωt + ϕi ) = i(t)
Im I(t) = Im Ie
NB: Dass man u(t) mit Im U (t) identifiziert ist reine Konvention; man kann ebenso
mit Re U (t) operieren.
(iv) Zeigerdiagramm:
Es ist zweckmäßig, Û und Iˆ in ein gemeinsames Achsensystem einzutragen, insbesondere wenn mehrere Wechselspannungen und -ströme in ihrer gegenseitigen
Beziehung diskutiert werden sollen.
Abbildung 2.16: Zeigerdiagramm für Spannung und Strom.
NB: Û und Iˆ haben verschiedene Skalen (Maßstäbe).
Für den tatsächlichen Zeitverlauf: Starre Rotation des gesamten Diagramms mit
ejωt und Projektion auf die imaginäre Achse.
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
2.4.2.1 Lineare Wechselstrom-Bauelemente
Definition: Lineares Wechselstrombauelement ⇔ u(t) und i(t) haben eine zeitunabhängige
und arbeitspunktunabhängige Beziehung zwischen den Scheitelwerten Û und Iˆ sowie
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
95
Abbildung 2.17: Lineares Bauelement
den Phasen ϕu und ϕi Das heißt, U (t) und I(t) sind über eine konstante Drehstreckung
Z ∈ C starr miteinander verknüpft:
jwt
jwt
∃ U (t) = Z · I(t) ⇔ e Û = Ze Iˆ ⇔
Z∈C
Û = Z · Iˆ
(2.66)
komplexes ohmsches Gesetz
ˆ jϕi ⇔
⇔ Û ejϕu = |Z|earg(Z) · Ie
Û = |Z|Iˆ
arg(Z) = ϕu − ϕi =: ∆ϕ
Z heißt Impedanz (kompexer Scheinwiderstand),
|Z| heißt (reeller) Scheinwiderstand.
∆ϕ = ϕU − ϕi = arg Z heißt Phasenverschiebung, also:
(2.67a)
(2.67b)
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
96
Z = |Z|ej∆ϕ
(2.68)
1
Iˆ = · Û =: Y · Û
Z
(2.69)
Die Umkehroperation Û 7→ Iˆ lautet:
1
heißt Admittanz (komplexer Scheinleitwert),
Z
|Y | heißt (reeller) Scheinleitwert.
Y :=
∆ϕ = ϕu − ϕi = − arg Y (wegen Y = |Z|ej arg Z
|Y | =
−1
1
|Z|
arg Y = − arg Z
=
1 −j arg Z
), also
e
|Z|
(2.70a)
(2.70b)
2.4.2.2 Elementare Beispiele für lineare Wechselstrombauelemente
(i) Ohmscher Widerstand:
Für „nicht zu hohe Frequenzen“ (=
ˆ quasistationäre Näherung) gilt:
u = Ri(t) ⇔ ∀ Û sin(ωt + ϕu ) = RIˆ sin(ωt + ϕu ) ⇔
t∈R
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
Û = RIˆ
ϕu = ϕi
mod 2π
97
(2.71a)
(2.71b)
⇒ Z = Re(j · 0) = R
(2.68)
Z=R
(2.72)
Û = RIˆ
(2.73)
Zeigerdiagramm:
Abbildung 2.18: Zeigerdiagramm Widerstand
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
98
Schaltsymbol
Abbildung 2.19: Schaltsymbol Widerstand
(ii) Induktivität:
Es gilt: u(t) = L
di(t)
dt
Also:
∀ Û sin(ωt + ϕu ) = ωLIˆ cos(ωt + ϕi )
t∈R
π
= ωLIˆ sin(ωt + ϕi + )
2
Û = ωLIˆ
(2.74a)
π
2
(2.74b)
Z = ωLej 2 = jωL
(2.75)
∆ϕ = ϕu − ϕi =
π
ωL heißt Blindwiderstand (Reaktanz).
Û = jωLIˆ
(2.76)
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
99
Abbildung 2.20: Zeigerdiagramm Spule
Abbildung 2.21: Schaltsymbol Spule
(iii) Kapazität
Es gilt: C =
q(t)
, also:
u(t)
i(t) = C
∀
t∈R
du(t)
dt
du(t)
d
Im I(t) = i(t) = C
= C Im U (t) = C Im
dt
dt
(2.77)
d jωt Û e
dt
= C Im jω Û ejωt = Im (CjωU (t))
Y = jωC
(2.78)
!
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
Z=
1
jωC
Iˆ = jωC Û
100
(2.79)
(2.80)
| {z }
Y
Û =
1 ˆ
I
jωC
| {z }
Z
ωC heißt Blindleitwert (Suszeptanz).
Abbildung 2.22: Zeigerdiagramm Kapazität
Abbildung 2.23: Schaltsymbol Kapazität
(2.81)
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
101
2.4.2.3 Kirchhoffsche Regeln für Wechselstromschaltungen
(i) Es gilt:
X
∀
t∈R k∈K
∀
X
t∈R l∈M
ik (t) = 0 an Knoten
(2.82)
ul (t) = ue (t) längs Maschen
(2.83)
(ii) Zeigerdarstellung:
An Knoten (K):
!
X
∀
t∈R
Im I k (t) = Im
X
k∈K
#
"
I k (t) = Im
k
(Iˆk ejωt ) = Im
"
!
X
X
k
k
#
Iˆk ejωt = 0
Längs Maschen (M):
!
∀
t∈R
X
Im U l (t) = Im
X
"
U l (t) = Im
l
l∈M
#
(Û l e
jωt
X
) = Im
k
= Im U e (t) = Im Û ejωt
Iˆk =
k∈K
X
l∈M
Û l =
X
l∈M
X
X
l
Wähle t = 0, dann folgt:
X
!
"
Iˆk ejϕi,k = 0
(2.84)
k∈K
Ûl ejϕu,l = Û e = Ûe ejϕe
(2.85)
#
jωt
Û l e
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
102
2.4.2.4 Einfache Grundschaltungen aus R, L, C
(i) Serienschaltung von Impendanzen
Û = Û1 + Û2 = Z1 Iˆ + Z2 Iˆ = (Z1 + Z2 )Iˆ
ZS = Z1 + Z2
(2.86)
Abbildung 2.24: Serienschaltung aus komplexen Widerständen.
(ii) Parallelschaltung von Impendanzen
Û
Û
Iˆ = Iˆ1 + Iˆ2 =
+
=
Z1 Z2
1
1
+
Û
Z1 Z1
!
1
1
1
=
+
ZP
Z1 Z2
(2.87)
YP = Y1 + Y2
(2.88)
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
103
Abbildung 2.25: Parallelschaltung aus komplexen Widerständen.
(iii) RL-Glied
Abbildung 2.26: RL-Glied.
Û = Ẑ Iˆ mit Impendanz
|Z| =
Z = R + jωL
(2.89)
√
R2 + ω 2 L2 Scheinwiderstand
(2.90a)
∆ϕ = ϕu − ϕi = arg Z = arctan
ωL
R
(2.90b)
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
Abbildung 2.27: Betrag und Phase des RL-Glieds.
Im Zeigerdiagramm: Û = ÛR + ÛL
π
NB: 0 ≤ ∆ϕ ≤
2
Abbildung 2.28: Zeigerdiagramm des RL-Glieds.
104
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
105
(iv) RC-Parallelschaltung (RC-Glied):
Abbildung 2.29: RC-Glied.
Y =
1
+ jωC
R
(2.91)
= G + jωC
|Y | =
√
G2 + ω 2 C 2
R
|Z| = √
1 + ω 2 R2 C 2
∆ϕ = arg Z = − arg Y = − arctan
(2.92)
ωC
G
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
106
Also:
∆ϕ = − arctan (ωRC)
(2.93)
Abbildung 2.30: Betrag und Phase des RC-Glieds.
Im Zeigerdiagramm: Iˆ = IˆR + IˆL
π
NB: − ≤ ∆ϕ ≤ 0
2
Abbildung 2.31: RC-Glied.
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
107
(v) Gedämpftes LC-Glied:
Abbildung 2.32: LC-Glied.
ZRL = R + jωL
Y =
1
1
= jωC +
Z
ZRL
Also:
1 + jωCZRL
1
1 − ω 2 LC + jωRC
=Y =
=
Z
ZRL
R + jωL
(2.94a)
Y =
R − jωL + jωC (R2 + ω 2 L2 )
R 2 + ω 2 L2
(2.94b)
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
s
|Y | =
108
1 + ω 2 (R2 C 2 − 2LC) + ω 4 L2 C 2
(2.95)
R 2 + ω 2 L2
∆ϕ = − arg Y = − arctan
1 2
ωc R + ω 2 L2 − ωL
R
(2.96)
Bzw. folgt aus (2.94a):
∆ϕ = − arg(Zähler) + arg(Nenner)
∆ϕ = arctan
ωL
ωRC
− arctan
R
1 − ω 2 LC
Zeigerdiagramm:
o. B. d. A. ϕ = 0, Û ∈ R: Iˆ = IˆC + IˆR
tan ϕRL = −
ωL
R
IˆC = jωC Û e
IˆR =
1
Û
R + jωL
tan(−ϕRL ) =
ωL
R
(2.97)
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
109
Abbildung 2.33: LC-Glied.
2.4.2.5 Zusammenfassung Wechselstromschaltungen
(
(i) Reelle Wechsel-
spannung u(t) strom i(t)
SpannungsStrom-
)
(
zeiger
Û ∈ C
Iˆ ∈ C
)
Lineares Bauelement (R, L, C) Û = Z Iˆ mit Z = |Z|ej∆ϕ : verallgemeinertes
ohmsches Gesetz, Drehstreckung im R2 =C.
ˆ
(ii) Elementare Beispiele:
Bezeichnung
ohmscher Widerstand
Spule
Kondensator
|Z|
R
ωL
1
ωC
∆ϕ
0
π
2
Z
R
jωL
1
jωC
Y
G=
1
jωL
jωC
1
R
−
π
2
2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
π
NB: e±j 2 = cos
110
π
1
π
+ j sin = ±j, = −j.
2
2
j
(iii) Netzwerke:
Topologie beschrieben wie im Gleichstromfall (Knoten, Zweige, Maschen, Bauelemente Z j , Strom- und Spannungsquellen)
Knotenregel:
X
ik (t) = 0
k∈K
X
Iˆk (t) = 0
k∈K
Maschenregel:
X
l∈M
ul (t) = ue (t)
X
l∈M
Û l (t) = Û e (t)
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
111
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
2.4.3.1 Momentane Leistung
Abbildung 2.34: Lineares Netzwerk: Schaltung
u(t) = Û sin(ωt + ϕu )
i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi )
Momentan zugeführte Leistung (vgl. (2.24)):
p(t) = u(t)i(t) = Û Iˆ sin(ωt + ϕu ) sin(ωt + ϕi )
p(t) =
1 ˆ
1
Û I cos(ϕu − ϕi ) − Û Iˆ cos(2ωt + ϕu + ϕi )
{z
} |2
{z
}
|2
MittelwertPm
zeitlicher Mittelwert 0
(2.98)
Zeitlicher Mittelwert:
Pm =
1 ˆ
Û I cos ∆ϕ
2
(2.99)
Dabei ist ∆ϕ := ϕu − ϕi der relative Phasenwinkel. Die Schaltung enthält energiespei1
1
chernde Elemente (z. B. LI 2 bzw. CU 2 ) falls ∆ϕ = ϕu − ϕi 6= 0.
2
2
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
112
Abbildung 2.35: Mittelwert
2.4.3.2 Effektivwerte, Wirkleistung
(i) Definition:
PW
T
1 Z
1
(2.98)
=
p(t) dt = Pm = Û Iˆ cos ∆ϕ
T
2
allg.
0
Ueff =
Ieff :=
(2.100)
v
u
ZT
u
u1
t
u(t)2
T
v
u
ZT
u
u1
t
i(t)2
T
dt
(2.101)
dt
(2.102)
0
0
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
113
Es gilt:
2
Ueff
T
2π
1 Z 2
1 Z 2 2
1
2
=
Û sin(ωt + ϕu ) dt =
Û sin ϕ dϕ = Û 2
T
ωT
2
0
0
ϕ = ωt + ϕu
Also:
1
Ueff = √ Û
2
(2.103)
1
Ieff = √ Iˆ
2
(2.104)
PW = Ueff Ieff cos ∆ϕ
(2.105)
Analog:
Damit gilt:
NB: Oft wird „eff“ weggelassen:
1
U = √ Û ;
2
1
I = √ Iˆ
2
1
U = √ Û ;
2
1
I = √ Î
2
Komplexe Effektivwerte:
(2.106)
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
114
Komplexe Momentantwerte:
ˆ jωt
i(t) = Ie
u(t) = Û ejωt ;
(ii) Komplexe Schreibweise:
P :=
1
Û · Iˆ∗ = U · I ∗
2
(2.107)
komplexer Leistungszeiger
(2.64)
(2.65)
ˆ jϕi folgt:
Mit Û = Û ejϕu und Î = Ie
P =
1
ˆ j(ϕu −ϕi ) = Ueff Ieff ej∆ϕ
Û Ie
2
Also:
P = Ueff Ieff (cos ∆ϕ +j sin ∆ϕ)
|
{z
(2.108)
}
PW = Wirkleistung
Damit:
PW = Re P
(2.109)
NB: Es gilt auch P = u(t)i(t)∗ da die Zeitabhängigkeit ejωt wegfällt:
P = u(t)i(t)∗ =
1 jωt −jωt ˆ∗ 1 ˆ∗
e Û e
I = Û I
2
2
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
115
(iii) Beispiele
• Omscher Widerstand:
Û = R Î ⇒ P =
∗
1
1
RÎ · Iˆ = RIˆ2
2
2
Also:
Û =RIˆ
2
PW = Re P = R Ieff
= Ueff · Ieff
PW = Ueff · Ieff
(2.110)
also cos ∆ϕ = 1
• Spule:
Û = jωLÎ ⇒ P =
∗
1
1
jωLIˆIˆ = jωLIˆ2
2
2
PW = Re P = 0
also cos ∆ϕ = 0, ∆ϕ =
π
2
• Kondensator:
Û =
1
1 1 ˆˆ∗ 1 1 ˆ2
Î ⇒ P =
II =
I
jωC
2 jωC
2 jωC
PW = Re P = 0
also cos ∆ϕ = 0, ∆ϕ = −
π
2
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
116
(iv) Mathematische Interpretation:
Definition „Skalarprodukt“ von u(t) und i(t):
T
1 Z
< u|i >:=
u(t)i(t) dt = PW
T
0
2
||u||2 =< u|u >= Ueff
2
||i||2 =< i|i >= Ieff
⇒< u|i >= ||u|| · ||i|| cos ϕ
ϕ ist also der „Winkel“ zwischen u(t) und i(t) im Funktionsraum L2 (0, T ).
2.4.3.3 Leistungsbilanz bei energiespeichernden Bauelementen
(i) Spule:
(2.44)
Wmag =
1 2
Li (t)
2
dWmag
di
= Li(t) ·
= u(t)i(t) = p(t)
dt
dt
Explizit:
i(t) = Iˆ sin(ωt); u(t) = ωLIˆ cos(ωt)
⇒ Wmag (t) =
p(t) =
1
1 ˆ 2
LI sin (ωt) = LIˆ2 (1 − cos(2ωt))
2
4
dWmag
1
= ωLIˆ2 sin(2ωt)
dt
2
(2.111)
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
117
Abbildung 2.36: Zur Leistungsbilanz der Spule.
Die Wirkleistung ist:
PW
T
1 Z
=
p(t) dt = 0
T
0
vlg. PW = Ieff Ueff cos
π
2
(ii) Kondensator:
(2.33)
Wel (t) =
1
Cu2 (t)
2
dWel
du
= Cu
= u(t)i(t) = p(t)
dt
dt
Explizit:
u(t) = Û cos(ωt); i(t) = −ωC Û sin(ωt)
⇒ Wel (t) =
1
1
C Û 2 cos2 (ωt) = C Û 2 (cos(2ωt) + 1)
2
4
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
p(t) =
118
1
dWel
= − ωC Û 2 sin(2ωt)
dt
2
(2.112)
Abbildung 2.37: Zur Leistungsbilanz des Kondensators.
Die Wirkleistung ist:
PW
T
1 Z
p(t) dt = 0
=
T
0
2.4.3.4 Scheinleistung und Blindleistung
(i) Leistungsbilanz bei linearen Bauelementen:
Sei Û = Z Î; o.B.d.A Î = Iˆ ∈ R, also ϕi = 0 ⇒
i(t) = Iˆ sin(ωt)
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
119
u(t) = Im (Z Îejωt )
= Im [(Re (Z)Iˆ cos(ωt) − Im (Z)Iˆ sin(ωt))
+ j(Re (Z)Iˆ sin(ωt) + Im (Z)Iˆ cos(ωt))]
= Re (Z)Iˆ sin(ωt) + Im (Z)Iˆ cos(ωt)
p(t) = u(t)i(t) = Re Zi(t)2 + Im Z Iˆ2 sin(ωt) cos(ωt)
|
{z
1
sin(2ωt)
2
}
Also:
p(t)
=
Re Zi2 (t)
+
2
sin(2ωt)
Im ZIeff
(2.113)
Dabei ist p(t) die zugeführte (Netz-)Leistung. Der erste Term auf der rechten Seite
enspricht dem Anteil der im System verbrauchten Leistung (≥ 0) und der zweite
dW
Term entspricht der Zu- oder Abnahme von gespeicherter Energie
≥ bzw. ≤ 0.
dt
Also:
p(t) = RW i(t)2 +
dW
dt
Leistungsbilanzgleichung
mit
(2.114)
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
120
RW := Re Z
(2.115)
Wirkwiderstand
sowie
dW
2
= Im Z Ieff
sin(2ωt)
| {z }
dt
Blindwiderstand
(2.116)
T
1 Z dW
1
Es gilt:
dt = (W (T ) − W (0)) = 0.
T
dt
T
0
Also gilt für die Wirkleistung:
PW
T
T
1Z
RW Z 2
2
=
p(t) dt =
i (t) dt = Re ZIeff
= Re P
T
T
0
0
(2.117)
Mittlere verbrauchte Leistung ≥ 0
(ii) Blindleistung: Aus (2.113) folgt:
2
p(t) = Re ZIeff
|
{z
PW
}
2
2 sin2 (ωt) + Im ZIeff
|
{z
}
|
Mittelwert = 1
{z
PB
}
sin(2ωt)
|
{z
}
Mittelwert = 1
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
121
Definition:
2
PB := Im ZIeff
(2.118)
Blindleistung
Also:
p(t) = PW (1 − cos(2ωt)) + PB sin(2ωt)
(2.119)
Leistungsbilanz
(iii) Beispiele
2
Spule: Z = jωL, PW = 0, PB = ωLIeff
(2.111) dWmag
2
.
Also: p(t) = ωLIeff
sin(2ωt) =
dt
Kondensator: Z =
Also: p(t) = −
1
1 2
, PW = 0, PB = −
I
jωC
ωC eff
1 2
(2.112) dWel
2
Ieff sin(2ωt) = −ωCUeff
sin(2ωt) =
.
ωC
dt
(iv) Komplexe Zeigerdarstellung:
Es war:
P = U I∗
Mit U = Z · I folgt:
2
P = Z(I · I ∗ ) = Z · Ieff
Also:
2
2
P = Re ZIeff
+ j Im ZIeff
(2.120)
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
122
Somit:
P = PW + jPB
(2.121)
Alternativ:
2
P = U I ∗ = U Y ∗ U ∗ = Y ∗ Ueff
(2.122)
(v) Scheinleistung:
PS = |P | =
q
2
PW
+ PB2
(2.123)
Scheinleistung
Das heißt:
2
PS2 = PW
+ PB2 ,
(2.124)
beziehungsweise:
PS = |P | = |U · I ∗ | = |U | · |I| = Ueff Ieff
(2.125)
2.4.3 Leistung und Effektivwerte
123
Nach (2.108) ist P = PS (cos ∆ϕ + j sin ∆ϕ), also:
PW = PS cos ∆ϕ
(2.126)
PB = PS sin ∆ϕ
(2.127)
NB: ϕ = arg P = arg Z wegen (2.120), das heißt:
tan ∆ϕ =
Im Z
Re Z
(2.128)
Abbildung 2.38: Scheinleistung im Zeigerdiagramm
124
3 Elektromagnetische Wellen in
homogenen Medien
3.1 Grundlegende Aspekte
3.1.1 Modellannahmen
(i) Annahme: Stückweise homogene lineare Materialgesetze:
Ω=
N
]
Ωi mit (i , µi , σi ) ∈ R3+ konstante Material-Koeffizienten.
i=1
#»
#»
D( #»
r , t) = · E( #»
r , t)
(3.1a)
#»
#»
B( #»
r , t) = µ · H( #»
r , t)
(3.1b)
#» #»
#»
j = σ · E + j 0 ( #»
r , t)
(3.1c)
|
{z
}
äußere Quelle
Später: Erweiterung auf frequenzabhängige Material-Parameter:
#»
D( #»
r , t) =
Zt
#»
(t − τ )E( #»
r , τ ) dτ
−∞
..
.
3.1.1 Modellannahmen
125
Fourierzerlegung:
#ˆ»
#ˆ»
D( #»
r , ω) = ˆ(ω)E( #»
r , ω)
#ˆ»
#ˆ»
B( #»
r , ω) = µ̂(ω)H( #»
r , ω)
#ˆ»
#ˆ» #»
#»ˆ
j ( r , ω) = σ̂(ω)E( #»
r , ω) + j 0 ( #»
r , ω)
(ii) Weitere Annahmen:
#»
• keine Raumladung außer an äußeren Quellen: ρ = ρ0 mit div j 0 + ρ˙0 = 0.
• Materie in Ruhe: #»
v = 0.
• keine Hall-Felder.
• keine Temperaturgradienten (Seebeck-Effekt).
• keine Diffusionsströme (Halbleiter).
#»
#»
Aus den letzten drei Punkten folgt: j = σ · E
#»
NB: j 0 kann nur in solchen Teilgebieten von Ω vorgegeben werden, wo σ ≡ 0 gilt.
Andernfalls wäre
σ
σ
#»
#»
#»
ρ̇0 = − div j 0 = − div σ E 0 = − div D0 = − ρ0
⇒ ρ̇0 = −
σ
1
ρ0 = − ρ0 mit τR =
τR
σ
(t−t0 )
−
⇒ ρ0 ( #»
r , t) = ρ0 ( #»
r , t0 ) e τR → 0 für t → ∞
Dies ist ein Widerspruch, denn:
ρ0 ( #»
r , t) = ρ0 ( #»
r , t0 ) −
Zt
t0
#»
div j 0 ( #»
r , t0 ) dt0
3.1.1 Modellannahmen
126
Die Antenne muss in einem Isolator sitzen.
ρ0 E#»0 #»
#»
#»
#»
#» ρ
( j 0 gegeben → ρ̇0 = − div j 0 →0 div E 0 =
→ j 0 = σ E 0 , d. h. nicht konsistent mit
Vorgabe.)
Ausnahme:
#»
div j 0 = 0 = ρ̇0 ⇒ ρ0 = ρ0 ( #»
r ), aber unbestimmt
#»
#»
#»
#»
div j 0 = 0
j 0 = σ E 0 ⇒ ρ0 = div E 0 =
σ
#»
∂A
#»
Beachte: j 0 = −σ∇Φ − σ
. Der Widerspruch kommt über ∇Φ. Die Wirbelströme
∂t
#»
∂A
#»
−σ
sind davon unberührt (div A = 0 wählen).
∂t
#»
∂ A0
#»
j 0 = −σ∇Φ0 − σ
⇒ ρ̇0 = div (σ∇Φ0 )
∂t
andererseits ρ0 = − div (∇Φ0 )
⇒
ρ̇0
σ
=−
ρ0
(außer für ∆Φ0 = 0, stationäre Ströme)
#»
Also: Durch Induktion erzeugtes j 0 liefert konsistente Vorgabe.
#»
∂ A0
#»
#»
j 0 = −σ
mit div A 0 = 0
∂t
#» 
∂
A
#»
0
⇒ div j 0 = 0, ρ0 = − div 
=0
∂t

#»
∂ A0
#»
#» #»
#»
˙
rot A 0 = B 0 ; B 0 Speisefeld für Induktionsfeld
mit div A 0 = 0
∂t
3.1.2 Differentialgleichungen für Wellen
127
Allgemein (vgl. Ansatz zum Hertzschen Dipol):

#»
#» 
∂
A
∂
A
∂2 #» #»
0
0
j 0 = −σ
⇒ ρ0 = − div 
⇒ ρ̇0 = − 2 div A 0
∂t
∂t
∂t
Ladungsbilanz:
∂
∂2 #» !
#» #»
div j 0 = −σ
div A 0 = −ρ̇0 = + 2 div A 0
∂t
∂t
Sei α0 =
∂ #» div A 0 , dann folgt:
∂t
α̇0 = −
−
α0 (t) = α0 (t0 ) e
⇒
σ
α0
t−t0
τR
→ 0 für t → ∞
∂ #»
#» !
div A 0 = 0 wählen, z. B. div A 0 = 0
∂t
#»
(also Hertzscher Dipol mit div P = 0 wenn σ 6= 0)
3.1.2 Differentialgleichungen für propagierende elektromagnetische
Felder (Wellen)
(i) Maxwellsche Gleichungen:
#»
#»
∂B
∂H
#»
rot E = −
= −µ
∂t
∂t
∧
(= (1.2))
(3.2)
3.1.2 Differentialgleichungen für Wellen
128
#»
#»
∂E
#» #» ∂ D
#»
#»
rot H = j +
= σE + + j0
∂t
∂t
#» 1
#» ρ0
div E = div D =
∧
(= (1.4))
(3.3)
∧
(= (1.1))
(3.4)
#»
#» 1
∧
div B = 0 (= (1.3))
div H =
µ
(3.5)
#»
wobei gilt: div j 0 + ρ˙0 = 0
#» #»
(ii) Wellengleichung für (E, H)
#»
#»
∂ H (3.3)
∂2E
∂ #»
#» (3.2)
#»
˙
rot rot E = −µ rot
= −µσ E − µ
−µj 0
∂t
∂t
∂t2
#»
ρ0
#»
#»
#»
− ∆E
= ∇ × (∇ × E) = ∇ ∇E − ∆E = ∇
Also:
#»
#»
∂E
ρ0
∂2E
#»
#»
˙
+ µσ
− ∆E = −∇
µ
− µ j 0 (3.6)
2
∂t
∂t
#»
Wellengleichung für E
3.1.2 Differentialgleichungen für Wellen
129
#»
#»
∂
∂H
∂ 2H
#» (3.3)
#»
#»
#» (3.2)
#»
rot rot H = σ rot E + rot E + rot j 0 = −σµ
− µ
+ rot j 0
2
∂t
∂t
∂t


#»
 #»
= −∆H + ∇ ∇
| {zH}
0
Also:
#»
#»
∂ 2H
∂H
#»
#»
µ
− ∆H = rot j 0
+ µσ
2
∂t
∂t
#»
Wellengleichung für H
(3.7)
Kompaktschreibweise:

ρ0
#»
#»! 
˙
−∇
j
−
µ
E
0
#»
#» = 
H
rot j 0
}
#
"
∂
∂2
−∆
µ 2 + µσ
∂t
∂t
|
{z
gedämpfter Wellenoperator
(falls σ > 0)
(3.8)
#» #»
Das heißt (E, H) sind völlig gleichberechtigte Komponenten eines sechskomponentigen elektromagnetischen Wellenfeldes.
NB: (3.8) ist eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung für die Maxwellρ0
#»
#»
schen Gleichungen (3.2)–(3.5). Zum Beispiel muss div E =
und div H = 0
zusätzlich erfüllt sein.
#» ρ0
#»
(iii) NB: (3.8) muss kompatibel zu div E =
und div H = 0 sein.
#»
#»
#»
• H-Komponente: rechte Seite erfüllt div rot j 0 = 0, also div H = 0 kompatible
Nebenbedingung.
3.1.2 Differentialgleichungen für Wellen
130
#»
• E-Komponente:
ρ0
∂2
∂
∂
#» !
#»
µ 2 + µσ
− ∆ div E = −∆
div j 0
−µ
|
{z
}
∂t
∂t
∂t
−ρ˙0
!
!
∂2
= µ 2 − ∆
∂t
ρ0
#» ρ0
Also ist div E =
eine kompatible Nebenbedingung.
µσ ∂
ρ0 = 0
∂t
(3.9)
σ ≡ 0 oder ρ˙0 ≡ 0
(3.10)
das heißt
Fazit:
– Antenne in Isolator setzen (→ Hertzscher Dipol), oder
– Induktive Einkopplung über Wirbelströme
#»
∂ A0
#»
#»
#»
#»
mit div A 0 = 0, rot A 0 = B 0
 → j 0 = −σ

∂t
 #» 


∂ A0 

ρ0 = − div 
=0
∂t

#»
erfüllen div j 0 = 0 = −ρ˙0






3.1.3 Wellengleichung für das elektromagnetische Viererpotential
131
(iv) Rand- und Grenzflächenbedingungen: siehe § 1.4.1 und § 1.4.2:
#»
#»
Normalkomponenten von D und B stetig (σint ≡ 0)
#»
#»
#»
Tangentialkomonenten von E und H stetig ( i ≡ 0)
3.1.3 Wellengleichung für das elektromagnetische Viererpotential
#» #»
(i) Nach § 1.3.1 haben E, B die Darstellung
#»
∂A
#»
#»
#»
E = −∇Φ −
und B = rot A
∂t
∂Φ
#»
Mit der Lorenzeichung div A + µ
folgt bei konstantem , µ die Wellengleichung
∂t
#
"
µ

Φ

ρ 
 



ρ0 
 



∂2
 
−∆  = =

2
#»
∂t
#»
#»
A
µj
µj 0
(3.11)
falls σ = 0, vgl. (1.32)
(Φ, A) sind gleichberechtigte Komponenten eines vierkomponentigen elektromagnetischen Potentialwellenfeldes in einer vierdimensionalen Raum-Zeit (t, #»
r) ⇒
Relativitätstheorie.
#» ρ
#»
(ii) NB: Die Nebenbedingungen div E = und div H = 0 sind durch den Potentialan
satz automatisch erfüllt:
#» 1
#»
• div H =
div rot A ≡ 0
µ
∂
∂2
ρ
#»
#» Eichung
• div E = −∆Φ −
div A = −∆Φ + µ 2 Φ =
∂t
∂t
(iii) Lösung der inhomogen Wellengleichung mittels des Integraloperators (retardierende
Potentiale, § 3.4.2)
3.1.3 Wellengleichung für das elektromagnetische Viererpotential
132
(iv) Bei Vorgabe des Quellstroms in einer leitenden Umgebung gemäß
#»
∂ A0
#»
j 0 = −σ
∂t
#»
#»
mit div A 0 = 0 (⇒ ρ̇0 = − div j 0 )
#»
#»
und rot A 0 = B 0 = gegeben
#»
wähle die Coulombeichung div A = 0 (vgl. (1.33) ff. in § 1.3.2)
∆Φ = 0
"
(3.12)
∂2
∂
∂
#»
#»
µ 2 + µσ
− ∆ A = µ j 0 − σ∇Φ − ∇Φ
∂t
∂t
∂t
(3.13)
#
!
#»
(d. h. Laplacegleichung für Φ, Ergebnis einsetzen in Wellengleichung für A; Φ wird
#»
als „Hilfsvariable“ und Quellterm für A betrachtet)
Folgende Ströme sind divergenzfrei:
#»
∂A
#» #»
• Leitungsstrom j = j 0 − σ∇Φ − σ
.
∂t
#»
#»
∂D
∂
∂2 A
• Verschiebungsstrom
= − ∇Φ − .
∂t
∂t
∂t2
• „Transversaler Strom“
#»
jt
∂
#»
= j − ∇Φ
.
∂t
#»
∂
∂A
#»
= j 0 − σ∇Φ − ∇Φ − σ
∂t
∂t
ρ0
#»
#»
Die Nebenbedingungen div E = − = 0 und div H sind durch den Potentialansatz
automatisch erfüllt.
(v) Rand- und Grenzflächenbedingungen:
#»
∂A
#»
#»
#» #»
B = rot A = ∇ × A, E = −∇Φ −
∂t
3.1.3 Wellengleichung für das elektromagnetische Viererpotential
133
#»
#»
#»
#» #»
#»
#»
#»
a) B · N stetig ⇔ N · ∇ × A = N × ∇ A stetig ⇔ ∇ N × A stetig ⇒
#» #»
N × A stetig.
∂ #» #»
∂Φ
#» #»
+
b) D · N stetig ⇔ A · N stetig.
∂N
∂t
#»
∂ #» #»
#» #»
c) N × E stetig ⇔ N × ∇ Φ +
N × A stetig.
∂t
#»
1 #» #» 1 #» #» 1 #»
#» #»
N · ∇ A stetig.
d) N × H stetig ⇔ N × ∇ × A = ∇ A · N −
µ
µ
µ
#»
#» #»
e) Coulomb-Eichung: div A = 0 ⇒ A · N stetig.
∂Φ
#»
#» #»
f) Lorenz-Eichung: div A = −µ
⇒ A · N stetig.
∂t
|{z}
stetig, beschränkt
#»
∂A
#»
Also: A stetig ⇒
stetig ⇒ Φ stetig (auch direkt aus (i) und (iii)). Es folgt:
∂t
1
∂ #» #»
∂Φ
∂Φ
A·N
− 2
= (2 − 1 )
∂N
∂N
∂t
#»
#»
#» #»
#» #»
∇ × N × A = N div A − N · ∇ A
#» #»
#»
#»
N × ∇ × A = ∇ A · N − N div A
#»
#»
#» #» #»
#»
#» #»
#»
#» #»
⇒ ∇ × N × A + N × ∇ × A = ∇ A·N − N ·∇ A = N × ∇ × A
stetig:
#» #» #»
#»
1 h #»
∂ #» #»
#»i #» h #»
#»i
N × ∇ A·N − N ·∇ N × A = N × N × ∇ × A −
N×A
µ
∂N
3.1.4 Physikalischer Mechanismus für EM Wellenausbreitung
134
3.1.4 Physikalischer Mechanismus für EM Wellenausbreitung
#»
∂B
#»
(i) rot E = −
∂t
#»
#»
#»
B erzeugt Wirbelfeld E (div E = 0)
#»
#»
(ii) α) D = E
#»
#»
E polarisiert Ausbreitungsmedium und erzeugt D
#»
#»
β) j = σ E
#»
E erzeugt (ladungsneutralen) Teilchenstrom
#»
#»
#» #»
(div j = 0, Reibung, Dämpfung, PVerlust = j E = σ|E|2 > 0)
#»
#» #» ∂ D
(iii) rot H = j +
∂t #»
#»
#»
#»
D und ggf. j erzeugen Wirbelfeld H(div H = 0)
#»
#»
(iv) B = µH
#»
#»
H magnetisiert Medium und erzeugt B ⇒(i)
3.2 Homogene Wellengleichung in einer
Raumdimension
3.2.1 Spezielle Modellannahmen
Wir betrachten die Wellengleichung (3.8) in der speziellen Form
µ
∂ 2u ∂ 2u
− 2 =0
∂t2
∂x
Das heißt
• Eine Raumdimension: ∆ =
∂ 2 #»
, r = x #»
e x , x ∈ R.
∂x2
• keine Dämpfung: σ = 0.
#»
• keine Quellen: j 0 = 0, ρ0 = 0
(3.14)
3.2.2 Grundlösungen
135
• u(x, t) sei ein skalares Wellenfeld oder eine Komponente eines Vektorfeldes.
3.2.2 Grundlösungen
(i) Definition:
1
c := √
µ
(3.15)
oder µc2 = 1 (Merkregel)
m
c hat die Dimension einer Geschwindigkeit
und heißt Ausbreitungsgeschwins
digkeit.
m
km
Ihr Vakuumwert ist c = 2, 997 × 108
≈ 300000
.
s
s
(ii) Es soll also
gelöst werden:
2u = (
∂2
1 ∂2
−
)u(x, t) = 0
c2 ∂t2 ∂x2
ξ := x − ct; η := x + ct
F
(x, t) 7→ (ξ, η)
ue(ξ, η) := u(x(ξ, η), t(ξ, η)) ⇒ 2 =
⇒
∂ ∂
ue(ξ, η) = 0
∂η ∂ξ
Lösung:
ue(ξ, η) = f1 (ξ) + f2 (η)
∂2
∂η∂ξ
3.2.3 Veranschaulichung im x-t-Raum
136
u(x, t) = f1 (x − ct) + f2 (x + ct)
(3.16)
D’Alembertsche Lösung
mit f1 , f2 ∈ C 2 (R)
Probe:
∂ 2u
00
00
= f1 (x − ct) + f2 (x + ct)
2
∂x
i
1 ∂ 2u
1 h 00
00
2
2
(x
+
ct)
·
c
(x
−
ct)
·
c
+
f
=
f
2
c2 ∂t2
c2 1
=
∂ 2u
∂x2
q.e.d.
3.2.3 Veranschaulichung im x-t-Raum
Abbildung 3.1: Zur D’Alembertschen Lösung
Das heißt nach einer Zeit t ist die Ausgangsfunktion
137
f1 (x) um ∆x = ct nach + #»
e x und
f2 (x) um −∆x = −ct nach − #»
ex
parallel verschoben.
• Propagierende Felder durchdringen sich ungestört.
• v=
∆x
ct
=
= c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit.
∆t
t
• Auf den Geraden x − ct =const.
bzw.
x + ct =const.
haben f1 bzw. f2 immer denselben Wert (Charakteristiken).
Abbildung 3.2: Charakteristiken
3.3 Ebene Wellen in R3
3.3.1 Grundlösungen der dreidimensionalen Wellengleichung
(i) Annahmen:
• Es gibt eine Gerade #»
r (α) = #»
r 0 + α #»
n ; | #»
n | = 1, α ∈ R längs der sich
#» #»
#» #» #»
#»
#»
eine Startlösung E( r , t = 0) = E 0 ( n · r ) wie E( #»
r , t) = E 0 ( #»
n · #»
r − ct)
ausbreitet.
3.3.1 Grundlösungen der dreidimensionalen Wellengleichung
138
#»
• div E( #»
r , t) = 0
• Keine Dämpfung: σ = 0.
(ii) Also liefert der Ansatz:
#»
#»
E( #»
r , t) = E 0 ( #»
n · #»
r − ct)
#»
E 0 (.) : R 7→ R3 , beliebig differenzierbare Funktion
eingesetzt in die homogene Wellengleichung:
#»00
#»00
µc2 E 0 ( #»
n · #»
r − ct) − ( #»
n · #»
n )E 0 ( #»
n · #»
r − ct) = 0
Diese wird gelöst mit (vgl. (3.14):
1
c= √
µ
#»
E 0 (.) beliebig (zweimal differenzierbar)
#»
#»
(iii) Damit E( #»
r , t) := E 0 ( #»
n #»
r − ct) die Maxwell-Gleichungen erfüllt, muss zusätzlich
gelten:
#»
#»0
!
div E = #»
n E 0 ( #»
n #»
r − ct) = 0
#»
#»
Also entweder #»
n · E 0 (.) = const. (uninteressant) oder E 0 ⊥ #»
n , das heißt:
#»
E 0 (.) · #»
n =0
#»
Das heißt nur die Komponente E 0 ⊥ #»
n ist eine frei wählbare Funktion.
(iv) Allgemeinere Schreibweise:
#»
Schreibe Skalenfaktor ( #»
n · #»
r − ct) = ( k · #»
r − ωt) mit
ω
1
#» = c = √
µ
|k|
3.3.1 Grundlösungen der dreidimensionalen Wellengleichung
#»
#» #»
E( #»
r , t) = E 0 ( k · #»
r − ωt)
#»
wobei k := k #»
n
ω := kc
139
(3.17)
Ausbreitungsvektor, Wellenvektor mit Kreiswellenzahl k
Kreisfrequenz bei harmonischen Wellen.
#» #»
k · E 0 (.) = 0
(3.18)
#»
oder E 0 (.) ⊥ #»
n
Abbildung 3.3: Zum Wellenvektor
#»
Satz. Auf den Phasenebenen Φ(t) = { #»
r ∈ R3 | k · #»
r − ωt = const.} ist
#» #»
#»
E( r , t) = E 0 (const.) = const.
Φ(t) bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit
∆( #»
n · #»
r)
ω
=c= .
∆t
k
3.3.2 Ebene eletromagnetische Wellen
140
3.3.2 Ebene eletromagnetische Wellen
(v) Die Gleichungen
#» #»
#»
#» #»
E( #»
r , t) = E 0 ( k · #»
r − ωt) mit k · E 0 (.) = 0
#» #»
#»
#» #»
H( #»
r , t) = H 0 ( k · #»
r − ωt) mit k · H 0 (.) = 0
lösen die Wellengleichung (3.8) für σ ≡ 0 mit der Nebenbedingung
#»
#»
div E = div H = 0.
Zusätzlich muss aber gelten:
∂H
#»
rot E = −µ
∂t
#»
∂E
#»
rot H = ∂t
#» #»0
#»0
⇒ k × E 0 = +µω H 0
#» #»0
#»0
k × H 0 = −ω E 0
Diese werden (modulo Konstante) gelöst durch:
1 #» #»
#»
H0 =
k × E0
µω
(3.19)
1 #» #»
#»
E0 = −
k × H0
ω
(3.20)
3.3.2 Ebene eletromagnetische Wellen
141
(vi) Probe:
1 #» #»
1 #»
1 #» #»
1 #»2 #»
#»
H0 =
k × E0 =
k × −
k × H0 =
k H
µω
µω
ω
µω 2
#»2
1
k
=1
⇔ 2 ·
ω
µ
ω
1
⇔ #» = √ = c
µ
|k|
Also:
#»
#»
ω( k ) = c| k |
Dispersionsrelation
Abbildung 3.4: Zur Beziehung zwischen E- und H-Feld
(vii) Wellenwiderstand
s
#»
√
µ #»
k
1 #»
#»
=
n =
n =
n
µω
µc
µ
µ
#»
√
r
µ #»
1 #»
µ #»
k
=
n =
n =
n
ω
c
|{z}
:= Z
3.3.3 Energiedichte und Leistungsfluss ebener EM-Wellen
Z :=
r
µ
142
(3.21)
Wellenwiderstand
Sein Vakuumwert ist Z =
s
µ0
= 376, 9 Ω. Damit gilt weiter:
0
1 #» #»
#»
n × E0
H0 =
Z
(3.22)
#»
#»
E 0 = −Z #»
n × H0
(3.23)
3.3.3 Energiedichte und Leistungsfluss ebener EM-Wellen
(i)
wel =
1 #» #» #»2 #» #»
E · D = E 0 ( k · r − ωt) vgl. (1.13)
2
2
(ii)
wmag =
=
1 #» #» µ #»2 #» #»
H · B = H 0 ( k · r − ωt) vgl. (1.18)
2
2
#»2 #» #»
E ( k · r − ωt) = wel
2 0
3.3.3 Energiedichte und Leistungsfluss ebener EM-Wellen
143
(iii)
#»2 #»
welmag = wel + wmag = E 0 ( k · #»
r − ωt)
#»2 #»
= µH 0 ( k · #»
r − ωt)
(3.24)
(iv) Poyntingvektor (Leistungsflussdichte, vgl. § 1.2.4):
1 #»
#» #» (1.22) #» #»
E 0 × #»
n × E0
S = E ×H =
Z
=
1 #»2 #»
E ·n
Z 0
1 #» #»
#»
r − ωt)|2 #»
n
S ( #»
r , t) = |E 0 ( k #»
Z
#»
S = c · welmag · #»
n
(3.25)
(3.26)
(v) NB: Interpretation durch den Energiesatz:
1 #»
#»
#»0 #»
div S = 2E 0 · E 0 | k |
Z
∂welmag
#»
#»0
= 2E 0 · E 0 (−ω)
∂t
#»
√
ω µ
|k|
ω 1
Wegen
=
= q µ = ω folgt:
Z
c Z
∂welmag
#»
+ div S = 0
∂t
(3.27)
3.3.4 Harmonische ebene Wellen in R3
144
3.3.4 Harmonische ebene Wellen in R3
(i) Wählt man eine sinus- oder cosinusförmige (harmonische) Ort-Zeit-Abhängkeit der
Grundlösung (3.17), also
#»
#»
#»
r − ωt − ϕ)
E( #»
r , t) = E 0 cos( k #»
|{z}
#»
#»
E 0 · k = 0, const.
#»
#»
#»
H( #»
r , t) = H 0 cos( k #»
r − ωt − ϕ)
|{z}
#»
#»
H 0 · k = 0, const.
mit H0 =
1 #» #»
n × E0
Z
(3.28)
(3.29)
(3.30)
so spricht man von einer (linear polarisierten) harmonischen EM-Welle.
Abbildung 3.5: Harmonische Welle
(ii) Kenngrößen von harmonischen EM-Wellen:
#»
#»
• Wellenlänge: 2π = k · ∆ #»
r ; ∆ #»
r k k ; |∆ #»
r| = λ
3.3.4 Harmonische ebene Wellen in R3
145
2π
#» 2π #»
λ = #» bzw. k =
n
λ
|k|
(3.31)
!
• Schwingungsdauer (Periode): ωT = 2π:
T =
• Frequenz: ν =
2π
2π
bzw. ω =
ω
T
(3.32)
1
T
ω = 2πν
(3.33)
• Nützliche Beziehungen:
ω
=c
k
⇔
2πν
2π
λ
=c
λν = c
(3.34)
λ = cT
(3.35)
3.3.4 Harmonische ebene Wellen in R3
146
#» ω #»
√
k = n = ω µ #»
n
c
(3.36)
„inverse“ Dispersionsrelation
#»
(iii) Verallgemeinerung: Wir spannen die Ebenen senkrecht zu k durch ( #»
e 1 , #»
e 2 ) auf,
sodass ( #»
e 1 , #»
e 2 , #»
n ) ein orthonormales Rechtssystem im R3 bilden.
#»
#»
#»
E 0 = (E 0 · #»
e 1 ) #»
e 1 + (E 0 · #»
e 2 ) #»
e2
|
{z
E01
}
|
{z
E02
}
#»
#»
#»
H 0 = (H 0 · #»
e 1 ) #»
e 1 + (H 0 · #»
e 2 ) #»
e2
|
{z
H01
}
|
{z
H02
}
Beliebig polarisierte elektromagnetische Wellen:
#»
#»
E( #»
r , t) = E01 #»
e 1 cos( k · #»
r − ωt − ϕ1 )
(3.37)
#»
+E02 #»
e 2 cos( k · #»
r − ωt − ϕ2 )
1 #» #» #»
#»
H( #»
r , t) =
n × E( r , t)
Z
Spezialfälle:
• ϕ1 = ϕ2 = ϕ: lineare Polarisation.
π #»
#»
#»
• ϕ1 = ϕ2 ± , E 01 = E 02 = E 0 : zirkulare Polarisation.
2 #»
#»
E( #»
r , t) = E #»
e cos( k · #»
r − ωt) + #»
e sin( k · #»
r − ωt)
0
1
2
(iv) Unabhängige Parameter einer harmonischen EM-Welle:
#»
k
#»
• Ausbreitungsrichtung: n = #» .
|k|
3.3.4 Harmonische ebene Wellen in R3
147
Abbildung 3.6: Zur Polarisation von Wellen
2π
#»
• Wellenlänge oder Frequenz: λ = #» oder ω = c| k |.
|k|
NB: Diese drei Parameter kann man zusammenfassen durch Vorgabe von
#»
k ∈ R3 .
#»
#»
#»
#»
• Amplituden E01 , E02 von E 0 ⊥ k (also E 0 · #»
n = 0, alternativ H 0 mit
#»
#»
H 0 ⊥ k ) ⇒ zwei Parameter.
• Phasenwinkel ϕ1 , ϕ2
⇒
zwei Parameter.
Fazit: 7 Freiheitsgrade pro harmonischer EM-Welle.
(v) Komplexe Schreibweise:
#» #»
#»
#»
#»
E( #»
r , t) = Re {(E 01 e−jϕ1 #»
e 1 + E 02 e−jϕ2 #»
e 2 ) ej( k r −ωt) }
|
{z
}
|
Ê01 ∈ C
|
1 #» #ˆ»
#ˆ»
Mit H 0 =
n × E 0 folgt:
Z
{z
}
Ê02 ∈ C
{z
#»
#ˆ»
#ˆ»
E 0 ∈ C3 mit E 0 ⊥ k
}
3.3.5 Darstellung beliebiger EM-Wellen durch harmonische ebene Wellen
#» #»
#»
#ˆ»
E( #»
r , t) = Re {E 0 ej( k r −ωt) }
(3.38a)
#» #»
#»
#ˆ»
H( #»
r , t) = Re {H 0 ej( k r −ωt) }
(3.38b)
148
3.3.5 Darstellung beliebiger EM-Wellen durch harmonische ebene
Wellen
#»
#»
#ˆ» #»
#ˆ» #»
(i) Unabhängige Parameter: Wähle k ∈ R3 sowie E( k ) ∈ C3 mit E( k ) · k = 0 sowie
#»
#»
ω( k ) = c| k |
(3.39)
Dispersionsrelation für nicht-dispersive Medien
1 #» #ˆ» #»
#ˆ» #»
k × E( k ).
Weiter sei H( k ) =
µω
(ii) Fouriersynthese: vierfache Fouriertransformation bezüglich ( #»
r , t) (vgl. § 2.4.4 (vi)):

#ˆ» #» 
#» #» !
Z
E( r , t)
 E( k , ω)  ·
= Re
#» #»
#ˆ» #»
H( r , t)
H( k , ω)
R4
#» #»
#»
ej( k r −ωt) δ(ω 0 − ω( k )) dω 0 d3 k
(3.40)
3.3.6 Grundgleichungen in Fourierdarstellung
149
mit der Nebenbedingung:
#»
ω = ω( k )
(3.41)
allgemeine Dispersionsrelation
(iii) Satz. Jede EM-Welle lässt sich sich als „Linearkombination“ monochromatischer ebener Wellen schreiben.


#ˆ» #»
#» #» !
Z
E(
k
)
E( r , t)


= Re
1
#» #»
#ˆ» #»  ·
#»
H( r , t)
n × E( k )
R3
Z
#»
#»
ej( k · r −ω( k )t) d3 k
#»
(3.42)
3.3.6 Grundgleichungen in Fourierdarstellung
#»
#»
(i) Für D( #»
r , t) und B( #»
r , t) gilt die analoge Darstellung zu (3.42):

#ˆ» #» 
#» #» !
Z
D( r , t)
D( k ) ·
= Re
#» #»
#ˆ» #»
B( r , t)
B( k )
R3
#»
#»
ej( k · r −ω( k )t) d3 k
#»
(3.43)
#ˆ» #»
#ˆ» #»
#ˆ» #»
#ˆ» #»
mit D( k ) = E( k ) und B( k ) = µH( k )
3.3.6 Grundgleichungen in Fourierdarstellung
150
#»
(ii) Erweiterte Materialgleichungen für dispersive Medien (keine Quellen ρ0 , j 0 ):
#» #ˆ» #»
#ˆ» #»
D( k ) = (ω( k ))E( k )
(3.44)
#» #ˆ» #»
#ˆ» #»
B( k ) = µ(ω( k ))H( k )
(3.45)
#» #ˆ» #»
#ˆ» #»
#»ˆ #»
j ( k ) = σ(ω( k ))E( k ) + j 0 ( k )
#» #»
j ( r , t) = Re {
Z
(3.46)
#»
#»
#ˆ» #» [j ( #»
j ( k ) e k r −ω( k )t)] d3 k}
R3
#»
NB: ω( k ) ist selbst-konsistent zu berechnen.
(iii) Maxwellsche Gleichungen in Fourierdarstellung:
Aus (3.42) bzw. (3.43) folgt:
#»
∂B
#»
• rot E = −
∂t
⇔
#» #ˆ» #»
#ˆ» #»
−j k × E( k ) = −jωµ(ω)H( k ), also:
#» #ˆ» #»
#»
#» #ˆ» #»
k × E( k ) = ω( k )µ(ω( k ))H( k )
(3.47)
#»
• div D = ρ, also:
#» #ˆ» #»
−j k · E( k ) =
mit ρ( #»
r , t) = Re

Z

R3
#»
ρ̂( k )
#»
(ω( k ))
(3.48)


#» #»
#»
#»
ρ̂( k )e[j ( k r −ω( k )t)] d3 k

3.3.6 Grundgleichungen in Fourierdarstellung
#»
#» #» ∂ D
• rot H = j +
∂t
151
⇔
#» #ˆ» #»
#» #ˆ» #»
#»
#» #ˆ» #»
−j k × H( k ) = σ(ω( k ))E( k ) + jω( k )(ω( k ))E( k )
σ(ω) #ˆ» #»
E( k )
= jω (ω) − j
ω
#
"
{z
|
=: e(ω)
}
Mit der Definition der komplexen Dielektrizitätskonstanten:
e := (ω) − j
σ(ω)
ω
(3.49)
folgt:
#» #ˆ» #»
#»
#» #ˆ» #»
k × H( k ) = −ω( k )e(ω( k ))E( k )
#»
• div B = 0
⇔
(3.50)
#»
#» #ˆ» #»
j k µ(ω( k ))H( k ) = 0, also:
#» #ˆ» #»
k · H( k ) = 0
(iv) Dispersionsrelation:
#»
#» #ˆ»
#» #» #ˆ» #»
#ˆ»
k × ( k × H) = k ( k · H) − k 2 · H
|
{z
0
}
#» #ˆ» (3.47)
#ˆ»
= −ω e k × E = −ω 2 eµH
(3.50)
(3.51)
3.3.7 Räumlich gedämpfte ebene EM-Wellen in Leitern
#ˆ» #»
! #»
Deshalb: H( k ) 6= 0 ist nur möglich für ω 2 eµ = k 2
#»
ω2( k ) =
152
⇔:
1
#»2
#»
#» k
e(ω( k ))µ(ω( k ))
(3.52)
komplexe Dispersionsrelation
(Verallgemeinerung von (3.36))
#»
Speziell: Ist k = ke #»
n | = 1, so lässt sich (3.52) mit ke ∈ C und
n mit #»
n ∈ R3 , | #»
#»
ω( k ) ∈ R lösen:
e
k(ω)
=
q
e(ω)µ(ω)ω
(3.53)
Reelles ke für σ(ω) = 0, sonst räumlich gedämpfte EM-Welle (evanescent waves).
3.3.7 Räumlich gedämpfte ebene EM-Wellen in Leitern
#» e
(i) Komplexer Ausbreitungsvektor: k = k(ω)
· #»
n mit
e
e
e
k(ω)
= Re k(ω)
+j Im k(ω)
= β(ω) − jα(ω)
|
{z
}
=: β(ω)
|
{z
}
=: −α(ω)
Dabei heißt α Dämpfungsmaß und β Phasenmaß.
(ii) EM-Felder:
3.3.7 Räumlich gedämpfte ebene EM-Wellen in Leitern
#»
#ˆ»
e #» #»
E( #»
r , t) = Re {E 0 ej (ωt−k n r ) }
153
(3.54)
#» #»
#» #»
#ˆ»
= Re {E 0 e−α(ω) n r ej(ωt−β(ω) n r ) }
#» #»
#» #»
#»
#ˆ»
H( #»
r , t) = Re {H 0 e−α(ω) n r ej(ωt−β(ω) n r ) }
(3.55)
#» #ˆ»
wobei k · H 0 = 0 (vgl. (3.51))
1 e
#ˆ» (3.50)
#ˆ»
und E 0 = −
k(ω) #»
n × H0
ω e(ω)
Also:
#ˆ»
#ˆ»
E 0 = −Ze #»
n × H0
(3.56)
1
#ˆ»
#ˆ»
H 0 = e #»
n × E0
Z
(3.57)
e
mit dem komplexen Wellenwiderstand Z(ω):
Ze :=
=
v
u
e
µ(ω)
k(ω) (3.53) u
= t
e
e(ω)
ω (ω)
v
u
u
t
µ(ω)
(ω) − j σ(ω)
ω
(iii) Folgerung:
Für zeitlich ungedämpfte Wellen (d. h. ω ∈ R) ist
#»
#» #ˆ» e
#»
ρ̂( k , ω) = −(ω)j k · E(k(ω)
n , ω) = 0
(3.58)
3.3.7 Räumlich gedämpfte ebene EM-Wellen in Leitern
154
#» e
#ˆ»
#»
wegen E 0 = −Ze #»
n × H 0 , mit k = k(ω)
· #»
n.
Auch folgt direkt aus § 1.5.4.2:
∂ρ
σ
= − ρ, also zerfällt die Störung:
∂t
σ
∆ρ(t) = ∆ρ(0)e− t
(iv) Eindringtiefe:
1
1
ist das EM-Feld auf -tel abgeklungen.
α(ω)
1
T
Für kleine Frequenzen gilt: ω(ω) << σ(ω), d. h. τR << =
.
ω
2π
Nach einer Länge z0 =
(3.49)
⇒ e(ω) ≈
⇒ ke 2 ≈ ω 2
σ(ω) e 2
; k = eµω 2
jω
σ(ω)
µ = β 2 − α2 − 2jαβ
jω
1
⇒ α = β und α2 = σ(ω)µω
2
s
α(ω) =
σ(ω)µω
2
(3.59)
2
σ(ω)µω
(3.60)
s
z0 (ω) =
2π
Wellenlänge:
= Re ke = β = α.
λ
Abklingfaktor nach einer Wellenlänge:
e−λα = e−2π ≈ 0, 001