5. Beugung

5. Beugung 5.1 Das Huygenssche Prinzip und das Kirchhoffsche Begungsintegral 5.2 Fraunhofer-­‐ und Fresnel-­‐Näherung 5.3 Fourier-­‐OpDk 5.4 OpDsche Elemente im Wellenbild 5.5 Holografie Beugung (DiffrakDon) = Abweichung von geradliniger Ausbreitung des Lichts Zentraler Begriff: Wellenfront (WF) = Fläche konstanter Phase 5.1 Das Huygenssche Prinzip u. das Kirchhoffsche Beugungsintegral Huygens 1691: Jeder Punkt einer primären WF ist Ausgangspunkt kugelförmiger sekundärer Elementarwellen. Die WF zu einem späteren Zeitpunkt ist die Einhüllende dieser Elementarwellen. Nur qualitaDv richDg! Genaue Beschreibung durch MWG! Betrachten: monochromaDsches Wellenfeld mit fixierter linearer PolarisaDon (skalare WellenopDk) ? E(~r, t) =
1
E(~r)e
2
i!t
+ k.k.
Wellengleichung ⇒ Helmholtz-­‐Gleichung (r2 + k 2 )E = 0, k =
!
c
Ebene Welle ist natürlich eine Lösung, aber ebenso Kugelwellen E ⇠ eikr /r
(WF = Kugelflächen) oder beliebig komplexe Wellenzustände (als Überlage-­‐ rung von ebenen Wellen mit idenDschem Betrag aber unterschiedlicher Richtung des Wellenvektors, siehe Abbildung auf nächster Seite ). Eigentlich Randwertaufgabe: Bei Kenntnis von E auf einer besDmmten ~r -­‐ Menge kann Feld an allen anderen Orten berechnet werden. Im K ontext der Beugung bedeutet dies das folgende: E 1 und E 2 seien 2 Lösungen der Helmholtz-­‐Gleichungen (zum gleichen k), Greenscher Satz: ~
dA
Blende Z
2
V
2
dV [E1 r E2
E2 r E1 ] =
= 0 Z
A(V )
~ [E1 rE2
dA
E2 rE1 ]
V ~r
⇢
~
AR Wählen speziell: E
1 =
E als beliebiges reguläres Feld E2 =
eik⇢
⇢
Schließen Singularität bei ρ=0 durch Umgehung auf einer Kugel mit Radius R aus. 2 Diskrete Überlagerung ebener Wellen mit Wellenvektor ~k = (kx , kz ) = k(sin ✓, cos ✓)
θ=0 M=0 θ=0 M=10 θ=0 M=30 θ=0 M=60 M
X
N= M
cos{
2⇡
[cos(✓
Die WF ergeben sich aus den Contourplots der gradweisen Summe unten bei fester Zeit. Aus der gerichteten, aber unendlich ausgedehnten ebenen Welle entsteht mit zunehmender Zahl von kx-­‐Komponenten ein räumlich eingeengter Zustand, der aber gekrümmte WF, also keine scharfe Ausbreitungsrichtung besitzt. Schließlich entsteht eine Kreiswelle. θ=0 M=90 N )z + sin(✓
N )x]
!t}
Man kann natürlich auch Zustände mit unterschiedliche minlerem Wellenvektor überlagern. (θ=0, M=15) + (θ=30, M=15) (θ=0, M=15) + (θ=45, M=15) In ausreichender Enoernung vom Zentrum lösen diese sich wieder auf, bleiben aber räumlich begrenzt. Da d A
~ auf AR inwärts gerichtet ist: AR – Integral: Z
~ ... =
dA
A
Z
~ ...
dA
AR
~ = R2~s d⌦, ~s = ⇢
dA
~/⇢
eik⇢
ik
1 ik⇢
)e ~s
r⇢~
=(
⇢
⇢
⇢2
ik
1
Integrand bei ρ=R: [E(
)~s
R
R2
lim
1
(r⇢~ E)⇢=R ] eikR
R
R!0
Z
~ ... =
dA
4⇡E(~r)
AR
⇒ Kirchoffsche Integralsatz (Integrale Form der Helmholz-­‐Gleichung) 1
E(~r) =
4⇡
Z
~[
dA
A
eik⇢
rE
⇢
Er
eik⇢
]
⇢
Berechnung des Feldes im Punkt ~r aus Feld auf einer ~r umgebenden Fläche. Integrand: Beitrag der Elementarwelle ausgehend vom Element d A
~ . Dies ist zunächst keine Kugelwelle al la Huygens! Anwendung auf Beugungsanordnung: !
⇢
~ = PQ
H
E0
Q
B
S
P0 ~n
P
Schirm A = B + S + H Blende Halbkugel (R -­‐>∞ ) 5 Kirchhoffsche Randbedingungen: E,
rE
=
0 auf S E =
E 0 , rE
=
rE
0 auf B (Annahmen! Gegenstand der rigorosen Beugungstheorie mit Frenelschen Formeln und BerücksichDgung der PolarisaDon.) ~r0
eikr0
1 eikr0
!
n 0 =
einfallende Kugelwelle: E 0 =
A
0 , rE
0 =
A
0 (ik
) ~
P
0 Q
, ~
n 0 , ~ r 0 =
r0
r0
r0 r0
!
einsetzen in Integralsatz (⇢~ =
P
Q
) Z
iA0
eik(⇢+r0 )
E(P
) =
dA
~
n
0 ~
r 0 (Fernfeld) n (~
s ) wenn ⇢,
2
B
⇢r0
Kirchoffsche Beugungsformel (KBF) ✓0
~n
Integrand: Huygenssche Kugelwellen bis auf Phasenfaktor π/2 und ✓
Neigungsfaktor ~s P
~n(~n0 ~s) = cos ✓0 cos ✓
n0
P0 ~
Das Beugungsmuster entsteht durch Überlagerung aller dieser, von jedem Punkt der Blende ausgehenden Elementarwellen. Interferenz spielt dabei eine zentrale Rolle und wird von der Beugungsformel „automaDsch“ erfasst. Babinetsches Prinzip Betrachten zwei komplementäre Anordnungen A1=(B1,S1) und A2=(B2, S2) mit B1=S2 und S1=B2 Ej (P ) : Feld, wenn nur Aj vorhanden ist. Da B1 + B2 = vollständige Ebene ⇒ E0 (P ) = E1 (P ) + E2 (P )
6 Folgerungen: (i)  Für P mit E 1 (P
) =
0 ⇒ E 2 (P
) =
E 0 (P
) , also als ob A2 nicht vorhanden wäre (ii)  Für P mit E 0 (P
) =
0 ⇒ E 1 (P
) =
E 2 (P
) , also idenDsche Intensitäten für A1 und A2 . P
. P
Beiden Anordnungen liefern nach (ii) idenDsche Intensitätsbeugungsmuster. 5.2 Fresnel-­‐ und Fraunhofer-­‐Beugung Vereinfachung durch paraxiale Näherung eikr0
Quelle sei soweit von Blende enoernt, dass hier WF = Ebenen (z.B. durch Einsatz einer Linse), rs0o ⇡dass 180
, z0 , ✓ 0 ⇡
r0
z=0 BE x z y Q
Q = (x0 , y 0 , 0)
opt. Achse ⇢
= const.
P = (x, y, z)
P
Öffnungsweite (Apertur) a 2 =
max
[(x
x
0 ) 2 +
(y
y 0 ) 2 ] (zugelassene transversale Ausdehnung der Anordnung), also ✓ 6
✓ m
mit a
tan ✓m =
z
Für Beobachtungsebene (BE) gelte z a ,(✓
so ⌧
dass 1) im Integranden der KBF: 1
1
⇡ , cos ✓0
⇢
z
cos ✓ ⇡
2
7 e ik⇢
variiert auf der Skala von und muss daher „vorsichDger“ genähert werden ⇒ E(~r) =
E0
i z
Z Z
einfallendes Feld auf B dx0 dy 0 eik⇢
⇢=
B
p
z 2 + (x
x0 )2 + (y
y 0 )2
x0 )2 + (y y 0 )2
a) Fresnel-­‐Näherung: ⇢ ⇡
z +
⇒ 2z
(x
E0 eikz
E(~r) =
i z
Z Z
k
dx0 dy 0 ei 2z [(x
x0 )2 +(y y 0 )2 ]
B
0 2
0 2
2
0
2
0
b) Fraunhofer-­‐Näherung: (x
x
) +
(y
y ) ⇡
x
+
y 2xx
2yy
⇒ achsennaher Teil einer von B ausgehenden Kugelwelle x2 +y 2
2z
E0 eik(z+
E(~r) =
i
z
)
Z Z
Beugungsgeometrien werden durch die Fresnel-­‐Zahl a2
N
=
F
z
charakterisiert. dx0 dy 0 e
0
0
ik
z (xx +yy )
B
ModulaDon 8 Es gilt: k⇢  kz
p
z
a2
1 + tan2 ✓m = 2⇡ (1 + 2
2z
2
a
⇡ 2
z
a4
+ ...)
8z 4
In Fresnel-­‐Näherung wird angenommen, dass die Phasenänderung durch den 3. Term vernachlässigbar ist (za4/λz4<<1). Das ist idenDsch mit a2
N
F
2 ⌧
1
(also nicht NF << 1) z
Praxis: anwendbar ab z ~10 λ, Integral aber nur numerisch berechenbar (x02 + y 02 )
z
Fraunhofer-­‐Beugung zusätzlich: ⌧
1
, d.h., wenn aB die Apertur der Blende ist: NFB
a2B
=
⌧1
z
Mit wachsendem Abstand Blende-­‐Beobachtungsebene geht Fresnel-­‐ in Fraunhofer-­‐Beugung über. Die Bedeutung der beiden Näherungen wird auch deutlich, wenn man eine punkoörmige Blendenöffnung bei (x0,y0) betrachtet. Dann folgt aus der Kirchhoffschen Beugungsformel in paraaxialer Näherung 2
2
eik⇢
eik{z+[(x x0 ) +(y y0 ) ]/2z}
E(~r) /
⇡
⇢
z
Der Phasenunterschied zu dem Feld einer bei (x0+∆x,y0+∆y) befindlichen Punktöffnung am gleichen Ort (x,y,z) auf der Beobach-­‐
tungsebene ist ⇡
[ x2 + y 2 2 x(x x0 ) 2 y(y y0 )].
z
Die Fraunhofer-­‐Näherung darf also nur angewendet werden, wenn der Abstand der beiden Punkte (∆x2+∆y2)1/2 viel kleiner als die Wurzel aus dem Produkt aus Wellenlänge λ und der BE-­‐Enoernung z ist. 9 Anwendung: Beugung am Spalt Fraunhofer-­‐Beugung u =
Z
2h +h
dx
h
0
Z
+d
dy 0 e
kx
ky
, v=
z
z
i(ux0 +vy 0 )
d
sin2 (qx x) sin2 (qy y)
I / (dh)
qx2 x2
qy2 y 2
2
=4
sin(uh) sin(vd)
u
v
qx = 2⇡
h
d
, qy = 2⇡
z
z
2d h=2d z
d
x Je kleiner d und h, um so mehr Licht trin außerhalb der geometrische Schanengrenze auf! In ähnlicher Weise lassen sich die Beugungsmuster anderer Anordnungen (Lochblende, Doppelspalt, Giner, usw. usf.) berechnen. 10 5. 3 Fourier-­‐OpDk (KohärenzopDk) 2 Prinzipien (i) 
Fourier-­‐Trafo (2D) (ii)  Jede WF ist in ausreichender Enoernung vom Ursprung lokal aus ebenen Wellen zusammengesetzt Beispiel: Kugelwelle, WF: r2 =
2
paraaxialer Anteil bei z ≈ z0: z0
x2 + y 2 + z 2 = const.
2
z ⇡ (z0
2
z)2z0 = x + y
2
) z = z0
x2 + y 2
2z0
parabolische WF mit Krümmungsradius z0, wird asymptoDsch eben für z0 -­‐> ∞ Aufgabenstellung f (x, y)
g(x, y)
ebene Welle . k=
2⇡
(x, y)
(x0 , y 0 )
Welches Bild g entsteht durch Beugung am Muster f ? (Man sagt: g ist die Antwort auf f) Antwort durch Kirchhoffsche Beugungsformel: f(x‘,y‘) im Integranden einsetzen und Grenzen ins Unendliche verschieben! Das so berechnete g(x,y) ist genau genommen die Feldamplitude E(~
r ) am Ort (x,y,z) zum negaDven Frequenzanteil e i!t
. Zur Berechnung des reellen Gesamoeldes muss dann der posiDve Frequenzanteil addiert bzw. bei der Energiedichte (Detektor-­‐ signal) das Betragsquadrat gebildet werden. 11 A) Fraunhofer-­‐Beugung: 2
eik[z+(x +y
g(x, y) /
i z
2
)/2z]
Z
+1
1
Z
+1
dx0 dy 0 f (x0 , y 0 )e
2⇡i[(
y
0
0
x
z )x +( z )x ]
1
Fourier-­‐Transformierte von f an den Raumfrequenzen ⌫x = x/ z, ⌫y = y/ z
also 1
˜(⌫x , ⌫y )|2 , ⌫x = x , ⌫y = y
|
f
2z2
z
z
|g(x, y)|2 /
Die Intensitätsverteilung des Bildes ist durch die Verteilung der Fourier-­‐Komponenten des Musters gegeben! Man kann die Angelegenheit auch umdrehen: Kennen wir das Bild, so können wir auf die Fourier-­‐Transformierte des Musters zurückschließen. Benutzen wird diese wiederum als Muster, so erhalten wir nun im Prinzip das ursprüngliche Muster als Bild zurück. Eine Anwendung dieser Tatsache ist die Fresnelsche Zonenplane (siehe Abbildung). Mangel der Fraunhofer-­‐Beugung: Wegen N
F ⌧
1
ist a⌫
x , a⌫
y ⌧
1 bzw. x,
y ⌧
(z/a)
, Beschränkung auf kleine Muster. B) Fresnel-­‐Beugung: zuerst Antwort auf harmonische FunkDon Untersuchen 0
y ⌫y 1
0
f (x0 , y 0 ) = f˜(⌫x , ⌫y ) e2⇡i(⌫x x +⌫y y )
Einsetzen in Beugungsformel: x‘=x-­‐u, y‘=y-­‐v ⇒ ⌫x , ⌫y : Raumfrequenzen ⌫x 1
x ikz
e
g(x, y) / f˜ e2⇡i(⌫x x+⌫y y)
i z
Z
1
1
Z
1
dudv e
k
2⇡i(⌫x u+⌫y v) i 2z
(u2 +v 2 )
e
1
Fourier-­‐Trafo der Gauß-­‐FunkDon ist wieder Gauß-­‐FunkDon, genau: {(1 + i)(
⇡z 1/2
) e
k
z
i(2⇡⌫x )2 2k
}{x $ y}
12 Fresnelsche Zonenplane Das Beugungsbild einer Lochblende ist, wie im Versuch gezeigt, ein konzentrisches Ringsystem. Die Berechnung mit den Beugungsformeln führt auf spezielle FunkDon (nämlich die Fresnel-­‐Integrale), die hier nicht diskuDert werden sollen. Drehen wir das um und benutzen das Ringsystem als Bild, so wird einfallendes Licht wie bei einer Linse auf einen kleinen Fleck fokussiert. Das Problem ist, dass wir nur das Betragsquadrat des Musters kennen, aber auch die Phase die benöDgen. Dies wird durch die holografische Aufnahme erreicht (siehe . Filigrane Zonenplane, die dem Beugungsmuster einer punkt-­‐
förmigen Loch-­‐Blende nahekommt. Einfache Zonenplane mit binärem Hell-­‐
Dunkel-­‐Kontrast. Es treten treten mulDple Brennpunkte in verschiedenen Beugungs-­‐
ordnungen auf. Vorteil: Großes Öffnungsverhältnis (Scheinwerfer), Nachteil: Reduzierte Durchlässigkeit, Anwendung in RöntgenopDk, da hier n <1 (siehe Kapitel 2) 13 also für das Bild am Ort z ~
g(x, y) / f˜ eik~r
mit kx = 2⇡⌫x , ky = 2⇡⌫y , kz = k
q
kx2 + ky2
⇡ k2
2k
kx2
ky2
Das ist eine ebene Welle mit transversalen Wellenvektoren kx, ky des Musters und kz aus der Bedingung, dass sich k bzw. λ nicht ändert. ⌫T =
⌫T 1
✓
q
sin ✓ =
⌫x2 + ⌫y2
2⇡⌫T
= ⌫T
k
Beachte: f(x,y) ist hier komplexwerDg. In der Praxis kann man aber nur reelle harmonisches Muster erzeugen. Diese haben dann die Komponenten e ±2⇡i(⌫
x x+⌫
y y)
⇒ 2 Wellen mit ±✓
! Anwendungen hiervon sind z. B. das OpDcal InterconnecDng, Imaging oder Scanning (siehe folgende Abbildungen) Verallgemeinerung: Jeder Fourier-­‐Komponente f˜ (⌫
x , ⌫ y ) des Musters entspricht eine ebene Welle mit definierter Ausbreitungs-­‐
richtung! MathemaDsch: g(x, y) /
Z
1
1
d⌫x
Z
1
1
~
d⌫y f˜(⌫x , ⌫y )eik(⌫x ,⌫y )~r
~k(⌫x , ⌫y ) = (2⇡⌫x , 2⇡⌫y , k
2⇡ 2 (⌫x2 + ⌫y2 )
)
k
Das Integral wird kompliziert, weil kz die Raumfrequenzen ebenfalls enthält. [Sonst wäre das Ergebnis ja einfach f(x,y) ]. Das Bild am Ort (x,y) ist jetzt nicht mehr wie bei der Fraunhofer-­‐Näherung durch eine einzelne Fourier-­‐Komponente des Musters besDmmt, sondern eine Überlagerung aller Fourier-­‐Komponenten. Durch die Verwendung einer Linse kann aber wieder eine einzelne Komponente herausgefiltert werden. Bevor das gezeigt wird, soll zunächst skizziert werden, wie man opDsche Elemente generell im Wellenbild beschreibt. 14 Beugung an einem harmonischen Muster (Es gibt auch eine 2. Welle, die nach –θx gebeugt wird) (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) 15 OpDcal InterconnecDng Konzept der lokal harmonischen Fkt.: Rasterkoordinaten x0, y0 (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) f (x, y) ⇠ e2⇡i'(x,y)
'(x, y) ⇡ '0 +
@'
|x (x
@x 0
⌫x (x0 , y0 )
veränderlich auf Skala >> λ x0 ) +
@'
|y (y
@y 0
y0 )
⌫y (x0 , y0 ) lokale Raumfrequenzen 16 Imaging Scanner (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) 17 5. 4 OpDsche Elemente im Wellenbild Prinzip: Durchgang durch opDsches Element erzeugt eine Verzerrung der WF gemäß unterschiedlichem opDschem Weg nd! A) Planparallele Plane n
Brechungsgesetz 0
sin ✓ =
L
n
ct
L
sin ✓2 =
90
90
B) Dünner Keil ✓
0
ct
L
c = nc0
✓2
⇡ tan
Ablenkwinkel kx /k = sin ⇡ , kz /k = cos ⇡ 1
Feldamplitude hinter Prisma Et (x, z) = eik[(n
1) x+z]
= (n
E0 )
1)
18 C) Beliebiges dünnes Element DeformaDon der WF durch Phasenverschiebung Et (~r) = eik[d0
= eik(n
d(x,y)+nd(x,y)] ik(z d0 )
e
1)d(x,y) ikz
e
E0
E0
19 D) Dünne Bikonvex-­‐Linse Wir lassen jetzt auch schrägen Einfall zu (siehe Abbildung unten rechts). E0 ⇠ ei(kx x+ky y+kz z)
d(x, y)
R
z
0
L
Dünne Linse und paraaxiale Näherung nkL ⇡ nkz d
d(x, y) = d0
d0
[R
Phase am Linsenende '(x, y) = kz [d0
p
R2
1
2f
d
d(x, y)] + nkz d(x, y)
Welle nach Linse ⇠
e i['(x,y)+k
x x+k
y y+kz (z d0 )]
Phase, ohne irrelevante konstante Beiträge kx x + ky y
(x2 + y 2 )] ⇡ d0
x2 + y 2
2R
kz
n 1 2
(x + y 2 ) + kz z
2R
kx
kz
⇡ kx /k
1
kx
quadraDsche Ergänzung z =
C
0 +
(x
f ) 2 +
(x
, $ y)
2f
k
2
Gleichung für WF z ( x
x)
+
(x
$
y)
=
C
mit Brennweite f=
R
n
1
(Beliebige Linsenform: 1/R -­‐> 1/R1+1/R2 mit korrektem Vorzeichen, geom. OpDk) Das sind die WF einer Parabolwelle mit Krümmungsradius f und Ursprung x0 = (kx/k) f, y0= (ky/k) f Folge: Eine ebene Welle, die sich relaDv zur opDschen Achse im para-­‐
axialen Bereich mit den Polarwinkeln θ und ϕ ausbreitet, wird auf den Punkt fθ (cos ϕ, sin ϕ ) der Brennebene fokussiert! f cos ✓ ⇡ f
20 E) Fourier-­‐TransformaDon mit einer Linse f˜(⌫x , ⌫y )
Beugungswellen einer besDmmten Fourierkomponente des Bildes werden durch die Linse auf einen besDmmten Punkt der Brennebene fokussiert. Genauer: Die Komponente f ˜ (⌫
x , ⌫ y ) des Musters f(x,y) wird in Frensnel-­‐Nährung auf den Punkt x =
f ⌫ x , y
=
f ⌫ y abgebildet. Das Intensitätsmuster auf einem sich in der Brennebene befindlichen Beobachtungsschirm ist also |g(x, y)|2 =
1 ˜ x y 2
|f ( ,
)|
2f 2
f f
Damit kann man Bilder bearbeiten, wie die folgenden Abbildungen demonstrieren. 21 4f-­‐Au†au (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) 22 OpDscher Hoch-­‐ und Tiefpass (Maske wird in der Fourier-­‐Ebene platziert) (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) 23 5. 5 Holografie Aus dem Kalkül der Fourier-­‐OpDk folgt: Kann man die Fourier-­‐Komponenten des Lichts, das von einem Objekt ausgeht als Muster festhalten, so kann durch bescheinen dieses Musters mit einer Referenzwelle das Objekt wieder (virtuell) generiert werden. Für eine einzelne Fourier-­‐Komponente sähe das so aus: 2D-­‐Detektor EO
ER
EO
Referenzwelle Objektwelle Problem: Detektoren messen Intensität, nicht Feld (welche für eine einzelne Fourier-­‐Komponente eine Konstante ist). Ausweg: Holografische Kodierung (Gabor 1947) EO
ER
ER
? EO
Durch Interferenz von Objekt-­‐ und Referenzwelle entsteht in der Detektorebene ein harmonisches Muster, das dann durch die Referenzwelle wieder ausgelesen werden kann. Was ist genau das Ergebnis? 24 a) Speicherung t(x, y) / |EO +ER |2z=0 / |AO ei(kx x+ky y) +AR |2 = A2O +A2R +[AO AR ei(kx x+ky y) +k.k]
Hologramm (Durchlässigkeit) b) Abfrage EA = t(x, y)ER /
(A2O
+
A2R )AR
e
ikz
+AO A2R
Referenzwelle [e
i(kz z+kx x+ky y)
+e
i(kz z kx x ky y)
]
(kz = k
kx2 + ky2
)
2k
konjugierte Objektwelle Objektwelle Verallgemeinerung auf beliebige Felder ⇤
t(x, y) / |ER |2 + |EO |2 + ER⇤ EO + ER EO
unminelbar hinterm Hologramm ⇤
EA / t(x, y)ER / (|ER |2 + |EO |2 )ER + |ER |2 EO + ER2 EO
1/2
speziell mit ER = IR eikz )
1/2
1/2
⇤
EA (x, y) / {IR + IO (x, y)}ER + IR EO (x, y) + IR EO
(x, y)
MehrdeuDgkeit (ambiguity) 25 Holografisches Prinzip Speichern Abfragen Das wäre eine Fourier-­‐Komponente des Lichts von einem beliebigem Objekt. 26 Hologramm eines beliebigen Objekts 27 Hologramm einer Punktquelle (Siehe: Fresnel-­‐Zonenplane) 28 PrakDsche Anordnung Speichern Abfragen 29