Mathematik 1: Gliederung und Prüfungsschwerpunkte

Mathematik 1: Gliederung und Prüfungsschwerpunkte
Wintersemester 13/14, 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen
Theoriefragen in der Klausur beziehen sich auf die hier genannten Themen. Direkte Fragen zu als
Selbsstudium gekennzeichneten Abschnitten wird es nicht geben, die darin enthaltenen Kenntnisse
werden aber möglicherweise zur Beantwortung anderer Fragen gebraucht. Die Klausuraufgaben sind
ähnlich zu lösen, wie die Übungsaufgaben aus den Hausaufgabenserien bzw. Aufgaben und Beispiele
aus den Lehrveranstaltungen. Bei Zusatzfragen oder –aufgaben wird eventuell davon abgewichen.
1. Grundlagen
1.1. Mengen (Elementzeichen ǫ, Gleichheit von Mengen, Vereinigung und Durchschnitt von
Mengen, Differenzmenge, Produktmenge und mehrfache Produkte, Abbildungen, Graph, Definitionsbereich und Wertemenge einer Abbildung, Komposition von Abbildungen, injektive,
surjektive und bijektive Abbildungen, inverse Abbildungen)
1.2. Besonderheiten des mathematischen Sprachgebrauchs (Implikation, hinreichende Bedingung, notwendige Bedingung, logische Äquivalenz und“ und oder“, Negation von Existenz”
”
und Allaussagen)
1.3. Gruppen und Körper (Körperaxiome und Folgerungen wie Rechenregeln und Nullteilerfreiheit, Definition von Gruppe und Untergruppe, Abbildungsgruppen wie Permutationsgruppe
oder Gruppe der Bewegungen und Gruppen von Zahlen als Beispiele)
Praxis: Die Beherrschung der Rechenregeln für die Grundrechenarten ist erforderlich.
1.4. Angeordnete Körper und Rechnen mit Ungleichungen (Trichotomiegesetz, positives Quadrat, Transitivitätsgesetze und Ungleichungsketten, äquivalente und nichtäquivalente Umformungen von Ungleichungen, Intervalle)
Praxis: Anwendung der Rechenregeln für Ungleichungen zur Lösung bzw. zum Beweis von
Ungleichungen, quadratische Ergänzung und quadratische Ungleichungen.
1.5. Vollständigkeitsaxiom (Beschränkte Menge, nach oben oder unten beschränkte Menge, untere und obere Schranke, Infimum, Supremum, Minimum, Maximum, axiomatische Definition der reellen Zahlen, Bezeichnung R)
Praxis: Eigenschaften der Wurzelfunktion.
1.6. Natürliche, ganze und rationale Zahlen, vollständige Induktion und rekursive Definition
(Menge N der natürlichen Zahlen, Menge Z der ganzen Zahlen und Menge Q der rationalen Zahlen als Teilmengen von R, Prinzip der vollständigen Induktion einschließlich
Verallgemeinerungen, Existenz des Minimums für nichtleere Mengen natürlicher Zahlen,
Unbeschränktheit von N, Archimedische Eigenschaft von R, ganzzahliger Anteil, Dichtheit
der rationalen Zahlen, gleichmächtige Mengen, endliche Mengen und Anzahl ihrer Elemente, abzählbar unendliche Mengen, Existenz von Minimum und Maximum für nichtleere
beschränkte Mengen ganzer Zahlen und für nichtleere endliche Mengen reeller Zahlen)
Praxis: Beweismethode der vollständigen Induktion, rekursive Definition von Folgen, Potenzen mit ganzzahligem Exponenten und Potenzgesetze, Anwendung der Rechenregeln für
durch Summenzeichen gegebene endliche Summen [Summe und Vielfaches, Aufteilung, Indexverschiebung, Doppelsumme], Lösung quadratischer Gleichungen auch im Komplexen
und Faktorisierung von Polynomen, Rechnen mit Beträgen reeller
und komplexer Zahlen.
Formeln: Bernoullische Ungleichung, Binomialkoeffizienten m
n für n, m ∈ N0 , aber auch
für komplexe Zahlen m, Binomischer Satz.
1
2. Zahlenfolgen und Reihen
2.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen (Begriff der Zahlenfolge, beschränkte und monotone
∞ Zahlen∞
folgen, Grenzwertdefinition für Zahlenfolgen, Beispiele: konstante Folge, 1j
, q j j=1
j=1
(|q| < 1), Eindeutigkeit des Limes, notwendiges Konvergenzkriterium, Nullfolgen, Nullfolgensatz und Nullfolgenkriterium, Rechenregeln für Grenzwerte, Monotonie des Grenzwertes, Einschließungssatz, bestimmte und unbestimmte Divergenz, Teilfolgen und ihre Konvergenz bzw. bestimmte Divergenz, Begriff des Häufungspunktes einer Zahlenfolge, Betrachtung
komplexer Zahlenfolgen durch Aufteilung in Realteil und Imaginärteil)
Praxis: Bestimmung von eventuell uneigentlichen Grenzwerten und Häufungspunkten durch
Anwendung von Rechenregeln und Einschließungssatz.
2.2. Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen und Satz von Bolzano-Weierstraß (Monotoniekriterium, oberer und unterer Limes als größter bzw. kleinster, eventuell uneigentlicher, Häufungspunkt, Definition der Cauchy-Folge, Cauchy-Kriterium)
2.3. Konvergenz von Zahlenreihen (Partialsummenfolge,
Konvergenz, bestimmte und unbestimmP∞
1
te Divergenz von Zahlenreihen, Beispiel
j=1 j(j+1) , notwendiges Konvergenzkriterium
für Zahlenreihen, Rechenregeln wie Summe und Vielfaches, Aufteilung in Real- und Imaginärteil, Zusammenfassung von Reihengliedern, Auswirkungen des Weglassens endlich vieler Glieder der Reihe)
Praxis: Berechnung geometrischer Reihen.
m
∞
X
X
1 − q m+1
1
j
qj =
(|q| < 1),
(q 6= 1).
q =
Formeln:
1−q
1−q
j=0
j=0
2.4. Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern (Monotoniekriterium, Divergenz
Reihe, Majoranten- und Miniorantenkriterium, Konvergenz der ReiPder harmonischen
1
he ∞
,
Wurzelund
Quotientenkriterium in Ungleichungsform)
2
j=1 j
2.5. Konvergenzkriterien für allgemeine Zahlenreihen (Cauchy-Kriterium, Begriff der absoluten
Konvergenz, Konvergenz absolutkonvergenter Zahlenreihen, Majorantenkriterium, Wurzelund Quotientenkriterium jeweils in Ungleichungsform und in Limesform, Kriterium von
Leibniz einschließlich Fehlerabschätzung)
Praxis: Anwendung dieser Kriterien.
2.6. Umordnung von Zahlenreihen und Produktreihe von Cauchy (Umordnung absolut konvergenter Zahlenreihen, Großer Umordnungssatz, Formulierung des Riemannschen Umordnungssatzes)
Praxis: Berechnung des Cauchy-Produkts absolut konvergenter Zahlenreihen.
2.7. Exponentialreihe und Winkelfunktionen (Definition von ex , cos x und sin x mit Hilfe der
Exponentialreihe, Abschätzungen durch Polynome)
∞
∞
X
X
xj
x2 x3
zj
(z ∈ C), ex =
=1+x+
+
+ · · · (x ∈ R),
Formeln: ez =
j!
j!
2
3!
j=0
j=0
cos x =
∞
X
x2j
x2 x4
(−1)j
=1−
+
∓ ···,
(2j)!
2!
4!
sin x =
∞
X
(−1)j
j=0
j=0
x3 x5
x2j+1
=x−
+
∓ ···,
(2j + 1)!
3!
5!
Exponentialgesetz, Eulersche Formel, Moivresche Formeln, Additionstheoreme für Sinusund Kosinusfunktion.
2
3. Stetige Funktionen und Grenzwerte von Funktionen
3.1. Stetigkeitsbegriff und einfache Konstruktionen stetiger Funktionen (Funktionsbegriff und
Unterschied zwischen komplexen Funktionen, komplexwertigen Funktionen einer reellen Variablen und reellen Funktionen, ε−δ-Definition und Folgenkriterium der Stetigkeit, Rechenoperationen für Funktionen und Stetigkeit von aus stetigen Funktionen zusammengesetzten
Funktionen, Lokalität der Stetigkeit, Stetigkeit von c, x, |x|, ex , sin x, cos x, von Polynomen
und rationalen Funktionen, lokale Positivität)
3.2. Grenzwerte von auf reellen Intervallen definierten Funktionen (ε-Umgebungen und punktierte ε-Umgebungen reeller Zahlen, punktierte ε-Umgebungen von ±∞, innere Punkte,
Randpunkte, offene und abgeschlossene Teilmengen von R, ε − δ-Definitionen, Folgenkriterien und gegebenenfalls Stetigkeitskriterien für verschiedene Varianten von Limites,
Zurückführung auf Grenzwerte im Endlichen, Rechenregeln für Limites von Funktionen,
innere Punkte, Inneres, Randpunkte, Rand einer Menge reeller Zahlen, offene und abgeschlossene Mengen, Singularitäten und speziell hebbare Singularitäten, Sprungstellen und
Polstellen, Charakterisierung von grenzwert und Stetigkeit durch einseitige Grenzwerte)
sin x
1 x
(e − 1) = 1, lim
= 1.
Formeln: lim ex = +∞, lim ex = 0, lim
x→+∞
x→−∞
x→0
x→0 x
x
3.3. Besondere Eigenschaften von stetigen, reellwertigen Funktionen auf Intervallen (Maxima
und Minima von Funktionen, Monotonie und strenge Monotonie von Funktionen, Satz von
der Annahme der Extremwerte,√Nullstellensatz, Zwischenwertsatz, Satz von der stetigen
Umkehrfunktion, Stetigkeit von k x, Definition und Stetigkeit von ln x)
3.4. Eigenschaften von Winkelfunktionen (spezielle Werte, Periodizität, Vorzeichen und Monotonieintervalle von cos x und sin x, Definition und Stetigkeit von arccos x und arcsin x als
Umkehrfunktionen von Winkelfunktionen auf dem jeweils richtigen Intervall, Lösungsmengen der Gleichungen sin x = y, cos x = y, Parametrisierung der komplexen Einheitskreislinie)
Praxis: Lösung der Gleichungen cos x = y und sin x = y.
4. Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer reellen Variablen
4.1. Ableitungsbegriff und Differentationsregeln für Funktionen einer reellen Variablen (geometrische und physikalische Interpretation, Ableitungen von 1/x, exp x, sin x, cos x, Charakterisierung der Ableitung, Ableitungen von 1, x, x2 , Stetigkeit differenzierbarer Funktionen, Linearität der Ableitung, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, Ableitungen von
xn (n ∈ Z), cos x, tan x, cot x, Ableitung der Umkehrfunktion, Ableitungen von ln |x|,
√
k
x (k ∈ N, k ≥ 2))
4.2. Elementare Funktionen und ihre Ableitungen (überwiegend Selbsstudium) (Für diese Funktionen sollte man jeweils Definitionsbereich, Symmetrien wie Periodizität, gerade oder ungerade Funktion, Nullstellen, Positivitäts- und Negativitätsintervalle, Monotonieintervalle, Verhalten (etwa einseitige Limites, Polstellen) an Singulärstellen und Verhalten für
x → ±∞, Menge der Funktionswerte und die Ableitung kennen und eine Vorstellung vom
Verlauf des Graphen haben. Die weniger gebräuchlichen Ableitungen )
a) Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen (Definitionen für ax , loga x, xα ,
Logarithmen-, Exponential- und Potenzgesetze)
b) Winkelfunktionen und Arkusfunktionen (Definition der Arkusfunktionen als Umkehrfunktionen von Winkelfunktionen auf dem jeweils richtigen Intervall, Lösungsmengen
der Gleichungen tan x = y, cot x = y, arccot x = π/2 − arctan x)
c) Hyperbelfunktionen (Definitionen von sinh x, cosh x, tanh x, coth x)
3
d) Areafunktionen (Definition dieser Funktionen als Umkehrfunktionen von Hyperbelfunktionen auf dem jeweils richtigen Intervall, Bestimmung der Areafunktionen durch
Auflösen der Gleichungen sinh y = x, cosh y = x, tanh y = x bzw. coth y = x nach y
mit Hilfe des Logarithmus)
Praxis: Berechnung von Ableitungen elementarer Funktionen durch mehrfache Anwendung
von Differentiationsregeln.
x
Formeln: ax = ex ln a (a > 0), loga x = ln
ln a (a > 0, a 6= 1 und x > 0),
y
ax
x
xy
x+y
x
y
x−y
a
=a a , a
= ay , (a ) = a , (ab)x = ax bx (a, b > 0, x, y ∈ R).,
loga xy = loga x + loga y, loga xy = loga x − loga y, loga xb = b loga x. (a, x, y > 0, a 6= 1 und
b ∈ R), Ableitungen elementarer Funktionen.
Viele dieser Ableitungen kann man sich ebenso wie Formeln für Areafunktionen aus der
Liste der Grundintegrale erschließen.
4.3. Extremalitätskriterien, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Monotoniekriterien und
l’Hospitalsche Regel (Begriffe lokaler und globaler Extrema, notwendiges Extremalitätskriterium, Satz von Rolle, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Differenzierbarkeit an
scheinbaren hebbaren Singulärstellen der Ableitung mit Beispiel exp(−1/x), Stammfunktionen oder unbestimmte Integrale auf Intervallen und deren Eindeutigkeit bis auf additive
Konstanten, Charakterisierung der Monotonie durch Vorzeichen der Ableitung, hinreichende Extremalitätsbedingungen, erweiterter Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Charakterisierung der Lipschitz-Stetigkeit durch Beschränktheit der Ableitung)
Praxis: Anwendung der Kriterien zur Bestimmung maximaler Monotonieintervalle und von
lokalen und globalen Extrema, Anwendung der l’Hospitalschen Regel zur Berechnung unbe0 ∞
, 0 · ∞, ∞ − ∞, (+∞)0 bzw. 1∞ und
stimmter Grenzwerte von Funktionen der Typen ,
0 ∞
von unbestimmten Folgengrenzwerten.
4.4. Das Riemann-Integral (Zerlegung, Feinheitsmaß, Riemannsche Integralsumme, Zerlegungsnullfolge, Riemannsche Integralsummenfolge, Beschränktheit integrierbarer Funktionen, Linearität des Integrals, Ober- und Untersumme von Darboux, Schwankungssumme, Kriterium der Gleichheit von oberem und unterem Integral, Integral von χ[c,d] , Kriterium von Riemann, Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen, Integrierbarkeit von Produkten,
reellen Wurzeln und Beträgen integrierbarer Funktionen, Integrierbarkeit von beschränkten
Funktionen mit endlich vielen Singularitäten, Monotonie des Integrals, Integraldreiecksungleichung, MWS und erweiterter MWS der Integralrechnung, Intervalladditivität, Hauptsatz
der Differential– und Integralrechnung,PNewton-Leibniz-Formel)
Formel: S(Z; f ) = S(Z; f ; ξ1 , . . . ξl ) = lj=1 f (ξj )(xj − xj−1 )
4.5. Uneigentliche Integrale (Konvergenz und bestimmte Divergenz für vier Typen uneigentlicher
Integrale, die höchstens an einem Intervallende uneigentlich sind, Zerlegung von Integralen,
die möglicherweise an mehreren Stellen uneigentlich sind, Linearität, Monotonie, Integraldreiecksungleichung und Konvergenz des Restes gegen Null für konvergente uneigentliche
Integrale, absolute Konvergenz, Konvergenz absolutkonvergenter uneigentlicher Integrale,
Majorantenkriterium, Integralkriterium für die absolute Konvergenz von Reihen)
Praxis: Berechnung einfacher uneigentlicher Integrale, Konvergenzuntersuchungen auf der
Grundlage der Definition des uneigentlichen Integrals oder mit Majorantenkriterium
∞
X
1
< +∞ für reelle Zahlen α > 1
Formel:
α
n
n=1
4
5. Lineare Räume und lineare Abbildungen
5.1. Grundbegriffe und Beispiele zu Vektorräumen
a) Definition des Vektorraumes (Rechenregeln für Summenzeichen, Beispiele: Mm,n (K)
und Spezialfälle Spaltenvktoren Km mit n = 1 oder Zeilenvektoren mit m = 1, Menge
der Abbildungen M → K, punktweise Operationen, Vektorraum der Polynome)
b) Begriff des linearen Unterraumes (von einer Teilmenge erzeugter Unterraum, Für reelle
Intervalle definierte Räume C(I; R), C k (I; R), C ∞ (I; R) und entsprechende Räume
komplexwertiger Funktionen)
c) Lineare Abbildungen und Isomorphismen (Beispiel ϕA : Kn ∋ x → Ax ∈ Km
mit A ∈ Mm,n (K), Raum L (V, W ) aller linearen Abbildungen des linearen Raumes
V in den linearen Raum W und Menge der Abbildungen M → W mit punktweisen
Operationen als lineare Räume)
5.2. Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
a) Grundlegende Definitionen (Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit von n-Tupeln
von Vektoren, Erzeugendensysteme, Charakterisierung der linearen Abhängigkeit)
b) Existenz von Basen (Austauschlemma und Basisergänzungssatz von Steinitz, Existenz
von Basen in endlich erzeugten Vektorräumen und in deren nichttrivialen Unterräumen, Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis)
c) Dimensionssatz für lineare Abbildungen (Kern und Range einer linearen Abbildung als
lineare Räume)
Praxis: Entscheidung über lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit, Erzeugendeneigenschaft, Basiseigenschaft in Räumen niedriger Dimension über R oder C)
5.3. Rang einer Matrix, Gaußscher Algorithmus und Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme
a) Rang einer Matrix und Gaußscher Algorithmus (Minor einer Matrix und dessen Ordnung, elementare Zeilenoperationen und deren Realisierung als Matrizenmultiplikation,
elementare Spaltenoperation, Invarianz des Ranges unter solchen Operationen, Stufenmatrix und spezielle Stufenmatrix, eventuell mit führenden Einsen, Varianten des
Gaußschen Algorithmus und des Gauß-Jordan-Algorithmus)
b) Inverse Matrix (Invertierbarkeit regulärer Matrizen, Gruppe GL(n, K), Berechnung von
A−1 , A−1 B und B A−1 mit Gaußschem Algorithmus, Formel für inverse Matrix)
c) Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme (Lösung von Gleichungen Ax = b mit regulärer (n, n)-Matrix A, Kramersche Regel, Rangkriterium der Lösbarkeit, Dimension und Basis des Lösungsraumes eines homogenen linearen Gleichungssystems, Zusammenhang zwischen Lösungen eines lösbaren linearen Gleichungssystems und den
Lösungen des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems)
t
Dj
1
(Kramersche Regel)
(Aj,k )nj,k=1 , xj =
Formeln: A−1 =
Det(A)
D
Praxis: Anwendung des Gaußschen Algorithmus zur Rangbestimmung, Berechnung von
A−1 , A−1 B und B A−1 , Bestimmung von Basen in Räumen von Zeilen– oder Spaltenvektoren, speziell in Range(ϕA ) und zur Entscheidung über lineare Unabhängigkeit bzw.
lineare Abhängigkeit von Zeilen– oder Spaltenvektoren
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