Übung 5 - Höhere Mathematik an der TUM

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. K. Buchner
Dr. W. Aschbacher
SS 2004
24.5.2004
Analysis II
Übung 5
Aufgabe T 13 (Extrema)
Diskutieren Sie die lokalen und globalen Extrema der folgenden Funktionen:
(a) f : R2 → R, f (x, y) = x2 − y 2
(b) f : R2 → R, f (x, y) = x3 − y 3
(c) f : R2 → R, f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy
Aufgabe T 14 (Analytisch versus glatt)
Gegeben sei eine glatte Funktion f auf einem beliebigen Intervall I ⊆ R, d.h. f ∈ C ∞ (I, R). Sei
∞
X
f (n) (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n
die formale Taylorreihe von f an der Stelle x0 ∈ I. Dann gibt es die folgenden drei Fälle:
(1) Die Taylorreihe von f konvergiert nicht.
(2) Die Taylorreihe von f konvergiert, stellt aber nicht f dar.
(3) Die Taylorreihe von f konvergiert und stellt f dar.
(a) Geben Sie Beispiele zu (1) und (3).
(b) Sei f : R → R folgendermassen definiert:
−1/x2
e
, x>0
f (x) :=
0, x ≤ 0
Zeigen Sie, dass die Taylorreihe von f bei x0 = 0 zwar konvergiert, aber nicht f darstellt. Dieses f
ist also ein Beispiel für den Fall (2).
Hinweis:
Benutzen Sie das folgende Lemma um zu zeigen, dass f bei x0 = 0 unendlich oft differenzierbar ist:
Sei f stetig auf einer offenen Umgebung U (x0 ) von x0 und differenzierbar auf U (x0 )\{x0 }, und es
sei limx→x0 f 0 (x) = c ∈ R. Dann ist f differenzierbar bei x0 und f 0 (x0 ) = c.
2
Zeigen Sie dann, dass f (n) (x) = P3n (1/x)e−1/x , wobei P3n (y) ein Polynom vom Grade 3n in y
bezeichne.
Aufgabe T 15 (Newtonverfahren)
Sei b > 1 und I := [1, b]. Verifizieren Sie die folgenden Eigenschaften der Funktion f ∈ C ∞ (I, R):
f (x) := x2 − b
(a) f hat in I eine Nullstelle.
(b) f 0 (x) 6= 0 für alle x ∈ I.
(c) f ist konvex auf I.
(d) Für x1 ∈ {1, b} liegt x2 := x1 − f (x1 )/f 0 (x1 ) in I. √
Berechnen Sie daraus mittels Newtonverfahren die Zahl 2 bis auf einen Fehler von 10−5 .
Aufgabe H 13 (Extrema)
Diskutieren Sie die lokalen und globalen Extrema der folgenden Funktionen:
(a) f : R2 → R, f (x, y) := p
x2 + y 2 − 2xy + 1
2
(b) f : R → R, f (x, y) = x2 + y 2
(c) D := {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x, y, x + y ≤ π}, f : D ⊂ R2 → R, f (x, y) := sin(x) sin(y) sin(x + y)
Aufgabe H 14 (Nichtentartete kritische Punkte)
Sei f ∈ C 2 (Rn , R). Ein Punkt x0 ∈ Rn heisst kritisch (≡ stationär), falls df (x0 ) = 0. Ein kritischer
Punkt x0 von f heisst nichtentartet, falls det Hf (x0 ) 6= 0.
(a) Sei a ∈ Rn konstant, ψ ∈ C 2 (R, R) und f : Rn → R,
f (x) := ψ(a · x)
wobei für x, y ∈ Rn das Standardskalarprodukt x · y in Rn definiert ist durch x · y :=
In welchen Dimensionen n ∈ N ist jeder kritische Punkt von f entartet?
Pn
i=1
xi yi .
(b) Ein f ∈ C 2 (Rn \ {0}, R) heisst positiv homogen vom Grade α ∈ R, falls f (λx) = λα f (x) für
alle x ∈ Rn \ {0} und λ > 0. Zeigen Sie, dass ein positiv homogenes f vom Grade α = 1 an jedem
kritischen Punkt verschwindet und dort entartet ist.
Hinweis: Leiten Sie die sog. Eulersche Homogenitätsrelation her: ∇f (x) · x = αf (x). Benutzen Sie
zusätzlich, dass f,i positiv homogen vom Grade α − 1 ist für alle i = 1, ..., n.
(c) Sei f ∈ C 2 (Rn , R) und x0 ein nichtentarteter Punkt von f . Zeigen Sie, dass x0 ein in der Menge
der kritischen Punkte isolierter Punkt ist, d.h. x0 besitzt eine Umgebung, die keinen von x0 verschiedenen kritischen Punkt enthält.
Hinweis: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis indem Sie die Taylorformel in einer Umgebung von
x0 verwenden.
Aufgabe H 15 (Vektoranalysis)
Sei f ∈ C 2 (R3 , R), A, B ∈ C 2 (R3 , R3 ). Prüfen Sie die folgenden Formeln nach:
(a) ∆f = div grad f
(b) rot grad f = 0
(c) div rot A = 0
(d) rot rot A = grad div A − ∆A (Hier ist ∆ komponentenweise zu nehmen.)
(e) div (f A) = f div A + df (A)
(f) rot (f A) = f rot A + (grad f ) × A
(g) div (A × B) = B · rot A − A · rot B
(h) rot (A × B) = (B · ∇) A − (A · ∇) B + A div B − B div A
(i) grad (A · B) = (B · ∇) A + (A · ∇) B + A × rot B + B × rot A