Merkblatt zur Quantentheorie

Prof. G. Münster
Merkblatt zur Quantentheorie
Grundlagen
Freie Materiewellen, de Broglie-Beziehungen:
~
ebene Wellen:
ψ(~r, t) = A ei(k·~r−ωt)
Wellenpakete:
ψ(~r , t) =
Z
mit
p
~ = h̄~k ,
ω=
E = h̄ω ,
p = h/λ
h̄ 2
k
2m
d3 k
~
ϕ(~k ) ei(k·~r−ωt) ,
(2π)3
zerfließen mit der Zeit
Wahrscheinlichkeitsinterpretation: |ψ(~r, t)| 2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, das Teilchen bei einer Ortsbestimmung am Punkt ~r zu finden.
R 3
Normierung:
d r |ψ(~r, t)|2 = 1
R
Erwartungswerte: hAi = d3 r ψ ∗ (~r, t) A ψ(~r , t)
Z 3
d k e~
~
Impulsraum: ψ(~r , t) =
ψ(k, t) eik·~r
3
(2π)
Impuls-Operator:
Breiten:
P~ = h̄i ∇,
Orts-Operator:
(∆x)2 = hx2 i − hxi2 ,
~ ψ(~r ) = ~r ψ(~r )
Q
(∆p)2 = hp2 i − hpi2
Heisenberg’sche Unschärferelation:
∆p · ∆x ≥
h̄
2
Schrödinger-Gleichung
allgemein:
ih̄
∂
ψ(~r, t) = Hψ(~r, t)
∂t
Teilchen im Potenzial:
Hamilton-Operator
∂
ih̄ ψ(~r , t) =
∂t
H=
!
P~ 2
+ V (~r ) ψ(~r , t)
2m
P~ 2
~
+ V (Q)
2m
h̄
∂
ρ(~r, t) + ∇ · ~j(~r, t) = 0 mit ρ = ψ ∗ ψ , ~j =
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
∂t
2m i
Superpositionsprinzip: für Zustände ψ1 , ψ2 ist αψ1 + βψ2 wieder ein physikalischer Zustand.
Kontinuitätsgleichung:
Et
Stationäre Zustände: ψ(~r, t) = e−i h̄ ψ(~r )
Zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung:
Hψ(~r ) = E ψ(~r )
Wellenmechanik in einer Dimension
Rand-/Anschluss-Bedingungen:
0
ψ(x) ist stetig. ψ (x) ist stetig, wenn |V (x)| < ∞ überall.
Teilchen im Kasten, unendlich
r hoher Potenzialtopf:
h̄2 π 2
2
nπ 2
En =
·
n
,
ψ
(x)
=
sin
x , n = 1, 2, 3, . . .
n
2mL2
L
L
Endlicher Potenzialtopf:
diskretes Spektrum: endlich viele gebundene Zustände
kontinuierliches Spektrum: Streuzustände
Transmissionskoeffizient: T = jjT , Reflexionskoeffizient:
ein
Resonanzen:
Breit-Wigner-Funktion T ≈
(E −
Γ 2
2
E R )2 +
Γ 2
2
R = jjR ,
ein
T +R =1
Potenzialbarriere, Tunneleffekt:


 2 Zb p

T ≈ exp −
2m(V (x) − E) dx
 h̄

Gamow-Faktor
a
Allgemeine eindimensionale Potenziale:
a) klassisch erlaubt: E > V (x), ψ ist oszillatorisch
b) klassisch verboten: E < V (x), ψ ist von der Achse weggekrümmt, speziell: exponentielles
Abklingen
00
c) klassische Umkehrpunkte: E = V (x), ψ (x) = 0
Harmonischer Oszillator:
1
1 2 mω 2 2
†
,
P +
Q = h̄ω a a +
H=
2m 2
2
√
1
En = h̄ω n +
, a|ni = n|n − 1i ,
2
[a, a† ] = 1
a† |ni =
√
n + 1 |n + 1i
1 2
1
ϕn (y) = p
Hn (y) e− 2 y
√
2n n! π
Mathematischer Formalismus
R
hψ1 |ψ2 i = d3 r ψ1∗ (~r )ψ2 (~r ),
P
Vollständigkeit: |ψi =
cn |ni
Hilbert-Raum H = L2 (R) bzw. L2 (R3 ),
Orthonormalbasis:
hm|ni = δmn ,
P
Vollständigkeitsrelation:
n |nihn|
n
kψk2 = hψ|ψi < ∞
mit cn = hn|ψi
=1
Observable ↔ selbstadjungierte Operatoren A † = A
Messwerte = Eigenwerte sind reell
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
Vollständigkeit: die eigentlichen und uneigentlichen Eigenvektoren spannen den ganzen HilbertRaum auf.
Erwartungswerte:
hψ|A|ψi
A und B sind verträglich (kommensurabel)
Kommutator
[A, B] = AB − BA,
⇔
AB − BA = 0
Born-Jordan:
Allgemeine Unschärferelation: ∆A · ∆B ≥
1
2
[P j , Qk ] =
h̄
δjk 1
i
|h [A, B] i|
Uneigentliche Impuls-Eigenvektoren: |ki ↔ e ikx
Uneigentliche Orts-Eigenvektoren: |qi ↔ δ(x − q),
ψ(x) = hx|ψi
Zeitliche Entwicklung
Zeitentwicklungs-Operator
Schrödinger-Bild:
Heisenberg-Bild:
U (t) = exp(− h̄i Ht)
|ψ(t)i = U (t)|ψ(0)i,
ih̄
∂
|ψ(t)i = H|ψ(t)i
∂t
|ψH i = U † (t)|ψ(t)i = |ψ(0)i,
AH (t) = U † (t)AU (t)
d
∂
AH (t) = [AH (t), H] + ih̄ AH (t)
dt
∂t
A ist Erhaltungsgröße ⇐⇒ [A, H] = 0.
ih̄
Drehimpuls
Drehimpuls-Operator:
~ =Q
~ × P~ ,
L
~ 2 |l, mi = h̄2 l(l + 1)|l, mi ,
L
Bahndrehimpuls:
[Li , Lj ] = ih̄εijk Lk
L3 |l, mi = h̄m|l, mi
l ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }
mit l ∈ {0, 21 , 1, . . . },
m ∈ {l, l − 1, . . . , −l}
Teilchen im Zentralpotenzial:
ψ(~r ) = f (r) Y l,m (ϑ, ϕ)
Radiale Schrödinger-Gleichung:
h̄2 ∂ 2
h̄2 l(l + 1)
−
+
+ V (r) u(r) = Eu(r),
2m ∂r 2
2mr 2
u ∼ r l+1 für r → 0
Zweiatomige Moleküle:
E ≈ V (rl ) +
wobei u(r) = rf (r)
h̄2 l(l + 1)
+ h̄ωl (n + 12 )
2mrl2
Wasserstoff-Atom
V (r) = −
e20 1
,
4πε0 r
H|n l mi = En |n l mi ,
En = −
me40
1
,
2(4πε0 )2 h̄2 n2
l ≤ n − 1,
|m| ≤ l
Teilchen im elektromagnetischen Feld
2
1 ~
e0 B
~ + eΦ ,
H=
P − eA
Normaler Zeeman-Effekt: E = En + h̄ωL · ml , ωL =
2m
2m
Spin
!
!
!
h̄
0
1
0
−i
1
0
~ = ~σ , σ1 =
S
, σ2 =
, σ3 =
2
1 0
i
0
0 −1
! !
2
eh̄
∂ ψ+ (~r, t)
1 ~
ψ
(~
r
,
t)
+
~ r , t) + eΦ(~r, t) −
~ r , t)
Pauli-Gleichung: i h̄
P − eA(~
~σ · B(~
=
∂t ψ− (~r, t)
2m
2m
ψ− (~r, t)
Addition von Drehimpulsen:
|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2
Zeitunabhängige nichtentartete Störungstheorie
H = H0 + λH1 ,
En = En0 + λEn1 + λ2 En2 + . . . ,
En1 = hn0 |H1 |n0 i ,
En2 =
X |hm0 |H1 |n0 i|2
0
En0 − Em
m6=n
Feinstruktur des Wasserstoff-Spektrums:
πh̄2 γ (3) ~
e20
γ
1
1 ~ 2 2
~
~
δ (Q ) ,
γ=
S·L 3 +
+
H1 = − 3 2 P
8m c
2m2 c2
R
2m2 c2
4πε0
(
!)
α2 3
α2
e20
n
Enj = −mc2 2 1 − 2
mit
α
=
−
2n
n
4 j + 12
h̄c(4πε0 )
Mehrere Teilchen
Ausschließungsprinzip (Pauli-Verbot): Jeder Ein-Teilchen-Zustand kann höchstens von einem
Elektron besetzt werden.
Pauli-Prinzip: Die Wellenfunktion eines Systems von Elektronen ist total antisymmetrisch.
Orthohelium: Gesamtspin 1, Ortsfunktion antisymmetrisch
Parahelium: Gesamtspin 0, Ortsfunktion symmetrisch, Grundzustand
Ritz’sches Variationsverfahren:
E 0 = inf
ψ
hψ|H|ψi
hψ|ψi
Zeitabhängige Störungstheorie
H(t) = H0 + H1 (t) ,
|ψ(t)i =
Fermi’s goldene Regel:
X
ck (t)|kie
−iωk t
,
k
Wn→α =
i
ck (t) = δkn −
h̄
Z
0
t
dt0 hk|H1 (t0 )|nie−i(ωn −ωk )t
2π
ρ(En )|hα|H1 |ni|2
h̄
Absorption und induzierte Emission:
W n→m =
4π 2
~ 2
u(ωmn ) |hm|~e · d|ni|
h̄2 (4πε0 )
0
Statistischer Operator
hAi = Sp(ρA) ,
Sp(ρ) = 1 ,
Sp(ρ2 ) ≤ 1 ,
Sp(ρ2 ) = 1 ⇔ ρ ist reiner Zustand.
Stationäre Streutheorie
eikr
,
r
h̄2 k 2
,
2m
dσ
= |f (ϑ)|2
dΩ
∞
∞
1X
4π X
iδl
f (ϑ) =
(2l + 1) sin2 δl ,
(2l + 1) e sin δl Pl (cos ϑ) , σ = 2
k
k
l=0
l=0
Z
0
m
0
~ ~
Born’sche Näherung: f (1) (ϑ, ϕ) = −
d3 r 0 V (~r ) e−i(k−k0 )·~r
2
2πh̄
ϕ(~r ) −→ eikz + f (ϑ)
E=
Pfadintegrale
Z
−iHt
hx|e
|yi = Dx eiS[x]
1
ZE [j] =
Z
Z
Dx e
− 12 (x,Ax)+(j,x)
= exp
1
(j, A−1 j)
2
σ=
4π
Im f (0)
k