Inhalt der Vorlesung Mathematik 1 in den Fakultäten

Inhalt der Vorlesung Mathematik 1 in den Fakultäten
Fahrzeugtechnik und Maschinenbau (6 SWS)
I.
Vektorrechnung
1) Addition, Subtraktion, S-Multiplikation geometrisch und im kartesischen
Koordinatensystem
2) Skalar-, Vektor-, Spatprodukt
3) Komponentenzerlegung
4) Anwendungen: Darstellung von Geraden und Ebenen
II.
Lineare Algebra
1) Matrizenrechnung: Addition, Subtraktion, Multiplikation, lineare Abbildungen
2) Inverse Matrizen (Grundlagen, Berechnungen nur 2. Ordnung)
3) Determinanten (Entwicklungssatz)
4) Gleichungssysteme: Cramer-Regel, Gauß-Algorithmus,
Allgemeine Lösbarkeitskriterien, Gleichungssysteme mit Parametern
III. Differenzialrechnung einer reellen Veränderlichen
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Grundlagen: Reelle Zahlen, Bezeichnungen, Anordnungen, Intervalle, Potenzen, Wurzeln, Ungleichungen, Beträge
Funktion einer reellen Veränderlichen: Funktionsbegriff, Darstellung von Funktionen, elementare Eigenschaften (Symmetrie, Monotonie, Umkehrfunktion)
Grenzwert und Stetigkeit: Grenzwerte von Zahlenfolgen, Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen
Differenzierbarkeit: Ableitungsbegriff (Tangentensteigung, Momentangeschwindigkeit), Beispiele und Grundformeln, Differenzial, höhere Ableitung
Ableitungsregeln: Produkt-, Quotienten-, Kettenregel
Implizite Differenziation (nicht prüfungsrelevant)
Geometrische Deutung von f’(x) und f’’(x): lokale Extrema und Wendepunkte
Untersuchung unterschiedlicher Funktionstypen (auch: Kegelschnitte, Partialbruchzerlegung)
Anwendungen der Differenzialrechnung:
Newtonverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
Extremwertaufgaben
Grenzwerte unbestimmter Ausdrücke (Regel von Bernoulli-l’Hospital)
IV. Integralrechnung
1) Begriff des Integrals: Stammfunktion, unbestimmtes Integral, Hauptsatz der
Differenzial- und Integralrechnung, bestimmtes Integral als Grenzwert einer
Summe; elementare Integrationsregeln
2) Integrationsverfahren:
Integration durch lineare Substitution
Integration gebrochen rationaler Funktionen
uneigentliche Integrale
numerische Integration (Trapezregel)
3) Anwendungen der Integralrechnung: Integral als Grenzwert von Summen am
Beispiel von:
Flächenberechnung, Volumen von Rotationskörpern
4) Benutzung von Integraltabellen