Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . Mengen .............................................................. Natürliche Zahlen .................................................. Reelle Zahlen ....................................................... Gleichungen und Ungleichungen ................................ Lineare Gleichungssysteme ....................................... Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen und Gleichungssystemen 1 3 5 13 19 26 36 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren im IR2 .................................................... Vektoren im IR3 .................................................... Geraden und Ebenen im IR3 ..................................... Vektorräume ........................................................ Aufgaben zur Vektorrechnung ................................... 39 42 50 61 76 92 3 3.1 3.2 3.3 3.4 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Matrizen ............................................................. 99 Determinanten...................................................... 114 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen .................. 124 Aufgaben zu Matrizen und Determinanten ................... 135 4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Funktionseigenschaften............................. Polynome ............................................................ Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare ... Koeffizientenvergleich ............................................. Teilbarkeit durch einen Linearfaktor ............................ Nullstellenproblem ................................................. Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus ..... Rationale Funktionen ............................................. Potenz- und Wurzelfunktionen .................................. Exponential- und Logarithmusfunktion ........................ Trigonometrische Funktionen .................................... Arkusfunktionen.................................................... Aufgaben zu elementaren Funktionen.......................... 137 139 152 153 154 155 156 159 162 167 170 175 182 188 5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung komplexer Zahlen ................................... Komplexe Rechenoperationen ................................... Addition ............................................................. Subtraktion ......................................................... Multiplikation ....................................................... Division .............................................................. Potenz ............................................................... 191 194 200 200 200 201 203 205 xii Inhaltsverzeichnis 5.2.6 5.2.7 5.3 5.4 Wurzeln .............................................................. Fundamentalsatz der Algebra.................................... Anwendungen....................................................... Aufgaben zu komplexen Zahlen ................................. 206 207 209 219 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reelle Zahlenfolgen ................................................ Funktionsgrenzwert ................................................ Stetigkeit einer Funktion ......................................... Intervallhalbierungs-Methode .................................... Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit ........................ 221 223 229 235 237 240 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 7.2.9 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung .......................................................... Rechenregeln bei der Differenziation ........................... Faktorregel .......................................................... Summenregel ....................................................... Produktregel ........................................................ Quotientenregel .................................................... Kettenregel.......................................................... Begründung der Formeln 7.2.1 - 7.2.5 ......................... Ableitung der Umkehrfunktion .................................. Logarithmische Differenziation .................................. Implizite Differenziation .......................................... Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik ............... Differenzial einer Funktion ....................................... Anwendungen in der Mathematik .............................. Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) ............... Sätze der Differenzialrechnung .................................. Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers ............. Newton-Verfahren ................................................. Aufgaben zur Differenzialrechnung ............................. 241 243 249 249 249 250 251 252 254 255 258 260 262 265 270 277 281 287 289 293 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.5 8.6 8.7 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Riemann-Integral ............................................. Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung... Grundlegende Regeln der Integralrechnung ................... Integrationsmethoden ............................................. Partielle Integration ............................................... Integration durch Substitution .................................. Partialbruchzerlegung ............................................. Uneigentliche Integrale............................................ Anwendungen der Integralrechnung ............................ Aufgaben zur Integralrechnung.................................. 295 297 302 311 313 313 315 321 327 329 339 Inhaltsverzeichnis xiii 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zahlenreihen ........................................................ Potenzreihen ........................................................ Taylor-Reihen ....................................................... Anwendungen....................................................... Komplexwertige Funktionen ..................................... Aufgaben zu Funktionenreihen .................................. 341 344 355 361 371 376 385 10 Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen mit mehreren Variablen ............................ Stetigkeit ............................................................ Differenzialrechnung............................................... Partielle Ableitung ................................................. Totale Differenzierbarkeit......................................... Gradient und Richtungsableitung ............................... Der Taylorsche Satz ............................................... Anwendungen der Differenzialrechnung ....................... Das Differenzial als lineare Näherung .......................... Fehlerrechnung ..................................................... Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen ... Ausgleichen von Messfehlern; Regressionsgerade ............ Aufgaben zur Differenzialrechnung ............................. 387 389 398 400 400 408 410 416 423 423 428 432 439 446 11.1 11.2 11.3 Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doppelintegrale (Gebietsintegrale) ............................. Dreifachintegrale ................................................... Aufgaben zur Integralrechnung.................................. 449 451 464 471 12 12.1 12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4 12.1.5 12.1.6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzialgleichungen erster Ordnung........................ Einleitende Problemstellungen................................... Lösen der homogenen Differenzialgleichung .................. Lösen der inhomogene Differenzialgleichung ................. Lineare Differenzialgleichungen mit konstantem Koeffizient Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung ............ Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung....................... 473 476 476 480 482 490 494 497 12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.2.4 Lineare Differenzialgleichungssysteme.......................... Einführung .......................................................... Homogene lineare Differenzialgleichungssysteme ............ Eigenwerte und Eigenvektoren .................................. Lösen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten 501 501 504 508 513 10.1 10.2 10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3 10.4.4 10.5 11 xiv Inhaltsverzeichnis 12.3 12.3.1 12.3.2 12.3.3 12.3.4 12.4 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung .............. Einleitende Beispiele............................................... Reduktion einer linearen DG n-ter Ordnung auf ein System Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten .... Inhomogene DG n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten . Aufgaben zu Differenzialgleichungen ........................... 523 523 526 531 541 555 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Laplace-Transformation...................................... Inverse Laplace-Transformation ................................. Zwei grundlegende Eigenschaften............................... Methoden der Rücktransformation ............................. Anwendungen der Laplace-Transformation ................... Aufgaben zur Laplace-Transformation ......................... 559 563 568 569 574 577 581 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung .......................................................... Bestimmung der Fourier-Koeffizienten......................... Fourier-Reihen für 2π -periodische Funktionen ............... Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen ................. Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen .............. Aufgaben zu Fourier-Reihen ..................................... 583 585 587 590 597 605 610 15 15.1 15.2 15.3 15.4 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Transformation und Beispiele .......................... Eigenschaften der Fourier-Transformation .................... Fourier-Transformation der Deltafunktion..................... Aufgaben zur Fourier-Transformation.......................... 611 613 623 637 645 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
