Anfängerpraktikum 4 Bericht: Adiabatenexponent Freiheitsgrade

Anfängerpraktikum 4
Bericht:
Adiabatenexponent
Freiheitsgrade
Michael Seidling
Timo Raab
Sommersemester
10. Juni 2013
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Grundlagen
2.1 1.Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . .
2.2 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 S. D. Poisson-Gleichungen . . . . . . . . . .
2.7 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Zustandssumme . . . . . . . . . . . . .
2.8 Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . .
2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten . . .
2.9.1 Nach Rüchardt und Flammersfeld
2.9.2 Nach Clément und Desormes . . .
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3
3
3
3
5
5
6
8
8
9
9
11
11
13
3 Versuch: Freiheitsgrade
14
3.1 Aufbau & Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Versuch: Adiabatenexponent
4.1 Aufbau & Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Versuch nach Rüchardt und Flammersfeld . .
4.2.2 Versuch nach Clément und Desormes . . . . . .
4.2.3 Vergleich mit Literaturwerten und Fehlerdiskussion
5 Fragen & Aufgaben
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20
20
21
21
22
23
24
6 Anhang
25
Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
2 GRUNDLAGEN
1 Einleitung
Die Versuche Freiheitsgrade“ und Adiabatenexponent“ sind aus dem Teilgebiet der
”
”
Thermodynamik. Sie beschäftigen sich mit den Eigenschaften von Gasen bei verschiedenen Temperaturen bzw. von verschiedenen Gasen bei der adiabatischen Expansion.
2 Grundlagen
2.1 1.Hauptsatz der Thermodynamik
Die Energie E eines Körpers, lässt sich nur durch Zuführen bzw. Abführen von Wärme
δQ oder Verrichten von Arbeit δW ändern:
dE = δQ + δW
(1)
Dies beschreibt die Energieerhaltung.
2.2 Ideale Gase
In der Thermodynamik wird ein Gas durch verschiedene Zustandsgrößen beschrieben.
Diese Zustandsgrößen sind beispielsweise:
• Druck p
• Volumen V
• Temperatur T
• Stoffmenge n
Für ideale Gase gilt die Zustandsgleichung, die meist als Ideales Gasgesetz bezeichnet
wird:
pV = nRT
(2)
wobei R ≈ 8,314 molJ K , aus [Anf13], die universelle Gaskonstante ist. Näherungsweise
kann man sagen, das dieses Gesetz für alle Gase gilt, wenn man sich in Temperaturgebieten weit über dem 2-Phasen-Mischgebiet, also über der Sidetemperatur bewegt.
2.3 Zustandsänderungen
Natürlich kann sich jede Zustandsgröße ändern, besonders einfach zu beschreiben sind
aber Zustandsänderungen, bei denen die Stoffmenge n und des weiteren eine andere
Zustandsgröße konstant bleibt:
3
2.3 Zustandsänderungen
2 GRUNDLAGEN
Isotherme Prozesse sind Prozesse bei denen die Temperatur T konstant bleibt. Aus dem
Idealen Gasgesetz (2) folgt dann:
pV = const.
(3)
Isochore Prozesse sind Prozesse bei denen das Volumen V konstant bleibt. Man kann
das ideale Gasgesetz wieder umformulieren zu:
p
= const.
T
(4)
Isobare Prozesse sind Prozesse bei denen der Druck p konstant bleibt. Dementsprechend
gilt:
V
= const.
T
(5)
Adiabatische Prozesse sind Prozesse bei denen kein Wärmeaustausch ermöglicht ist,
also δQ = T dS = 0. Das heißt die reversibel ausgetauschte Wärmemenge δQ ist
das Produkt von Temperatur T und der Entropieänderung dS. Somit folgt aus
δQ = 0 dass auch dS = 0 sein muss, weshalb man den Prozess auch isentrop
nennen kann. S. D. Poisson erkannte, dass in diesem Fall
pV κ = const.
(6)
gilt, wobei κ der Adiabatenexponent ist.
In Abbildung 1 ist der Verlauf der einzelnen Prozesse dargestellt. Zur besseren Anschauung des Verlaufs einer Adiabaten wurden zwei in Abbildung 1(d) eingezeichnet. Zum
einen ein Wert von κ = 1 (rot), was einer Isothermen entspricht, zum andern ein Wert
von κ = 35 (schwarz).
(a) Isotherme
(b) Isochore
(c) Isobare
(d) Adiabaten
Abbildung 1: pV -Diagramme der Zustandsänderungen
In der Natur treten adiabatische Vorgänge meist dann auf, wenn diese sehr schnell, im
Vergleich zur Wärmeleitung, ablaufen. Dies ist beispielsweise bei dem atmosphärischem
Temperaturgradient der Fall. Hier ist entscheidend, dass der Temperaturgradient von
der Luftfeuchtigkeit abhängt:
4
2.4 Freiheitsgrade
2 GRUNDLAGEN
Trockenadiabatisch ist der Fall, wenn keine Aggregatzustandsänderung beim Sinken
bzw. Aufsteigen der Luft eintritt. Näherungsweise rechnet man mit einer Tempe1 K
.
raturänderung von ± 100
m
Feuchtadiabatisch liegt dann vor, wenn es zu einer Kondensation von Wasserdampf
kommt. Dadurch wird Kondensationswärme frei, welchen den trockenadiabatischen
Temperaturgradient senkt. somit ist der feuchtadiabatische Temperaturgradient
immer kleiner als der trockenadiabatische.
2.4 Freiheitsgrade
In der Thermodynamik sind Freiheitsgrade die möglichen Bewegungsrichtungen eines
Teilchens, auf die die Energie gleichmäßig verteilt ist. Dies sind im Normalfall drei Freiheitsgrade der Translation, zudem können bis zu drei Rotationsfreiheitsgrade und etliche Schwingungsfreiheitsgrade hinzukommen. Dies hängt von der Beschaffenheit des
Teilchens ab. Zudem kann es sein, dass einige Freiheitsgerade erst ab einer Gewissen
äußeren Anregung (Temperatur) eine Rolle spielen. Bei Schwingungen ist zudem zu beachten, dass diese Kinetische Energie und Spannungsenergie“ benötigt, daher kann eine
”
Schwingung bis zu zwei Freiheitsgrade beitragen. Beispiele sind in Tabelle 2.4 zu finden.
Stoff
Argon Ar
Stickstoff N2
Kohlenstoffdioxid CO2
Translation
3
3
3
Freiheitsgrade
Rotation Schwingung
2
2
≈ 1,8571
Summe
3
5
≈ 6,857
Tabelle 1: Freiheitsgrade verschiedener Gase
Die Gesamtenergie E des idealen Gases lässt sich so beschreiben mit:
E=
f
nRT
2
(7)
wobei f die Summe der Freiheitsgrade ist
2.5 Wärmekapazität
Will man ein Gas von der kalten Temperatur T1 auf eine wärmere Temperatur T2
erwärmen, so kann man dies beispielsweise isobar, aber auch isotherm bewerkstelligen.
Mögliche Versuchsaufbauten sind in Abbildung 2 skizziert. Man erkennt daraus schon
deutlich, dass bei isobarem Erhitzen mehr Energie aufgebracht werden muss als bei
isochorem Erhitzen, da zusätzlich noch Volumenarbeit verrichtet wird.
1
Erklärung folgt im Abschnitt 2.7.1
5
2.6
2 GRUNDLAGEN
S. D. Poisson-Gleichungen
Abbildung 2: Versuchskizzen für das Erhitzen von Gas
Man definiert also die spezifische molare Wärmekapazität als pro Stoffmenge aufgenommene Energie bei der Erwärmung:
1 ∂E(T, x, n)
(8)
cx =
n
∂T
x
Dabei ist x die Größe die konstant gehalten wird. In unserem Beispiel, mit einem idealen
Gas, erhalten wir mit Gleichung (7):
1 ∂E(T, V, n)
(2) f R
cv =
(9)
=
n
∂T
2
V
1 ∂H(T, p, n)
1 ∂(E(T, V, n) + pV )
(2) f R
cp =
=
=
+R
(10)
n
∂T
n
∂T
2
p
p
dabei ist H(T, p, n) die freie Enthalpie. Man sieht das gilt:
cp − cv = R
(11)
2.6 S. D. Poisson-Gleichungen
Wie bereits erwähnt gilt bei Adiabatischen Zustandsänderungen:
pV κ = const.
(12)
S. D. Poisson hat weitere Formulierungen gefunden:
T V κ−1 = const.
p1−κ T κ = const
(13)
(14)
Diese kann man aber mittels des Idealen Gasgesetzes (2) ineinander Umformen. Nach
dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt:
dE = T dS − pdV
6
(15)
2.6
2 GRUNDLAGEN
S. D. Poisson-Gleichungen
Da wir Adiabaten betrachten gilt T dS = δQ = 0. Wir können aber auch die Innere
Energie schreiben als:
dE =
f nR
dT = cv ndT
2
(16)
Setzen wir diese beiden Gleichungen gleich, erhalten wir:
cv ndT = −pdV
nRT
dV
cv ndT = −
V
cv
R
dT = − dV
T
V
(17)
(18)
(19)
Integrieren liefert:
cv ln T + const. = −R ln V + const.
ln(T cv · V R ) = const.
T cv · V cp −cv = const.
cp
−1
cv
T ·V
(20)
(21)
(22)
= const.
(23)
Damit muss gelten:
cp
κ=
=
cv
fR
2
+R
fR
2
=
f +2
f
(24)
Somit haben wir einen Zusammenhang wischen den Wärmekapazitäten den Freiheitsgeraden und dem Adiabatenkoeffizient bei einem Idealen Gas gefunden und eine der S.
D. Poisson-Gleichungen hergeleitet. Mit der Idealen Gasgleichung (2) erhalten wir den
Zusammenhang:
T =
pV
nR
(25)
Dies setzten wir in Gleichung (23) ein und bedenken, dass n und R konstant sind:
pV
V
nR
cp
−1
cv
= const.
(26)
pV κ = const.
(27)
Wir können die Ideale Gasgleichung (2) auch benutzen um V zu ersetzen:
(23)
nRT kappa−1
T
= const.
p
(28)
1 κ−1
= T κ p1−κ = const.
p
(29)
V = nRT
p
=
Tκ
7
2.7 Harmonischer Oszillator
2 GRUNDLAGEN
2.7 Harmonischer Oszillator
In vielen Fällen in der Physik hat man mit Schwingungen zu tun. Ein einfacher Fall ist
der Harmonische Oszillator. Auf den Oszillator der Masse m wirkt ausschließlich eine
Rückstellkraft Fr die porportional zur Auslenkung x ist, also der Form Fr = kx, man
erhält die Differentialgleichung:
mẍ(t) = −kx(t)
k
ẍ(t) + x(t) = 0
m
(30)
x(t) = A sin(ω0 t) + B cos(ω0 t)
(32)
(31)
Diese lässt sich lösen mit:
q
k
wobei A,B von den Anfangsbedingungen abhängen und ω0 = m
die Eigenfrequenz des
Oszillators ist.
Da ungedämpfte Schwingungen im Labor schwer realisierbar sind, nutzt man oft eine
Treibende Kraft um den Verlust der Energie auszugleichen. Dazu wirkt eine periodische
Kraft auf den Oszillator ein, sodass die Energie, die er durch Reibung verliert wieder
zugeführt bekommt.
2.7.1 Zustandssumme
Wenn wir sagen, dass die Energie En , die der Harmonische Oszillator, mit der Frequenz
ω0 , annehmen kann gequantelt“ ist, also die Zustände abzählbar sind, gilt für die Ener”
gie:
1
En = ~ω0 (n + )
2
Für die Zustandssumme erhalten wir:
X − En
Z=
e kB T
(33)
(34)
n
=e
~ω0
BT
− 2k
X
e
~ω0 n
BT
−k
(35)
n
~ω0
BT
− 2k
=
e
~ω0
BT
−k
1−e
=
1
2 sinh( 2k~ωB0T )
(36)
(37)
Dabei ist kB = 1, 38·10−23 KJ die Boltzmann-Konstante und dem reduzierten Planck’schemh
Wirkungsquantum ~ = 2π
mit h = 6, 624·10−34 J s als Planck’sches-Wirkungsquantum.
8
2.8 Schallausbreitung
2 GRUNDLAGEN
Man erhält die Freie Energie:
F = −kB T ln Z
(38)
= kB T ln 2 sinh
kB T
~ω0
(39)
Für T → 0 erhält man f → ~ω2 0 , was die Grundzustandsenergie des harmonischen
Oszillators ist.
Man hat hier nun einen Zusammenhang der Energie des Schwingers mit der Temperatur
gefunden, wodurch man bestimmen kann, wie stark eine Schwingung angeregt ist. Dies
ist zum Bestimmen der Freiheitsgraden in Molekülen bei bestimmten Temperaturen
notwendig.
2.8 Schallausbreitung
Die Ausbreitung von Schall in Gas ist eine schnelle Abfolge von Kompressionen und
Expansionen, die so schnell ablaufen, dass ein Wärmeaustausch näherungsweise nicht
eintritt. Somit handelt es sich um Adiabatische Zustandsänderungen. Im Wesentlichen
wird die Schallgeschwindigkeit c0 vom Adiabatenexponenten bestimmt. Es gilt:
r
r
p
RT
c0 = κ = κ
(40)
ρ
M
wobei p der Druck und ρ die Dichte, bzw. R die universelle Gaskonstante, M die molare
Masse und T die Temperatur. Die Schallgeschwindigkeit c0 bei p = 1 bar und 0 ◦C beträgt
331,5 ms .
Wird der Schall durch ein enges Rohr gesendet, wird eine geringere Schallgeschwindigkeit
gemessen. Die reale Schallgeschwindigkeit cr berechnet man mittels einer Korrektur:
a
cr = c0 · 1 − √
(41)
2r πν
Dabei ist r der Radius des Rohres und a die Kirchhoff-Konstante und ν die Frequenz
der Schallwelle.
2.8.1 Stehende Wellen
Eine stehende Welle ist ein Phänomen, das durch Überlagerung (Interferenz) zweier
gegenläufiger Wellen gleicher Frequenz und Amplitude. Die entstehende Welle ist eine
Stehende Welle, das heißt, das die Amplitude ortsabhängig ist. Es existieren Knotenpunkte, an denen die Amplitude immer 0 ist.
Stehende Wellen werden zum Beispiel durch Reflexionen am Ende eines Wellenträgers
hervorgerufen. Beschreiben lässt sich dies durch zwei Wellen:
ψe (x, t) = ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)
ψr (x, t) = ψ(x, −t) = A sin(kx + ωt)
9
(42)
(43)
2.8 Schallausbreitung
2 GRUNDLAGEN
Überlagert ergibt sich:
ψu = ψ(x, t) = A sin(kx − ωt) + A sin(kx + ωt) = 2A sin(kx) cos(ωt)
(44)
Die Amplitude hängt wie gesagt vom Ort ab: 2A sin(kx) und oszilliert in der Zeit und
der Frequenz ω: cos(ωt). An den Orten x = n · λ2 ist die Amplitude 0, wenn λ = ωc . Diese
Punkte nennt man Knotenpunkte. Es gibt aber auch Orte an denen die Amplitude
maximal ist, dies ist bei x = (n + 12 ) λ2 der Fall. Dort sind Wellenbäuche.
Auf einem beidseitig begrenzten Wellenträger gibt es nur bei bestimmten Frequenzen,
den Resonanzfrequenzen, stehende Wellen. Es gibt zwei verschiedene Arten von Enden,
an denen reflektiert wird:
Offenes Ende: Hier muss, dass sich eine stehende Welle ausbreiten kann, ein Wellenbauch, also maximale Amplitude, sein. Es findet kein Phasensprung statt.
Geschlossenes/festes Ende: Hier ist der Ort fest vorgegeben, es muss also ein Knotenpunkt darauf liegen. Bei der Reflexion findet ein Phasensprung um π statt.
Je nach Kombination der Enden gibt es verschiedene Resonanzfrequenzen für einen
Wellenträger der Länge l:
Offen-Offen An beiden Enden muss ein Wellenberg liegen, also muss für die Wellenlänge
gelten:
2l
k
kc
d.h.fk =
2l
λ=
(45)
(46)
Die Grundschwingung ist in Abbildung 3(a) skizziert.
Geschlossen-Geschlossen An beiden Enden muss ein Knotenpunkt liegen, also muss
für die Wellenlänge gelten:
2l
k
kc
d.h.fk =
2l
λ=
(47)
(48)
Die Grundschwingung ist in Abbildung 3(b) skizziert.
Offen-Geschlossen Hier muss an einem Ende ein Wellenberg und am anderen ein Knoten liegen, deshalb gilt hier für die Wellenlänge.
4l
2k + 1
(2k + 1)c
d.h.fk =
4l
λ=
Die Grundschwingung ist in Abbildung 3(c) skizziert.
10
(49)
(50)
2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten
(a) Offen-Offen
(b) Geschlossen-Geschlossen
2 GRUNDLAGEN
(c) Offen-Geschlossen
Abbildung 3: Grundschwingungen der Stehenden Wellen
2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten
2.9.1 Nach Rüchardt und Flammersfeld
Den Adiabatenkoeffizient kann man nach einer Idee von Rüchardt mittels einer Schwingung, die durch ausströmendes Gas verursacht wird, messen. Rüchardt fand aber keinen Aufbau, bei dem man genau messen konnte. Erst Flammersfeld hatte eine Lösung
parat.
Gas wird wie in Abbildung 4 in einen Sammelbehälter geleitet. Auf diesem Sammelbehälter befindet sich senkrecht ein Rohr mit Innenradius r und ein zylindrischer Schwingkörper
der Masse mS . Zum Druckausgleich befindet sich innerhalb des Schwingbereichs eine Öffnung, durch die Gas ausströmen kann. Dadurch werden die Reibungsverluste minimiert.
Abbildung 4: Aufbau der Messmethode nach Rüchardtund Flammersfeld
Der Schwingkörper befindet sich genau dann im Gleichgewicht wenn der Druck p im
Sammelbehälter gleich dem äußeren Druck p0 und dem Druck, der durch die Gewichts-
11
2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten
2 GRUNDLAGEN
kraft des Schwingkörpers hervorgerufen wird, ist. Im Gleichgewicht gilt also:
p = p0 +
mS g
πr2
(51)
Dabei versteht man unter g die Fallbeschleunigung.
Im Folgenden wird die Gleichgewichtslage als Nullpunkt der Auslenkung x definiert.
Die Auslenkung x wird nach oben positiv und nach unten negativ gemessen. Bei einer
Auslenkung um ∆x ändert sich das Volumen V unterhalb des Schwingkörpers also um:
∆V = πr2 ∆x
(52)
Zudem ändert sich auch der Druck um ∆p. Da dieser Vorgang verhältnismäßig2 schnell
verläuft, kann man sagen, dass dieser Vorgang adiabatisch ist, es gilt also:
pV κ = const. = K
⇒ p = V −κ · K
dp
⇒
= −κV −κ−1 · K
dV
p
= −κ
V
∆p
p
⇒
≈ −κ
∆V
V
p
⇒ ∆p ≈ −κ ∆V
V
p
= −κ πr2 ∆x
V
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
Somit gilt für die durch die Druckänderung hervorgerufene rücktreibende Kraft Fr :
Fr = πr2 · ∆p
(60)
Man erhält für den Oszillator, unter Berücksichtigung, dass nicht nur der Schwinger,
sondern auch Gas, der Masse mG beschleunigt wird, die Differentialgleichung:
p
mẍ ≈ −κ πr2 ∆x
V
(61)
m = mS + mG
(62)
mit
wobei man mG , über das Ideale Gasgesetz, Gleichung (2), berechnen kann:
⇒
2
pV = nRT
mG
pV = RT
M
pM πr2 l
mg =
RT
zur Wärmeleitung an die Umgebung
12
(63)
(64)
(65)
2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten
2 GRUNDLAGEN
Dabei ist M die Molmasse des Gases und l die Länge des Steigkolbens bis zur Öffnung.
Betrachten wir nur kleine Auslenkungen können wir schreiben:
ẍ +
κpπ 2 r4
x=0
mV
(66)
Somit haben wir eine Differentialgleichung des Harmonischen Oszillators und nach Ka2 r4
pitel 2.7 gilt, dass dieser die Eigenfrequenz ω02 = κpπ
hat. Daraus lässt sich dann die
mV
Schwingungsdauer TS berechnen:
4π 2
w02
4mV
=
κpr4
4mV
κ= 2 4
T pr
TS2 =
⇒
(67)
(68)
(69)
Dabei ist V das effektive Volumen des Aufbaus bis zur Öffnung und p der Druck in der
Gleichgewichtslage.
2.9.2 Nach Clément und Desormes
Ein anderer Ansatz zur Bestimmung des Adiabatenexponenten hat Clément und Desormes gewählt. Sie betrachten die adiabatische Expansion eines Gases.
Dazu wird in ein Gasbehälter, mit dem Volumen V , Gas gefüllt. Das Gas hat die Umgebungstemperatur T0 , jedoch einen höheren Druck p1 als die Umgebung p0 . Die Druckdifferenz ∆p1 = p1 − p0 lässt sich über das Ablesen der Höhe h1 im U-Rohr bestimmen.
δp1 = ρgh1
(70)
wobei g die Fallbeschleunigung und ρ die Dichte der Flüssigkeit im U-Rohr ist.
Das Auslassventil wird dann kurz geöffnet, sodass ein Druckausgleich durch eine adiabatische Expansion stattfindet. Das bedeutet:
V → V2 > V
p1 → p2 = p 0
(71)
(72)
T1 = T0 → T2 = T1 ·
p1
p2
1−κ
κ
(73)
das nach S. D. Poisson Gleichung (29) gilt.
Danach wird gewartet, bis die Temperatur T2 wieder der Umgebungstemperatur T0
angeglichen hat, also eine isochore Erwärmung vollzogen ist. Man hat den neuen Druck
p3 = p0 +∆p3 , den man wieder mittels ablesen am U-Rohr und Gleichung (70) berechnen
kann. Bei einer isochoren Zustandsänderung gilt:
p
= const.
T
13
(74)
3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE
Wodurch man mit den Drücken ∆p1 und ∆p3 den Adiabatenexponent bestimmen kann:
p3
p2
=
T3
T2
p3 = p2
(75)
T3
1−κ
κ
(76)
p1
p2
T1 ·
κ−1
p1 κ
T1 =T3 =T0
= p2 ·
p2
κ−1
∆p1 κ
p2 =p0 ,p1 =p0 +∆p1
=
p0 · 1 +
p0
Mittels Taylor für (1 + x)n ≈ 1 + nx für x 1, was erfüllt ist, da p0 ∆p1 .
erhalten wir:
∆p1 κ − 1
p3 ≈ p 0 1 +
p0
κ
κ−1
= p0 + ∆p1
κ
κ−1
⇒ ∆p3 ≈ ∆p1
κ
(77)
(78)
Also
(79)
(80)
(81)
(82)
Das können wir nach κ umstelle und erhalten:
∆p1
∆p1 − ∆p3
h
∆pi =ρghi
1
=
h1 − h3
κ≈
(83)
(84)
3 Versuch: Freiheitsgrade
3.1 Aufbau & Durchführung
An einem dünnen Kupferrohr ist ein Mikrophon, das an einen Computer angeschlossen ist, angebracht. In das Rohr wird mit Kohlenstoffdioxid geblasen und mittels eines
Druckminderers so eingestellt, dass gerade noch ein leises Zischen zu hören ist. Der
Ton wird mit dem Computer aufgenommen. Mit Hilfe der Resonanzpeaks, die möglichst
ohne Störgeräusche aufgenommen wurden, bestimmt man die Resonanzfrequenzen. Die
Resonanzpeaks werden bei vielen Temperaturen zwischen 100◦C und 0◦C
3.2 Auswertung
Da sich wie wir im Versuch gesehen haben stehende Wellen im Rohr bei gewissen Frequenzen bilden, und wir wissen, das es sich bei dem Messingrohr um zwei identische
14
3.2 Auswertung
3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE
Enden handelt, gilt, wie im Grundlagenteil erläutert für die Frequenz fk :
fk =
kc
2l
(85)
Wodurch wir also aus unserer Messung der Resonanzfrequenzen fk , der Ordnung k, und
der Länge des Messingrohrs l die Ausbreitungsgeschwindigkeit c bestimmen können. Wie
wir die Resonanzfrequenzen bestimmen konnten wird anhand Abbildung 5 erklärt.
Abbildung 5: Beispielhaftes Bild einer Messung bei 40 ◦C
Man erkennt in Abbildung 5 das es zwei verschiedenen regelmäßige Maxima gibt, die
eingezeichneten des Kohlenstoffdioxids circa alle 130 Hz. Zudem sind alle 50 Hz Maxima
zu erkennen, die auf den nahen Wechselstrom zurückzuführen ist. Das extreme Maxima
bei nahezu 0 Hz ist auf ein nummerisches Problem im Computer zurückzuführen. Dieser
analysiert ebenso den Offset des Signals und erkennt darin eine sehr langwellige Schwankung, also eine sehr niedrige Frequenz.
Durch umstellen der Gleichung (85) errechnet man nun die Ausbreitungsgeschwindigkeit
ck und den Fehler:
2lfk
k
2l
δck = δfk
k
ck =
(86)
(87)
Dabei ist l = 1m und wird als fehlerfrei angenommen, da keine Angabe zur Unsicherheit
gegeben ist. Man erhält die Ausbreitungsgeschwindigkeiten die in Tabelle 2 zusammengefasst.
15
3.2 Auswertung
3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE
Temperatur in [◦C]
70 ± 2
65 ± 2
60 ± 1
55 ± 1
50 ± 1
45 ± 1
40 ± 1
35 ± 1
30 ± 1
25 ± 1
20 ± 1
15 ± 1
10 ± 1
5±1
0 ± 0, 5
c1 in [ ms ]
287 ± 2
284 ± 2
283 ± 2
280 ± 2
277 ± 2
277 ± 2
277 ± 2
274 ± 2
271 ± 2
271 ± 2
268 ± 2
268 ± 2
265 ± 2
262 ± 2
259 ± 2
c2 in [ ms ]
289 ± 1
288 ± 1
285 ± 1
282 ± 1
279 ± 1
278 ± 1
275 ± 1
273 ± 1
270 ± 1
270 ± 1
270 ± 1
265 ± 1
262 ± 1
259 ± 1
256 ± 1
c3 in [ ms ]
285 ± 1
384 ± 1
281 ± 1
279 ± 1
278 ± 1
275 ± 1
274 ± 1
272 ± 1
270 ± 1
268 ± 1
266 ± 1
263 ± 1
262 ± 1
260 ± 1
259 ± 1
Tabelle 2: Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im Rohr
Aus diesen realen Ausbreitungsgeschwindigkeiten kann man die Ausbreitungsgeschwindigkeit, nach Gleichung (41) berechnen:
ck
c0 =
(1 − 2·r√aπfk )
c0
a
δc0 =
· δck + c0 ·
· δfk
ck
2fk
(88)
(89)
Die Kirchhoff-Konstante a wurde genauso wie r als fehlerfrei betrachtet. Der Rohrradius r wurde aus den Angaben in der Versuchsbeschreibung gegebenen Größen, Außendurchmesser D des Rohres und der Wandstärke d berechnet, welche aber ohne Messungenauigkeit gegeben sind, womit auch der Radius r als fehlerfrei ist.
r=
D
−d
2
(90)
Die Ergebnisse wurden gemittelt und zusätzlich in Tabelle 3 dargestellt. Für die Mittelung wurde der gewichtete Mittelwert benutzt:
3
P
X
c0,best =
δc0,best
c0,i (δc0,i )−2
i=1
3
P
(δc0,i )−2
i=1
v
−1
u 3
uX
= t (δc0,i )−2 
i=1
16
(91)
(92)
3.2 Auswertung
Temperatur
in [◦C]
70 ± 2
65 ± 2
60 ± 1
55 ± 1
50 ± 1
45 ± 1
40 ± 1
35 ± 1
30 ± 1
25 ± 1
20 ± 1
15 ± 1
10 ± 1
5±1
0 ± 0, 5
3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE
c0 in [ ms ]
bei k = 1
291 ± 2
288 ± 2
286 ± 2
283 ± 2
280 ± 2
280 ± 2
280 ± 2
277 ± 2
274 ± 2
274 ± 2
271 ± 2
271 ± 2
268 ± 2
266 ± 2
263 ± 2
c0 in [ ms ]
bei k = 2
292 ± 1
290 ± 1
287 ± 1
284 ± 1
281 ± 1
280 ± 1
278 ± 1
275 ± 1
272 ± 1
272 ± 1
272 ± 1
267 ± 1
265 ± 1
262 ± 1
258 ± 1
c0 in [ ms ]
bei k = 3
287 ± 1
286 ± 1
283 ± 1
281 ± 1
280 ± 1
277 ± 1
276 ± 1
274 ± 1
272 ± 1
270 ± 1
268 ± 1
265 ± 1
264 ± 1
262 ± 1
261 ± 1
c0 in [ ms ]
gemittelt
288 ± 1
287 ± 1
285 ± 1
282 ± 1
281 ± 1
278 ± 1
277 ± 1
274 ± 1
272 ± 1
271 ± 1
269 ± 1
266 ± 1
265 ± 1
262 ± 1
260 ± 1
Tabelle 3: Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im freien Raum
Aus dieser Ausbreitungsgeschwindigkeit kann man den Adiabatenexponenten κ, aus
Gleichung (40) bestimmen. Für den Fehler gilt:
c20 M
κ=
RT
κ
2κ
· δc0 + · δT
δκ =
c0
T
(93)
(94)
Zu beachten ist dabei, das die Temperatur T in K gemessen wird. M ist die Molare
g
Masse des Kohlenstoffdioxids, diese beträgt nach [Sei] 44,01 mol
.
Außerdem kann man aus dem Adiabatenexponenten κ direkt die Freiheitsgrade mittels
Gleichung (24) mit dem Fehler nach Gleichung (96) bestimmen:
2
κ−1
2
δf =
· δκ
(κ − 1)2
f=
(95)
(96)
Damit erhält man die Adiabatenexponenten und die Freiheitsgrade bei der jeweiligen
Temperatur, die in Tabelle 4 zusammengefasst sind.
17
3.2 Auswertung
3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE
Temperatur in [◦C]
70 ± 2
65 ± 2
60 ± 1
55 ± 1
50 ± 1
45 ± 1
40 ± 1
35 ± 1
30 ± 1
25 ± 1
20 ± 1
15 ± 1
10 ± 1
5±1
0 ± 0, 5
κ
1, 28 ± 0, 01
1, 29 ± 0, 01
1, 29 ± 0, 01
1, 29 ± 0, 01
1, 29 ± 0, 01
1, 29 ± 0, 01
1, 30 ± 0, 01
1, 29 ± 0, 01
1, 29 ± 0, 01
1, 30 ± 0, 01
1, 31 ± 0, 01
1, 30 ± 0, 01
1, 31 ± 0, 01
1, 31 ± 0, 01
1, 31 ± 0, 01
f
7, 1 ± 0, 3
6, 8 ± 0, 3
7, 0 ± 0, 2
7, 0 ± 0, 2
6, 9 ± 0, 2
6, 9 ± 0, 2
6, 7 ± 0, 2
6, 8 ± 0, 2
6, 8 ± 0, 2
6, 6 ± 0, 2
6, 4 ± 0, 2
6, 6 ± 0, 2
6, 5 ± 0, 2
6, 5 ± 0, 2
6, 4 ± 0, 2
Tabelle 4: Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im freien Raum
Graphische Darstellung und Diskussion der Ergebnisse
Die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Temperatur wurde in Abbildung 6 dargestellt.
Abbildung 6: Ausbreitungsgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Temperatur
Mann sieht eine eindeutige Abhängigkeit, je wärmer die Umgebung, desto schneller ist
die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Dies Abhängigkeit ist in unserem Messbereich linear.
18
3.2 Auswertung
3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE
Abbildung 7: Adiabatenexponent in Abhängigkeit der Temperatur
Der Adiabatenexponent hängt, wie man in Abblidung 7 sieht, nicht so stark von
der Temperatur ab. jedoch erkennt man die Tendenz, das der Adabatenexponent mit
steigender Temperatur abnimmt.
Abbildung 8: Freiheitsgrade in Abhängigkeit der Temperatur
Die Freiheitsgrade nehmen mit einer höheren Temperatur zu, da die Knick-Schwingung
immer stärker angeregt wird. Leider fluktuieren unsere Messwerte stark, aber die Grundtendenz ist eindeutig sichtbar.
Fehlerbetrachtung
Man muss leider sagen, dass der Verlauf der Freiheitsgrade in der Temperatur nicht schön
19
4 VERSUCH: ADIABATENEXPONENT
ist. Teilweise sind die Freiheitsgerade bei höheren Temperaturen niedriger. Jedoch ist dies
noch im Bereich unserer Messgenauigkeit. Der Adiabatenexponent liegt im erwarteten
Wertebereich, dieser wird aber im nächsten Versuch explizit betrachtet und bestimmt.
Probleme bei der Messung waren, dass die Temperatur nicht homogen im Becken, in
dem das Messingrohr lag, war. Wir haben uns an die Temperatur in der Mitte der
Röhre gehalten. Ein weiteres Problem, war, dass man die Maxima der Frequenzen nicht
aus einer Messung lesen kommt, man musste über mehrere Messungen mitteln, dadurch
sind Störungen rausgemittelt“ worden, aber die Temperatur hat sich innerhalb der
”
Messungen weiter geändert.
4 Versuch: Adiabatenexponent
4.1 Aufbau & Durchführung
Im Grunde bestimmt man wie in Kapitel 2.9 erklärt auf beide weisen die Adiabatenexponenten von Argon, Stickstoff und Kohlenstoffdioxid. Zu Beachten ist bei beiden
Methoden, dass man die Gasbehälter gründlich mit dem Gas spült. Bei dem Aufbau
von Rüchardt und Flammersfeld muss man eine große Anzahl von Schwingungen
messen, sodass der Fehler möglichst gering wird.
Abbildung 9: Aufbau nach Clémentund Desormes
Der Versuchsaufbau nach Clément und Desormes ist in Abbildung 9 gezeigt. Hier
ist nur zu beachten, dass man die Ventile zur richtigen Zeit öffnet und wieder schließt.
20
4.2 Auswertung
4 VERSUCH: ADIABATENEXPONENT
4.2 Auswertung
4.2.1 Versuch nach Rüchardt und Flammersfeld
Um den Adiabatenexponenten zu bestimmen benötigen wir neben unseren Messwerten
noch die Daten des Versuchsaufbaus:
V = (2257 ± 1) cm3
r = (4,96 ± 0,01) mm
l = (0,60 ± 0,01) m
Dabei ist r der Radius des Schwingkörpers, l die Höhe des Steigrohrs bis zur Öffnung
und V das effektive Volumen des Glaskolbens bis zur Öffnung.
Zuerst wird mittels Formel (51) der Druck in der Gleichgewichtslage bestimmt. Der Umgebungsdruck wurde einmal zu Beginn des Praktikums und einmal am Ende gemessen.
Der Durchschnittswert ist unser Umgebungsdruck, p0 = (960,4 ± 0,2) hPa, wobei der
Fehler die halbe Differenz der Werte ist. Der Fehler des Gleichgewichtsdrucks wird mit
folgender Formel bestimmt:
mS g
g
δmS +
δr
2
πr
πr3
p = (972,7 ± 0,7) hPa
δp = δp0 +
(97)
wobei g ohne Unsicherheit betrachtet wird.
Zur Bestimmung der Gasmassen, die beteiligt sind, wird die molare Masse der Gase
benötigt. Diese wurde aus [Sei] entnommen und als exakt betrachtet.
g
mol
g
= 44,01
mol
g
= 39,948
mol
MN2 = 28,014
MCO2
MAr
Man erhält die Gasmasse über Gleichung (65) mit dem Fehler:
M πr2 l
pM πrl
pM πr2
M πr2 l
δp +
δr +
δl +
δT
RT
RT
RT
RT 2
= (0,051 ± 0,001) g
= (0,080 ± 0,002) g
= (0,073 ± 0,001) g
δmg =
mG(N2 )
mG(CO2 )
mG(Ar)
(98)
wobei bei der Bestimmung der Temperatur und deren Fehler gleich vorgegangen wurde
wie beim Umgebungsdruck. Die allgemeine Gaskonstante wurde ebenso als exakter Wert
angesehen.
Nun wird noch die gemessene Zeit der 300 Perioden, durch deren Anzahl geteilt, sodass
21
4.2 Auswertung
4 VERSUCH: ADIABATENEXPONENT
man die Zeit T einer Periode erhält und den Adiabatenexponenten mit Gleichung (69)
bestimmen kann. Für den Fehler gilt:
4V
4m
4mV
4mV
4mV
δm + 2 4 δV + 3 4 δT + 2 2 4 δp + 2 5 δr
2
4
T pr
T pr
T pr
T pr
T pr
mit : δm = δmS + δmG
δκ =
(99)
(100)
Man erhält die Werte für den Adiabatenexponenten:
κN2 = 1, 27 ± 0, 03
κCO2 = 1, 28 ± 0, 03
κAr = 1, 42 ± 0, 03
4.2.2 Versuch nach Clément und Desormes
Aus unseren Messwerten können wir direkt den Adiabatenexponenten, mit Gleichung
(84), bestimmen. Zunächst wird dies bei jeder Messung durchgeführt, wobei der Fehler
mit Gleichung (101) bestimmt wird. Danach wird der gewichtete Mittelwert, Gleichung
(102) dieser Werte genommen.
δκ =
h1
h1
δh1 +
δh2
2
(h3 − h1 )
(h3 − h1 )2
Die Ergebnisse wurden in Tabelle 5 zusammengetragen.
Gas
N2
CO2
Ar
κ
1,246
1,256
1,244
1,190
1,208
1,198
1,364
1,297
1,306
δκ
0,007
0,007
0,006
0,005
0,004
0,004
0,011
0,008
0,008
Tabelle 5: Berechneten Adiabatenkoeffiziente mit deren Fehler
22
(101)
4.2 Auswertung
4 VERSUCH: ADIABATENEXPONENT
Daraus errechnet man den gewichteten Mittelwert und dessen Fehler:
3
P
κbest =
κi · (δκi )−2
i=1
3
P
(102)
(δκi
)−2
i=1
δκbest
−1
v
u 3
uX
= t (δκi )−2 
(103)
i=1
Man erhält:
κN2 = 1, 249 ± 0, 004
κCO2 = 1, 199 ± 0, 003
κAr = 1, 314 ± 0, 005
4.2.3 Vergleich mit Literaturwerten und Fehlerdiskussion
Aus [Anf13] haben wir die Literaturwerte der Adiabatenexponenten bei 20 ◦C, bei unserer
Messung war es ca. 3 ◦C wärmer, also müssen die Adiabatenexponenten etwas kleiner
sein. In Tabelle 6 sind sie gegenüber gestellt.
Gas
N2
CO2
Ar
κFlammersfeld
1, 27 ± 0, 03
1, 28 ± 0, 03
1, 42 ± 0, 03
κClément
1, 249 ± 0, 004
1, 199 ± 0, 003
1, 314 ± 0, 005
κlit
1,401
1,293
1,648
Tabelle 6: Berechneten Adiabatenkoeffiziente im Vergleich mit den Literaturwerten
Man sieht, dass wir vor allem bei dem Versuchsaufbau von Clément und Desormes
von zu kleinen Fehlern ausgegangen sind. Von der Tendenz, das unsere Werte kleiner
als die Literaturwerte sind, war die Messung erfolgreich, jedoch sind unsere Messwerte
weit unterhalb von den zu erwarteten Werten. Erstaunlich ist, dass bei Stickstoff der
Wert unterhalb bzw. nahe bei dem Literaturwert von Kohlenstoffdioxid liegt. Da wir
Stickstoff immer als 1. Gas verwendet haben, liegt die Vermutung nahe, das uns bei
diesem Gas kleinere Fehler unterlaufen sind. Die Werte von Kohlenstoffdioxid sind uns
am Besten gelungen, bei Argon sind die Werte geringer, jedoch erkennt man, das Argon
den größten Adiabatenexponenten der drei Gase hat.
Bei dem Aufbau von Rüchardt und Flammersfeld sind unsere Ergebnisse besser wie
bei dem Aufbau von Clément und Desormes, dies könnte zum einen daran liegen,
das wir systematisch die adiabatische Ausdehnung zu lange stattfinden lassen haben,
oder nicht lange genug gewartet haben, sodass die Temperatur des Gases noch nicht auf
Raumtemperatur war.
23
5 FRAGEN & AUFGABEN
5 Fragen & Aufgaben
Adiabatenexponent 1 Erklären Sie den Zusammenhang zwischen dem Adiabatenexponenten κ und der Zahl f der Freiheitsgrade eines Gases.
In Abschnitt 2.6 geschehen, Vergleiche Gleichung (24).
Adiabatenexponent 2 Zeigen Sie, dass die drei S. D. Poisson-Gleichungen für adiabatische Zustandsänderungen unter Verwendung der idealen Gasgleichung ineinander
umgeformt werden können.
In Abschnitt 2.6 geschehen.
Adiabatenexponent 3 Was hat der am Bodensee oft für sonniges Wetter sorgende
Föhn“ mit adiabatischen Zustandsänderungen zu tun?
”
Verantwortlich für die Föhnwetterlage ist ein Südwind und Regen auf der Südseite der
Alpen. Lauwarme Luft aus dem Süden trifft unter feuchtadiabatischen Bedingungen auf
die Südseite der Alpen. Dort steigt sie auf und verliert dabei Temperatur. Auf der Nordseite der Alpen ist trockenes Wetter, dort sinkt die Luft wieder auf Nachalpenniveau,
da es nicht regnet herrschen trockenadiabatische Bedingungen. Somit erwärmt sich die
Luft etwas mehr pro Höhenmeter wie sie sich vor den Alpen abgekühlt hat. Somit hat
man einen warmen Südwind, der Föhn“ genannt wird.
”
Freiheitsgrade 1 Tragen Sie die theoretischen Werte in das Diagramm aus Punkt 4
der Auswertung ein und vergleichen Sie.
In der Auswertung Abschnitt 4.2.3 geschehen.
24
Literatur
6 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
pV -Diagramme der Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . .
Versuchskizzen für das Erhitzen von Gas . . . . . . . . . . . . .
Grundschwingungen der Stehenden Wellen . . . . . . . . . . . .
Aufbau der Messmethode nach Rüchardtund Flammersfeld
Beispielhaftes Bild einer Messung bei 40 ◦C . . . . . . . . . . .
Ausbreitungsgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Temperatur .
Adiabatenexponent in Abhängigkeit der Temperatur . . . . . .
Freiheitsgrade in Abhängigkeit der Temperatur . . . . . . . . .
Aufbau nach Clémentund Desormes . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
6
11
11
15
18
19
19
20
Freiheitsgrade verschiedener Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im Rohr . . . . . . . . . . .
Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im freien Raum . . . . . . .
Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im freien Raum . . . . . . .
Berechneten Adiabatenkoeffiziente mit deren Fehler . . . . . . . . . . . .
Berechneten Adiabatenkoeffiziente im Vergleich mit den Literaturwerten
5
16
17
18
22
23
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
Literatur
[Anf13] Anfängerpraktikum: Versuchsanleitung. Universität Konstanz, 2013
[Bro08] Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008
[Dem08] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, 2008
[Phy12] Physikalisch-Technische Bundesanstalt:
Zahlenwerte wichtiger
Naturkonstanten.
https://www.ptb.de/de/naturkonstanten/
_zahlenwerte.html, 12.7.2012. – zuletzt aufgerufen am 9.6.2013
[Sch] Schotte, Prof. Dr. Klaus-Dieter: Entropie und Information. http://users.
physik.fu-berlin.de/~ag-schotte/THERMO/entr4.pdf, . – zuletzt aufgerufen am 9.6.2013
[Sei] Seilnacht, Thomas: http://www.seilnacht.com/Lexikon/psframe.htm. –
zuletzt aufgerufen am 9.6.2013
[Wik] Wikipedia: www.wikipedia.de
25
Literatur
Literatur
[Zab05] Zabel, H.:
Stehende Wellen.
http://www.ep4.ruhr-uni-bochum.de/
imperia/md/content/skripte/ws04-05/physik1fuerphysiker/vorlesung/
44lektion.pdf, Wintersemester 04/05. – zuletzt aufgerufen am 9.6.2013
26