Blatt 8 - Uni Regensburg/Physik

WS 2016/2017
Universität Regensburg
Institut I - Theoretische Physik
Prof. Dr. Ferdinand Evers, Dr. Daniel Hernangómez
Lars Milz, Phillipp Reck, Matthias Stosiek
http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/evers/courses/qmech.phtml
Blatt 8
“Übungen zur Theoretische Physik II Quantenmechanik für LA und Nanoscience”
Diskussion: 14/15 December 2016
1 Spin 1/2 Teilchen in konstanten Magnetfeldern
(11 Punkte)
Der Hamiltonoperator für die Wechselwirkung eines freien Spins S = 1/2 mit einem äußeren
Magnetfeld is gegeben durch
Ĥ = −µ̂ · B,
wobei µ̂ den Operator des magnetischen Momentes bezeichnet, der durch µ̂ := gµB Ŝ
definiert ist. g ist der sogenannte g-Faktor, µB das Bohr’sche Magneton und die Komponenten von Ŝ = σ/2 sind Spin-Operatoren.
a) Berechnen Sie die Eigenwerte des Hamiltonoperators für den Fall eines räumlich konstanten (und zeit-unabhängigen) Magnetfeldes, B = B n̂, das in eine beliebige Richtung n̂ =
(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ) zeigt.
b) Berechen Sie die Eigenvektoren ξ± . Wie entwickeln Sie sich mit der Zeit?
c) Werten Sie den Erwartungswert und die Varianz der Operatoren Ŝ2 und Ŝα mit α ∈ {x, y, z}
in den Zuständen ξ± (t) aus. Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse.
Hinweis: Benutzen Sie die Matrixdarstellung der Operatoren oder drücken Sie die Operatoren durch Auf- und Absteigeoperatoren aus.
2 Ising Magnet im gleichförmigen Magnetfeld
(14 points)
Betrachten Sie den folgenden Hamiltonoperator
Ĥ = −~ΩŜ2z − µ̂ · B,
der einen Isingmagnet in Anwesenheit eines gleichförmigen (und zeit-unabhängigen) Magnetfeldes B = B n̂ beschreibt. Hier ist Ω ein Parameter und µ̂ ist der Operator des magnetischen
Momentes, definiert in Aufgabe 1 .
a) Nehmen Sie an, dass das Magnetfeld in die ẑ-Richtung zeigt, n̂ = ẑ. Berechnen Sie das
Energiespektrum und die Eigenzustände des Hamiltonoperators.
b) Nehmen Sie zudem an, dass sich der Spin in folgendem Anfangszustand befindet1 :
ψx+
1
=√
2
!
1
.
1
Wie entwickelt sich dieser Zustand mit der Zeit? Diskutieren Sie Ihr Ergebnis.
c) Betrachten Sie nun den Fall, dass das Magnetfeld in x̂-Richtung zeigt, n̂ = x̂. Wiederholen
Sie die Rechnung von Teil a). Wie entwickelt sich der Zustand 2
ψz+ =
!
1
,
0
mit der Zeit?
d) Berechnen Sie die zeit-abhängigen Erwartungswerte der Operatoren Ŝ2 und Ŝα mit α ∈
{x, y, z} in den Quantenzuständen von Teil b) und c).
3∗ Drehimpuls-Leiter-Operatoren: Algebraische Herangehensweise (12 Bonuspunkte)
Basierend auf F. Schwabl, Quantenmechanik (Band 1), Abschnitt 5.2.
Es sei L̂ der, aus der Vorlesung bekannte, Drehimpulsoperator, L̂ = −ir̂ × ∇r , der auch auf
Blatt 6 untersucht wurde. Erinnern Sie sich daran, dass die Komponenten dieses Operators die kanonischen Vertauschungsrelationen [L̂x , L̂y ] = iL̂z (und zyklische Permutationen
davon) erfllen.
a) Definieren Sie die Auf- (+) und Absteigeoperatoren (−), L̂± = L̂x ± iL̂y . Zeigen Sie, dass
* L̂†± = L̂∓ .
* [L̂2 , L̂α ] = 0 mit α ∈ {x, y, z}.
* [L̂z , L̂± ] = ±L̂± .
* L̂2 − L̂2z = L̂∓ L̂± ± L̂z .
b) Aus der Vorlesung wissen wir, dass L̂2 and L̂z gleichzeitig diagonalisiert werden können, da
sie kommutieren. Bezeichnen Sie die zu dieser (Eigen-)Basis gehörigen Zustände mit ψl,m ,
sodass L̂2 ψl,m = l(l + 1)ψl,m und L̂z ψl,m = mψl,m mit l ≥ 0.
* Beweisen Sie, dass der Zustand L̂± ψl,m ein Eigenzustand des Operators L̂z mit Eigenwerten m ± 1 ist.
* Beweisen Sie auf die gleiche Weise, dass der Zustand L̂± ψl,m ein Eigenzustand des
Operators L̂2 mit Eigenwert l(l + 1) ist.
1
Anmerkung: Beachten Sie, dass dieser Zustand ein Eigenzustand des Spin-Operators Ŝx ist, mit Eigenwert
~/2
2
Anmerkung: Beachten Sie, dass dieser Zustand ein Eigenzustand des Spin-Operators Ŝz ist, mit Eigenwert
~/2.
Hinweis: Benutzen Sie die Kommutatoren aus Teil a).
c) Berechnen Sie die Norm des Zustands L̂± ψl,m und zeigen Sie, dass
L̂± ψl,m =
p
l(l + 1) − m(m ± 1)ψl,m±1 .
Überprüfen Sie, dass aus der Tatsache, dass die Norm positiv definit ist, folgt, dass m
beschränkt ist, |m| ≤ l.
d) Beweisen Sie durch Anwendung von L̂± auf die Zustände ψl,m , dass ∃ mmax sodass mmax = l
und dass L̂+ ψl,l = 0. Beweisen Sie gleichermaßen, dass ∃ mmin sodass mmin = −l und dass
L̂− ψl,−l = 0. Folgern Sie daraus, dass l halb- oder ganzzahlig sein muss, indem Sie die Leiter
von Zuständen von unten nach oben ( oder von oben nach unten) “durchklettern”.
Weiterführende Literatur: F. Schwabl, Quantenmechanik (Band 1), Kapitel 9.