6.¨Ubung Algebraische Zahlentheorie II
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6. Übung Algebraische Zahlentheorie II
Prof. Dr. Nebe
(WS 11/12)
Aufgabe 16.
Ein Absolutbetrag eines Schiefkörpers K ist eine Funktion
| · | : K → R mit
(i) |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇔ x = 0. (ii) |xy| = |x||y|. (iii) |x + y| ≤ |x| + |y|.
Zwei Beträge | · |1 und | · |2 heissen äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie
definieren.
(a) Zeigen Sie: | · |1 und | · |2 sind genau dann äquivalent, wenn es ein s ∈ R>0
gibt mit |x|1 = |x|s2 für alle x ∈ K.
(b) Zeigen Sie: | · |1 und | · |2 sind genau dann äquivalent, wenn für alle x ∈ K
gilt |x|1 < 1 ⇒ |x|2 < 1.
(c) (Der schwache Approximationssatz) Sind |·|i paarweise inäquivalente Beträge
von K (i = 1, . . . , n) und a1 , . . . , an ∈ K gegeben, so gibt es zu jedem > 0 ein
x ∈ K mit |x − ai |i < für alle i = 1, . . . , n.
(Hinweis: Kap. II Abschnitt 3 in Neukirch, algebraische Zahlentheorie.)
(d) Verschiedene Stellen eines algebraischen Zahlkörpers K definieren inäquivalente
Beträge.
(e) Der (sehr) starke Approximationssatz sagt aus, dass für globale Körper K
unter der Voraussetzung von (c) und der zusätzlichen Annahme, dass | · |0 eine
von | · |1 , . . . , | · |n verschiedene Stelle von K gegeben ist, ein x ∈ K gefunden
werden kann, das |x − ai |i < erfüllt für alle i = 1, . . . , n und |x|k ≤ 1 für alle
Stellen | · |k 6= | · |i (i = 0, . . . , n), also x ganz ist bei allen anderen Stellen (ausser
einer vorgegebenen | · |0 ).
Aufgabe 17. (Steinitzinvariante) R sei ein Dedekindbereich, Ji , Ik gebrochene Ideale. Dann gilt:
J1 ⊕ . . . ⊕ Jn ∼
= I1 ⊕ . . . ⊕ Im ⇔ n = m und J1 · · · Jn ∼
= I1 · · · Im
in der Idealklassengruppe von R. Folgern Sie, dass die multiplikative Idealklassengruppe von R und die additive Idealklassengruppe von R isomorph sind.
Aufgabe 18.
Sei L/K eine endliche Erweiterung algebraischer Zahlkörper,
R = ZK , S = ZL . Sei Λ eine Maximalordnung in einer zentral einfachen
L-Algebra A. Für ein Primideal P R sei P S = P1e1 · · · Pded . Sei ℘i das
i
Primideal von Λ das Pi Λ enthält. Dann ist Pi Λ = ℘m
wobei ÂPi = Diki ×ki und
i
Qd
ei mi
2
[Di : LPi ] = mi . Weiter ist P Λ = i=1 ℘i
und
Λ# := {a ∈ A | trace(aΛ) ⊆ S} =
Y
i
℘1−m
Λ
i
Pi max S
Abgabe: Freitag, den 2.12.2011, in der Vorlesung 10:00 Uhr im Hörsaal III.
