Mathematische Grundlagen Blatt 2

Mathematische Grundlagen
Blatt 2
I. Köster
WS 2015/2016
F. Stoll
Gruppenübungen am 21.10.2015
Definition: Ein Monoid (M, ·) ist eine Menge M mit einer zweistelligen Verknüpfung · : M × M → M ,
(a, b) 7→ a · b, sodass · assoziativ ist, d.h.
∀a,b,c∈M : (a · b) · c = a · (b · c),
und ein neutrales Element e existiert, d.h.
∃e∈M ∀a∈M : e · a = a · e = a.
Eine Gruppe (G, ·) ist ein Monoid G, sodass zusätzlich für alle g ∈ G ein Inverses h existiert, d.h.
∀g∈G ∃h∈G : h · g = g · h = e.
Eine Gruppe (G, +) heißt abelsch, falls · kommutativ ist, d.h. ∀g,h∈G : g · h = h · g.
Ein Ring (R, +, ·) ist eine Menge R mit zwei zweistelligen Operatoren, sodass (R, +) eine abelsche Gruppe
ist, (R, ·) ein Monoid ist und zusätzlich die Distributivgesetze gelten, d.h.
∀a,b,c∈R : a · (b + c) = a · b + a · c, (a + b) · c = a · c + b · c.
Ein Ring (K, +, ·) heißt Körper, falls (K\{0}, ·) eine abelsche Gruppe ist.
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Teilmenge R ⊆ M × M , welche folgende Bedingungen
erfüllt:
∀m∈M : (m, m) ∈ R,
∀a,b∈M :(a,b)∈R : (b, a) ∈ R,
∀a,b,c∈M :(a,b)∈R,(b,c)∈R : (a, c) ∈ R.
Die Menge [a]R := { x ∈ M : (a, x) ∈ R } heißt Äquivalenzklasse von a.
Aufgabe V 2.1
a) Zeigen Sie, dass die natürlichen Zahlen (N ∪ {0}, ·) mit der Multiplikation ein Monoid sind.
b) Zeigen Sie, dass die ganzen Zahlen (Z, +) mit der Addition eine abelsche Gruppe sind.
Aufgabe V 2.2
a) (59 + 97) mod 9,
d) (137 · 25) mod 7,
Berechnen Sie:
b) (50 + 52) mod 9,
e) (74 · 39) mod 7,
c) (−4 + 88) mod 9,
f) (4 · 221) mod 7.
Aufgabe V 2.3
Sei n ∈ N. Sei a + nZ := { k ∈ Z : k ≡ a mod n } = { a + kn : k ∈ Z } die sogenannte
Restklasse von a modulo n. Zeigen Sie, dass R := { (a, b) ∈ Z × Z : a ≡ b mod n } eine Äquivalenzrelation
ist und a + nZ gerade die Äquivalenzklassen sind.
Die Menge Z/nZ := { a + nZ | a ∈ {0, 1, . . . , n − 1} } heißt Restklassenring von Z modulo n. Zeigen Sie, dass
(Z/nZ, +, ·) mit (a + nZ) + (b + nZ) := (a + b) + Z und (a + nZ) · (b + nZ) := (a · b) + Z ein Ring ist. Ist
Z/nZ auch ein Körper?
Aufgabe V 2.4
Seien X und Y (beliebige) Mengen und sei f : X → Y eine Abbildung von X nach
Y . Wir bezeichnen mit f −1 (C) := {x ∈ X : ∃c∈C⊆Y : f (x) = c } das Urbild von C ⊆ Y . Zeigen Sie:
a) ∀A,B⊆X : f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
b) ∀A,B⊆X : f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B),
c) f injektiv ⇔ ∀A,B⊆X : f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B),
d) ∀V ⊆Y : f (f −1 (V )) ⊆ V ,
e) ∀V,W ⊆Y : f −1 (V ∩ W ) = f −1 (V ) ∩ f −1 (W ).
Geben Sie eine Funktion g : T → S mit f (A ∩ B) 6= f (A) ∩ f (B) für geeignete Mengen S und T und
A, B ⊆ T an.
Aufgabe V 2.5
Stellen Sie ⇒ und ⇐⇒ ausschließlich mit ∧ dar.