Quantenmechanik I, WS 2015/16

Quantenmechanik I, WS 2015/16
Prof. Dr. Michael Bonitz
Übungszettel 9 und 10 (Abgabe: Dienstag 12.1. 14:00)
1. Wiederholung (mündlich): QM Theorie des Drehimpulses.
Radiale Schrödingergleichung. H-Atom
(a) Diskutieren Sie die Eigenschaften des Drehimpulsoperators (Messbarkeit, Vertauschbarkeit, Kommutationsregeln usw.).
(b) Erläutern Sie das Eigenwertproblem des allgemeinen Drehimpulses Jˆ und
diskutieren Sie den Drehimpulskegel.
(c) Erläutern Sie das Eigenwertproblem des Bahndrehimpulses.
(d) Wiederholen Sie die Lösung der radialen Schrödingergleichung für ein Teilchen
im Coulomb-Potential (insbes. Asymptotenbedingungen, Berechnung der
Polynome). Demonstrieren Sie die Divergenz der unendlichen Reihe und
erläutern Sie die Abbruchbedingung.
(e) Diskutieren Sie die Eigenwerte (Quantenzahlen, Entartung usw.) und Eigenzustände des H-Atoms. Erläutern Sie die vollständigen Observablen beim
H-Atom.
2. Aufgaben (42 Punkte): Drehimpuls. Radiale Schrödingergleichung. H-Atom
(a) Beweisen Sie die Eigenschaften b)-d) der allgemeinen Drehimpuls-Operatoren
Jˆ± (s. Vorlesung, 6 Punkte).
(b) Bahndrehimpuls in Kugelkoordinaten (15 Punkte): Wiederholen Sie die Darstellung von Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten. Mit der Definition
L̂2 = −h̄2 ∆Θ,φ (Winkelanteil des Laplace-Operators), berechne man folgende
Ausdrücke in Kugelkoordinaten:
i. L̂z und L̂2 ,
ii. L̂x und L̂y ,
iii. L̂± .
(c) Man gebe die explizite Form aller Drehimpuls-Eigenfunktionen Y2m für die
d-Zustände an und stelle die zugehörige Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit graphisch dar. Man verwende die bekannten Ausdrücke für die Legendre-Funktionen Plm und berechne die Normierungskonstanten der Zustände Y2m (5 Punkte).
(d) Das Eigenwertproblem von L̂ lässt sich–wie beim allgemeinen Drehimpuls
ˆ
J–auch
über die Operatoren L̂± lösen. Dazu nutzt man, dass, für gegebenes
mmax = l, die Anwendung von L̂+ auf den Drehimpuls-Eigenzustand |lli
verschwinden muss. Daraus finde man:
i. den Eigenzustand |lli in der Ortsdarstellung (in Kugelkoordinaten):
Ψll (Θφ) = hΘφ|lli
ii. eine Bestimmungsgleichung für die Eigenfunktionem Ψ(l−1)l (Θφ) sowie
Ψ(l−2)l (Θφ).
(8 Punkte)
(e) Berechnen Sie die Radialfunktionen des H-Atoms für n = 2, 3 durch Bestimmung der Koeffizienten der Polynome (mit Hilfe der Rekurrenzformel) und
stellen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten graphisch dar. Vergleichen Sie die Resultate mit denen der Bohrschen Theorie. (8 Punkte)
3. Zusatzaufgabe: Man finde die Lösung der Radialen Schrödingergleichung für ein
freies Teilchen mit fixiertem Drehimpulseigenwert l und diskutiere das Resultat.
4. Verleben Sie erholsame Weihnachtsferien.
Die besten Wünsche für Sie und Ihre Familie für das Jahr 2016!