Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik I

Prof. C. Hesse
Dr. B. Götz
Dr. A. Meister
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 4
Höhere Mathematik I
13.11.06
el, geod, kyb, phys
Aufgabe 18.
a) Zeigen Sie: Für x1 , x2 ∈ R, x1 , x2 > 0 und x1 x2 = 1 gilt x1 + x2 ≥ 2.
b) Es sei 0 < a < 1 < b ⇒ ab ≤ a + b − 1.
Hinweis: Betrachten Sie den Term (1 − a)(b − 1).
c) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
Für x1 , x2 , . . . xn mit x1 x2 · · · xn = 1 gilt
n
X
xk ≥ n.
k=1
Hinweis: Setzen Sie bei der Induktion xn xn+1 = yn und überlegen Sie, dass o.B.d.A (ohne
Beschränkung der Allgemeinheit) 0 < xn < 1 < xn+1 gilt.
d) Folgern Sie daraus, dass für n Zahlen ak ≥ 0 (k = 1, 2, . . . , n)
v
u n
n
uY
√
1X
n
n
t
ak ≤
ak
a1 · a2 · · · an =
n k=1
k=1
gilt, d.h. das geometrische Mittel von n positiven Zahlen ist immer kleiner oder gleich als
das arithmetische Mittel dieser Zahlen.
ai
Hinweis: Setze xi = √
.
a1 a2 · · · an
Aufgabe 19. Reelle Zahlen r ∈ R können als nicht abbrechende Dezimalzahlen dargestellt werden.
Für 0 < r < 1 schreiben wir r = 0.a1 a2 a3 . . . mit 0 ≤ ai ≤ 9.
Wir wollen zeigen: Wenn diese Darstellung periodisch ist (r = 0.a1 a2 . . . an ), so ist die zugehörige
p
Zahl rational, kann also als Bruch dargestellt werden.
q
a) Wie lauten die Dezimalzahlen von
1
,
3
1
,
11
1
?
7
Stellen Sie die zugehörigen Dezimalzahlen als (unendliche) Summen in der Form
b
b
b
+ 2n + 3n + . . . mit geeignetem n ∈ N∗ dar.
n
10
10
10
N
X
1
1
b) Begründen Sie: Für n ∈ N gilt
→ n
für N → ∞.
kn
10
10
−
1
k=1
∗
Hinweis: Die Argumentation ist analog zu Aufgabe 9.
c) Welche rationale Zahl wird demnach durch 0.a1 a2 . . . an dargestellt?
Verifizieren Sie damit die Ergebnisse von a).
1
Aufgabe 20 (schriftlich) Gegeben sei das normierte Polynom
p(z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ,
z∈C
Bei vielen Anwendungen ist es wichtig, eine obere Schranke R für die Lage der Nullstellen in C
angeben zu können, d.h. wir suchen eine Konstante R mit der Eigenschaft
| z| > R =⇒ p(z) 6= 0 .
Zunächst schreiben wir p(z) in der Form p(z) = z n (1 +
a) Bergünden Sie: | an−1
+ ··· +
z
a0
|
zn
an−1
z
+ ··· +
a0
),
zn
(z 6= 0).
< 1 =⇒ p(z) 6= 0.
b) Es sei A = max |ak | (die größte der Zahlen |a0 |, . . . , |an−1 |).
0≤k≤n−1
¯
¯
¯ ¯
¯ + · · · + ¯ an0 ¯, dass R = 1 + A eine mögliche obere
Zeigen Sie durch Abschätzung von ¯ an−1
z
z
Schranke ist (Aufgabe 9 kann hilfreich sein).
c) Nun sei p(z) ein nicht unbedingt normiertes Polynom. Geben Sie mit Hilfe von b) eine obere
Schranke R für die Nullstellen dieses Polynoms an.
Aufgabe 21. Bestimmen Sie Supremum und Infimum der Mengen {an : n ∈ N∗ } mit
(
n für n ≤ 1000
1
für n > 1000
n
a)
1
an = (−1)n (2 + ),
n
b)
c)

(−1)n

 2+
für n = 2, 4, 6, . . .
n
an =
n

 −1 + (−1) für n = 1, 3, 5, . . .
n
d) an = sin(
an =
,
1
πn
)+ .
4
n
Aufgabe 22. Bestimmen Sie jeweils Real– und Imaginärteil sowie Betrag und Argument der
folgenden komplexen Zahlen:
µ
¶7
1 − i 1 − 3i
1+i
8i + 9
2i
3 + 4i
a)
−
b)
−
−
c)
1+i
1+i
1 + 2i 1 + i
i
1−i
·
¸4
1
(2 + i)(1 + i)(1 + 2i)
d) √ (1 + i)
e)
(1 + i)2
2
Aufgabe 23.
a) Bestimmen Sie für c = cr +ici ∈ C alle Lösungen der Gleichung z 2 = c in der Form z = x+iy.
b) Bestimmen Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung
z 2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 .
2