Mathematik für Ingenieure

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Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . .
Mengen.............................................................
Natürliche Zahlen ................................................
Reelle Zahlen......................................................
Gleichungen und Ungleichungen...............................
Lineare Gleichungssysteme .....................................
Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen, Gleichungssystemen ..
1
3
5
13
19
26
36
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoren im IR2 ..................................................
Vektoren im IR3 ..................................................
Geraden und Ebenen im IR3 ...................................
Vektorräume.......................................................
Aufgaben zur Vektorrechnung .................................
39
42
50
61
76
92
3
3.1
3.2
3.3
3.4
Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Matrizen ........................................................... 99
Determinanten .................................................... 114
Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen ................ 124
Aufgaben zu Matrizen und Determinanten ................. 135
4
4.1
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Funktionseigenschaften ...........................
Polynome ..........................................................
Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare .
Koeffizientenvergleich ...........................................
Teilbarkeit durch einen Linearfaktor ..........................
Nullstellenproblem................................................
Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus ...
Rationale Funktionen ............................................
Potenz- und Wurzelfunktionen ................................
Exponential- und Logarithmusfunktion ......................
Trigonometrische Funktionen ..................................
Arkusfunktionen ..................................................
Aufgaben zu elementaren Funktionen ........................
137
139
152
153
154
155
156
159
162
167
170
175
182
188
5
5.1
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung komplexer Zahlen .................................
Komplexe Rechenoperationen..................................
Addition ............................................................
Subtraktion ........................................................
Multiplikation .....................................................
Division.............................................................
Potenz ..............................................................
191
194
200
200
200
201
203
205
xii
Inhaltsverzeichnis
5.2.6
5.2.7
5.3
5.4
Wurzeln ............................................................
Fundamentalsatz der Algebra ..................................
Anwendungen .....................................................
Aufgaben zu komplexen Zahlen ...............................
206
207
209
219
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Zahlenfolgen ..............................................
Funktionsgrenzwert ..............................................
Stetigkeit einer Funktion........................................
Intervallhalbierungs-Methode ..................................
Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit.......................
221
223
229
235
237
240
7
7.1
7.2
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.2.6
7.2.7
7.2.8
7.2.9
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung .........................................................
Rechenregeln bei der Differenziation .........................
Faktorregel.........................................................
Summenregel ......................................................
Produktregel ......................................................
Quotientenregel...................................................
Kettenregel ........................................................
Begründung der Formeln 7.2.1 - 7.2.5 .......................
Ableitung der Umkehrfunktion.................................
Logarithmische Differenziation ................................
Implizite Differenziation.........................................
Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik..............
Differenzial einer Funktion .....................................
Anwendungen in der Mathematik .............................
Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) .............
Sätze der Differenzialrechnung ................................
Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers............
Newton-Verfahren ................................................
Aufgaben zur Differenzialrechnung ...........................
241
243
249
249
249
250
251
252
254
255
258
260
262
265
270
277
281
287
289
293
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.5
8.6
8.7
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Riemann-Integral ...........................................
Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung .
Grundlegende Regeln der Integralrechnung .................
Integrationsmethoden ...........................................
Partielle Integration ..............................................
Integration durch Substitution.................................
Partialbruchzerlegung............................................
Uneigentliche Integrale ..........................................
Anwendungen der Integralrechnung ..........................
Aufgaben zur Integralrechnung ................................
295
297
302
311
313
313
315
321
327
329
339
Inhaltsverzeichnis
xiii
9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlenreihen.......................................................
Potenzreihen ......................................................
Taylor-Reihen .....................................................
Anwendungen .....................................................
Komplexwertige Funktionen....................................
Aufgaben zu Funktionenreihen ................................
341
344
355
361
371
377
386
10
Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen mit mehreren Variablen ..........................
Stetigkeit...........................................................
Differenzialrechnung .............................................
Partielle Ableitung ...............................................
Totale Differenzierbarkeit .......................................
Gradient und Richtungsableitung .............................
Der Taylorsche Satz .............................................
Anwendungen der Differenzialrechnung ......................
Das Differenzial als lineare Näherung ........................
Fehlerrechnung....................................................
Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen .
Ausgleichen von Messfehlern; Regressionsgerade ..........
Aufgaben zur Differenzialrechnung ...........................
389
391
399
401
401
409
411
417
424
424
429
433
441
448
11.1
11.2
11.3
Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doppelintegrale (Gebietsintegrale) ............................
Dreifachintegrale .................................................
Aufgaben zur Integralrechnung ................................
451
453
466
473
12
12.1
12.1.1
12.1.2
12.1.3
12.1.4
12.1.5
12.1.6
Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzialgleichungen erster Ordnung ......................
Einleitende Problemstellungen .................................
Lösen der homogenen Differenzialgleichung ................
Lösen der inhomogene Differenzialgleichung ................
Lineare DG mit konstantem Koeffizient .....................
Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung ...........
Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung .....................
475
478
478
482
484
492
496
499
12.2
12.2.1
12.2.2
12.2.3
12.2.4
Lineare Differenzialgleichungssysteme ........................
Einführung .........................................................
Homogene lineare Differenzialgleichungssysteme...........
Eigenwerte und Eigenvektoren .................................
Lösen homogener LDGS mit konstanten Koeffizienten ...
503
503
506
510
515
10.1
10.2
10.3
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.3.4
10.4
10.4.1
10.4.2
10.4.3
10.4.4
10.5
11
xiv
Inhaltsverzeichnis
12.3
12.3.1
12.3.2
12.3.3
12.3.4
12.4
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung.............
Einleitende Beispiele .............................................
Reduktion linearer DG n-ter Ordnung auf ein System ....
Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten ..
Inhomogene DG n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten
Aufgaben zu Differenzialgleichungen .........................
525
525
528
533
543
557
13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Laplace-Transformation ....................................
Inverse Laplace-Transformation ...............................
Zwei grundlegende Eigenschaften .............................
Methoden der Rücktransformation ...........................
Anwendungen der Laplace-Transformation ..................
Aufgaben zur Laplace-Transformation .......................
561
565
570
571
576
579
583
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung .........................................................
Bestimmung der Fourier-Koeffizienten .......................
Fourier-Reihen für 2π -periodische Funktionen..............
Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen ...............
Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen.............
Zusammenstellung elementarer Fourier-Reihen.............
Aufgaben zu Fourier-Reihen....................................
585
587
589
592
599
607
612
614
15
15.1
15.2
15.3
15.4
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourier-Transformation und Beispiele ........................
Eigenschaften der Fourier-Transformation...................
Fourier-Transformation der Deltafunktion ...................
Aufgaben zur Fourier-Transformation ........................
615
617
627
641
649
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung .........................................................
Die Wellengleichung .............................................
Die Wärmeleitungsgleichung ...................................
Die Laplace-Gleichung...........................................
Aufgaben zu partiellen Differenzialgleichungen.............
651
653
655
665
675
684
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
Zusätzliche Kapitel, Abschnitte, Ergänzungen, alle Animationen sowie die Lösungen zu den Aufgaben befinden sich auf der Homepage
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