Schwerpunkte der Vorlesung Mathematik für Maschinenwesen I
Werbung
Schwerpunkte der Vorlesung Mathematik für Maschinenwesen I (Grundlagen der Mathematik - jeweils im WS) Achtung: Kein Anspruch auf Vollständigkeit! 1 1.1 Aufbau der Zahlsysteme Wiederholung N - Natürliche Zahlen (Peanosche Axiome, Prinzip der vollständigen Induktion); Z - Ganze Zahlen; Q - Rationale Zahlen; R - Relle Zahlen; 1.2 Komplexe Zahlen C Real- und Imaginärteil, imaginäre Einheit, konjugiert komplexe Zahl, Betrag, Rechenregeln, Gaußsche Zahlenebene, Darstellung in kartesischen und Polarkoordinaten (goniometrische Form), Argument und Hauptwert, Eulersche Formel, Exponentialform, Moivresche Formeln (n-te Potenz und n-te Wurzel), Polynome über C, Fundamentalsatz der Algebra, Nullstellen und Zerlegung in Linearfaktoren (Vielfachheiten!), konjugiert komplexe Nullstellenpaare bei Polynomen mit rellen Koeffizienten, Hornerschema. 2 2.1 Reelle Funktionen einer reellen Variablen Grundlagen Funktion (Abbildung), Definitions- und Wertebereich, (vollständiges) Urbild, injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrfunktion, Verkettung/Komposition, Beschränktheit, Monotonie, Konvexität/Konkavität, gerade/ungerade Funktionen, periodische Funktionen, spezielle Funktionenklassen: gebrochen rationale Funktionen, Winkel- und Hyperbelfunktionen und deren Umkehrfunktionen, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen (⇒ Potenz- und Logarithmusgesetze). 2.2 Grenzwerte und Stetigkeit Zahlenfolge, Teilfolge, Grenzwert und Konvergenz, Divergenz, bestimmte Divergenz, beschränkte Zahlenfolgen (nach unten und oben), Satz von Bolzano1 Weierstraß, monotone Zahlenfolgen; δ-Umgebung, innerer Punkt, Randpunkt, Häufungspunkt, (links- und rechtsseitiger) Grenzwert bei Funktionen, Rechenregeln für Grenzwerte, Stetigkeit von Funktionen (Stetigkeit elementarer Funktionen), hebbare Unstetigkeitsstellen, Sprungstellen, Unstetigkeiten 2. Art, Existenz von Nullstellen und Zwischenwertsatz, Vererbung“ der Stetigkeit, Maximum und Minimum, ” Satz von Weierstraß. 2.3 Differentialrechnung für f : R → R Differenzenquotient, Differentialquotient, (rechts- und linksseitige) Differenzierbarkeit, stetige Diff.-barkeit, Differentiationsregeln, Ableitung der Umkehrfunktion, logarithmisches Differenzieren, Ableitung der Grundfunktionen, höhere Ableitungen, lineare Approximation an einer Stelle (Tangente an den Graphen), Fehlerrechnung (-fortpflanzung, absoluter/relativer Fehler), (verallgemeinerter) Mittelwertsatz der Diff.-rechnung, Regel von Bernoullil’Hospital, Taylorscher Satz, Taylorpolynom, Restglied in Lagrange-Form, Charakterisierung von Monotonie und Konvexität mittels Ableitungen, lokale und globale Extrema, notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema. 2.4 Fixpunkte und Nullstellen Intervallhalbierungsverfahren, Definition Fixpunkt, Banachscher Fixpunktsatz und Fixpunktverfahren, Newtonverfahren und dessen Konvergenzeigenschaften, 3 3.1 Integralrechnung für reelle Funktionen einer rellen Veränderlichen Unbestimmtes Integral Definition unbestimmtes Integral/Stammfunktion, Stammfunktion (einiger) elementarer Funktionen, Linearität, Substitutionsregeln, partielle Integration, Partialbruchzerlegung und Integration (gebrochen) rationaler Funktionen. 2 3.2 Bestimmtes Integral Riemannsummen, Riemannsches Integral, Integrierbarkeit (stückweise) stetiger Funktionen, Rechenregeln, 1. + 2. Hauptsatz der Integralrechnung, Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern, Parameterabhängige Integrale un deren Differentiation, Leibniz-Regel. 3.3 Uneigentliche Integrale Begriff uneigentliches Integral, Bedingungen für Konvergenz, Majoranten/Minorantenkriterium, absolute Konvergenz 3.4 Interpolation und numerische Integration Grundaufgabe der Interpolation, Polynominterpolation, Lagangesche und Newtonsche Form, stückweise Interpolation, Splineinterpolation. Idee zur Gewinnung von Quadraturformeln, (zusammengesetzte) Trapezund Simpsonregel, Fehleranalyse. 4 4.1 Lineare Algebra Lineare Vektorräume (VR) Definition VR, Nullvektor, Linearkombination, lineare Unabhängigkeit, Dimension und Basis eines VR, Koordinatendarstellung eines Vektors, Unterraum, Euklidischer Raum und Skalarprodukt, der Rn als Euklidischer Raum mit Standardskalarprodukt, Betrag eines Vektors und Winkel zwischen zwei Vektoren, Orthogonalität, Orthogonales Komplement. 4.2 Matrizen Definition, Rechenregeln, Begriffe: quadratische, transponierte, symmetrische, adjungierte, selbstadjungierte M., Nullmatrix, Einheitsmatrix, Kroneckersymbol, Hauptdiagonale, obere/untere Dreiecksmatrix, inverse Matrix, Zeilen/Spalten-)Rang einer Matrix, Vollrangmatrix, Transformationen mit Rangerhaltung. 3 4.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS) homogene und inhomogene LGS, Gaußscher Algorithmus, Eliminationsschritt und (Matrix-)Produktdarstellung, Rückrechnung, Spaltenpivotisierung, LUFaktorisierung, Lösbarkeitskriterien, Lösungsmengen homogener und inhomogener LGS. 4.4 Determinanten Definition, Eigenschaften, Entwicklungssatz, Multiplikationssatz, Adjunkte, Unterdeterminanten. 4.5 Eigenwerte (EW) und Eigenvektoren (EV) Begriffsdefinitionen, charakteristische(s) Gleichung(Polynom), algebraische und geometrische Vielfachheit eines EW, lineare Unabhängigkeit von EV, Ähnlichkeitstransformation von Matrizen, EW für Dreiecksmatrizen und andere Spezialfälle, EW fı̈ur symmetrische reelle Matrizen, EV-Basen, Diagonalisierung, quadratische Formen und Hauptachsentransformationen. Schwerpunkte der Vorlesung Mathematik für Maschinenwesen II (Ingenieurmathematik - jeweils im SS Achtung: Kein Anspruch auf Vollständigkeit! 4 Lineare Algebra - Fortsetzung 4.6 Lineare Abbildungen Definition, Darstellungsmatrizen, Komposition, Kern einer lin. Abb. (∼ einer Matrix), Bild und Rang von ∼, Dimensionssatz, Basiswechseltransformationen, Sonderthema: Orthonormalsysteme und Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren 4 4.7 Analytische Geometrie des Raumes (Ebene) bzw. des R3 (R2 ) Skalarprodukt - Länge und Winkel, Vektorprodukt, Spatprodukt, Grundaufgaben der analyt. Geometrie zu Geraden/Ebenen 5 5.1 Gewöhnliche Differenzialgleichungen (GDGL) Einführung und Grundbegriffe Definition und Klassifikation, AWA und RWA, Richtungsfeld, 5.2 GDGL 1. Ordnung Existenz, Eindeutigkeit, Trennung der Veränderl., lineare GDGL 1. Ordng., Bernoulli-GDGL; Konzepte zur Ordnungsreduktion 5.3 Lin. GDGL, bes. mit konst. Koeffiz. homogene/inhomogene GDGL, charakteristisches Polynom, Fundamentalsystem der homogenen GDGL, Variation der Konstanten, Ansatzmethode, Ergänzung: Aussagen zu allg. linearen GDGL, Trafo auf DGL-System 1. Ordnung 5.4 Lin. GDGL-Systeme 1. Ordnung Grundbegriffe: Existenz, homogen/inhomogen, Wronski-Test, Fundamentalsysteme für Systeme mit konstanten Koeff. (bes. Eigenvektorfall), 5.5 Numerische Integration von AWA Schwerpunkt: Einschrittverfahren - Grundprinzipien, explizite und implizite Verfahren (explizit/implizit Euler, Verf. von Heun, lokaler/globaler Diskretisierungsfehler, Konsistenzordnung, Runge-Kutta-Verfahren, Ergänzung: steife DGL, adaptive Verfahren, Mehrschrittverfahren 5.6 Dynamische Systeme Begriffe: dynamisches System, Phasenraum, autonomes System: Gleichgewicht, Erhaltungsgrößen, Stabilität, Bsp.: Lotka-Volterra-Modell, Stabilität linearer Systeme, Aussagen zur Stabilität nichtlinearer Systeme 5 5.7 RWA bei GDGL Beispiele zu Existenz und Eindeutigkeit von Lsg., Eigenwertprobleme(!) bei RWA, Grundkonzept zur numerischen Berechnung 6 6.1 Mehrdimensionale Differenzialrechnung Einführung und Grundbegriffe Abstand, innere Punkte und offene Menge, Häufungspunkte und abgeschlossene Mengen, kompakte und konvexe Mengen, Polygonzug, Konvergenz von Punktfolgen im Raum, verschieden Normen 6.2 Raumkurven (ebene Kurven) (glatte) Raumkurven, Parameterdarstellung, singuläre Punkte, Bogenlänge und Tangentenvektor, Haupt- und Binormalenvektor, Krümmung und Torsion, Berechnungen, Darstellungsmöglichkeiten und Elemente ebener Kurven 6.3 Funktionen mit mehrdimensionalem DB Stetigkeit von Funktionen, Differenzierbarkeit: partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, stetige partielle Differenzierbarkeit, Differentiationsregeln, Gradient, Jacobian, Richtungsableitung (bes. bei Differenzierbarkeit), partielle Ableitungen höherer Ordnung, Hessian, Satz v. Schwarz 6.4 Anwendungen Totales Differential, Mittelwertsatz, Tangentialhyperebene an den Graph einer Fkt., Taylorpolynom und Taylorscher Satz, Niveaumenge und Satz über die implizite Funktion 6.5 Mehrdimensionale Optimierung Infimum/Supremum, Minimum/Maximum, Satz v. Weierstraß, lokale/globale Extrema, Unrestringierte Optimierung: notwendige und hinreichende Bedingungen, Optimierung mit NB: Gleichungs- und Ungleichunsbedingungen, Lagrangefunktion, notwendige Optimalitätsbedingungen (bes.: Lagrangesche Multiplikatorenregel für Gleichungs-NB), hinreichende Bedingungen 6 6.6 Ingenieuranwendungen Numerische Lösung von Gleichungssystemen: Fixpunktverfahren, speziell Jacobiund Gauss-Seidel-Verfahren, (mehrdimensionales) Newtonverfahren; MkQ 7
