¨Ubungsblatt 3
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Übungen Analysis (Mathematik 2 für Informatiker)
Wintersemester 2015
Übungsblatt 3
Besprechung am 29.10.2015
Aufgabe 1 Zeigen Sie: ∀n ∈ N0 ∀x ∈ [−1, ∞) : (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Aufgabe 2 Beweisen Sie: ∀ε > 0 ∃n ∈ N ∀k ≥ n :
1
k
< ε.
Aufgabe 3 Für einen Punkt a = (a1 , a2 ) der Ebene R2 und eine reelle Zahl r > 0 bezeichne
Ur (a) die offene Kugel vom Radius r um a
p
Ur (a) = {x ∈ R2 | (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < r}.
Zeigen Sie, dass es um jeden Punkt x ∈ Ur (a) eine offene Kugel um x mit Radius ε > 0
gibt, die ganz in Ur (a) enthalten ist, dass also gilt
∀x ∈ Ur (a) ∃ε > 0 : Uε (x) ⊆ Ur (a).
Aufgabe 4 Es sei n > 0 und x = (x
Ppositiver reeller
Q1 , . . . , xn ) eine endliche Folge strikt
Zahlen (xi > 0) mit der Eigenschaft ni=1 xi = 1. Zeigen Sie, dass dann ni=1 xi ≥ n gilt.
Aufgabe 5 Es sei x = (x1 , . . . , xn ) (n > 0) eine endliche Folge reeller Zahlen mit xi ≥ 0
(1 ≤ i ≤ n). Beweisen Sie die Ungleichung
v
u n
n
X
uY
n
t
xi ≤
xi
n·
i=1
i=1
Aufgabe 6 Es seien n > 0 eine natürliche Zahl und x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) zwei
endliche Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie
n
X
i=1
xi y i
2
≤
n
X
i=1
x2i ·
n
X
i=1
yi2
