Merkblatt zur Quantenmechanik

Prof. G. Münster
Merkblatt zur Quantenmechanik
Grundlagen
Freie Materiewellen, de Broglie-Beziehungen:
~
ebene Wellen:
ψ(~r, t) = A ei(k·~r−ωt)
Wellenpakete:
ψ(~r , t) =
Z
mit
p
~ = h̄~k ,
ω=
E = h̄ω ,
p = h/λ
h̄ 2
k
2m
d3 k
~
ϕ(~k ) ei(k·~r−ωt) ,
(2π)3
zerfließen mit der Zeit
Wahrscheinlichkeitsinterpretation: |ψ(~r, t)| 2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, das Teilchen bei einer Ortsbestimmung am Punkt ~r zu finden.
R 3
Normierung:
d r |ψ(~r, t)|2 = 1
R
Erwartungswerte: hAi = d3 r ψ ∗ (~r, t) A ψ(~r , t)
Z 3
d k e~
~
Impulsraum: ψ(~r , t) =
ψ(k, t) eik·~r
3
(2π)
Impuls-Operator:
Breiten:
P~ = h̄i ∇,
Orts-Operator:
(∆x)2 = hx2 i − hxi2 ,
~ ψ(~r ) = ~r ψ(~r )
Q
(∆p)2 = hp2 i − hpi2
Heisenberg’sche Unschärferelation:
∆p · ∆x ≥
h̄
2
Schrödinger-Gleichung
allgemein:
ih̄
∂
ψ(~r, t) = Hψ(~r, t)
∂t
Teilchen im Potenzial:
Hamilton-Operator
∂
ih̄ ψ(~r , t) =
∂t
H=
!
P~ 2
+ V (~r ) ψ(~r , t)
2m
P~ 2
~
+ V (Q)
2m
h̄
∂
ρ(~r, t) + ∇ · ~j(~r, t) = 0 mit ρ = ψ ∗ ψ , ~j =
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
∂t
2m i
Superpositionsprinzip: für Zustände ψ1 , ψ2 ist αψ1 + βψ2 wieder ein physikalischer Zustand.
Kontinuitätsgleichung:
Et
Stationäre Zustände: ψ(~r, t) = e−i h̄ ψ(~r )
Zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung:
Hψ(~r ) = E ψ(~r )
Wellenmechanik in einer Dimension
Rand-/Anschluss-Bedingungen:
0
ψ(x) ist stetig. ψ (x) ist stetig, wenn |V (x)| < ∞ überall.
Teilchen im Kasten, unendlich
r hoher Potenzialtopf:
h̄2 π 2
2
nπ 2
En =
·
n
,
ψ
(x)
=
sin
x , n = 1, 2, 3, . . .
n
2mL2
L
L
Endlicher Potenzialtopf:
diskretes Spektrum: endlich viele gebundene Zustände
kontinuierliches Spektrum: Streuzustände
Transmissionskoeffizient: T = jjT , Reflexionskoeffizient:
ein
Resonanzen:
Breit-Wigner-Funktion T ≈
(E −
Γ 2
2
E R )2 +
Γ 2
2
R = jjR ,
ein
T +R =1
Potenzialbarriere, Tunneleffekt:
Gamow-Faktor


 2 Zb p

T ≈ exp −
2m(V (x) − E) dx
 h̄

a
Allgemeine eindimensionale Potenziale:
a) klassisch erlaubt: E > V (x), ψ ist oszillatorisch
b) klassisch verboten: E < V (x), ψ ist von der Achse weggekrümmt, speziell: exponentielles
Abklingen
00
c) klassische Umkehrpunkte: E = V (x), ψ (x) = 0
Harmonischer Oszillator:
1
1 2 mω 2 2
†
,
[a, a† ] = 1
P +
Q = h̄ω a a +
H=
2m 2
2
√
√
1
, aϕn = n ϕn−1 , a† ϕn = n + 1 ϕn+1
En = h̄ω n +
2
1
− 1 y2
ϕn (y) = p
√ Hn (y) e 2
n
2 n! π
Mathematischer Formalismus
Hilbert-Raum H = L2 (R) bzw. L2 (R3 ),
Orthonormalbasis:
(ϕm , ϕn ) = δmn ,
R
(ψ1 , ψ2 ) = d3 r ψ1∗ (~r )ψ2 (~r ),
P
Vollständigkeit: ϕ =
cn ϕn
kψk2 = (ψ, ψ) < ∞
mit cn = (ϕn , ϕ)
n
Observable ↔ selbstadjungierte Operatoren A † = A
Messwerte = Eigenwerte sind reell
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
Vollständigkeit: die eigentlichen und uneigentlichen Eigenvektoren spannen den ganzen HilbertRaum auf.
Erwartungswerte:
(ψ, Aψ)
A und B sind verträglich (kommensurabel)
Kommutator
[A, B] = AB − BA,
⇔
AB − BA = 0
Born-Jordan:
Allgemeine Unschärferelation: ∆A · ∆B ≥
1
2
[P j , Qk ] =
h̄
δjk 1
i
|h [A, B] i|
Drehimpuls
Drehimpuls-Operator:
~ 2 ϕlm = h̄2 l(l + 1)ϕlm ,
L
Bahndrehimpuls:
~ =Q
~ × P~ ,
L
[Li , Lj ] = ih̄εijk Lk
L3 ϕlm = h̄m ϕlm
mit l ∈ {0, 21 , 1, . . . },
m ∈ {l, l − 1, . . . , −l}
l ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }
Teilchen im Zentralpotenzial:
ψ(~r ) = f (r) Y l,m (ϑ, ϕ)
Radiale Schrödinger-Gleichung:
h̄2 ∂ 2
h̄2 l(l + 1)
−
+
+ V (r) u(r) = Eu(r),
2m ∂r 2
2mr 2
u ∼ r l+1 für r → 0
Zweiatomige Moleküle:
E ≈ V (rl ) +
wobei u(r) = rf (r)
h̄2 l(l + 1)
+ h̄ωl (n + 12 )
2mrl2
Wasserstoff-Atom
V (r) = −
e20 1
,
4πε0 r
Hϕn l m = En ϕn l m ,
En = −
me40
1
2 n2 ,
2
2(4πε0 ) h̄
l ≤ n − 1,
|m| ≤ l
Spin
~ = h̄ ~σ ,
S
2
0 1
1 0
σ1 =
Spinor-Wellenfunktionen:
Pauli-Term:
HSpin = −
!
,
0 −i
i
0
σ2 =
ψ+ (~r, t)
ψ− (~r, t)
!
,
σ3 =
!
1
0
0 −1
!
eh̄
~
~σ · B
2m
Mehrere Teilchen
Ausschließungsprinzip (Pauli-Verbot): Jeder Ein-Teilchen-Zustand kann höchstens von einem
Elektron besetzt werden.
Pauli-Prinzip: Die Wellenfunktion eines Systems von Elektronen ist total antisymmetrisch.
Orthohelium: Gesamtspin 1, Ortsfunktion antisymmetrisch
Parahelium: Gesamtspin 0, Ortsfunktion symmetrisch, Grundzustand
Näherungsmethoden
Zeitunabhängige nichtentartete Störungstheorie:
H = H0 + λH1 ,
En = En0 + λEn1 + . . . ,
Feinstruktur des Wasserstoff-Spektrums:
(
!)
2
n
α2 3
2 α
−
1− 2
Enj = −mc
2n2
n
4 j + 12
Ritz’sches Variationsverfahren:
E 0 = inf
ψ
En1 = hn0 |H1 |n0 i
mit
α=
hψ|H|ψi
hψ|ψi
e20
h̄c(4πε0 )