Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes
Prof. Dr. Ludger Santen
®
©
Übungen zur Theoretischen Physik V
(Quantenmechanik+Statistische Physik II)
WS 2008/09, Blatt 9
­
ª
1. Aufgabe: Dirac-Matrizen
Im folgenden verwenden wir die kovariante Schreibweise. Lateinische Indizes stehen für
Raum-Komponenten i = 1, 2, 3, wohingegen griechische Indizes Raum-Zeit-Komponenten
µ = 0, ..., 3 bezeichnen. g νµ ist der metrische Tensor des Minkowskiraumes, I die Einheitsmatrix. Es wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.
Die Dirac-Matrizen sind definiert als
γ 0 = β;
γ i = βαi
(1)
a) Geben Sie diese Matrizen konkret an.
b) Zeigen Sie explizit folgende Relationen:
(i) γ 0 ist hermitesch, γ i sind antihermitesch
(ii) (γ 0 )2 = I, (γ i )2 = −I
(iii) γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν I
c) Zeigen Sie, dass sich mit den Dirac-Matrizen die kovariante Form der Dirac-Gleichung
ergibt:
i} γ ν ∂ν ψ = mc ψ
(2)
2. Aufgabe: Kontinuitätsgleichung
Leiten Sie aus der Klein-Gordon- bzw. Diracgleichung in Ortsdarstellung die Kontinuitätsgleichung
in der Form ρ̇(x, t) + ∇j(x, t) = 0 her. Multiplizieren Sie dazu beide Gleichungen mit ψ ∗
bzw. ψ † und subtrahieren Sie jeweils die komplex- bzw. hermitesch konjugierten Gleichungen. Wie lauten jeweils die Dichte ρ(x, t) und die Stromdichte j(x, t)? Kann man ρ
in beiden Fällen als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren?
1
3. Aufgabe: Eigenzustände im homogenen Magnetfeld
a) Zeigen Sie, dass
}q
B,
(3)
c
wobei B das magnetische Feld, sowie A das Vektorpotential sind, und π = p − qc A.
(σπ)2 = π 2 −
Achtung: Bedenken Sie, dass in der Operatorschreibweise die Operatoren immer streng
von rechts nach links ausgewertet werden.
a) Zeigen Sie, dass die beiden Operatoren
X̂ :=
1
qB
(cp̂x +
ŷ)
qB
2
und P̂ :=
p̂y −
qB
x̂
2c
(4)
kanonisch konjugiert sind, d.h. [X̂, P̂ ] = }/i. Damit sind diese Operatoren äquivalent zum
gewöhnlichen Orts- bzw. Impulsoperator.
b) Bestimmen Sie die Energie-Eigenwerte eines relativistischen Teilchens in einem Magnetfeld, das durch das Vektorpotential


−y
B
(5)
A(x) =  x 
2
0
bestimmt ist (elektrostatisches Potential φ = 0). Gehen Sie davon aus, dass sich der
Zustand in einem Eigenzustand zu σz befindet.
Hinweis: Orientieren Sie sich an der Vorgehensweise in der Vorlesung für den nichtrelativistischen Grenzfall. Nutzen Sie die Ergebnisse aus (a) und (b) um die Diracgleichung
auf die Schrödingergleichung eines harmonischen Oszillators zurückzuführen.
2