Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Σ Punkte 4 4 6 4 2 4 24 Punkte erreicht

Prof. Dr. R. Huber
M.Sc. M. Kuschkowitz
SoSe 2011
Klausur zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie“
”
16.7.2011
Name:
Matrikelnummer:
Studiengang:
Note:
Aufgabe
1 2 3 4 5 6 Σ
Punkte
4 4 6 4 2 4 24
Punkte erreicht
Bemerkungen und Hinweise:
• Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
• Die Klausur ist mit 12 erreichten Punkten bestanden.
• Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Insbesondere also keine Bücher,
Vorlesungs- bzw. Übungsmitschriften und sonstige Aufzeichungen sowie
elektronische Hilfsmittel wie z.B.Taschenrechner und Handys. Mitgebrachte Handys müssen vor Beginn der Klausur ausgeschaltet werden.
• Die Antworten und Lösungen der Aufgaben sind zu begründen.
• Bitte schreiben Sie die Lösung jeder Aufgabe auf ein eigenes Blatt.
• Schmierzettel“ und Nebenrechnungen müssen nicht mit abgegeben
”
werden.
• Bitte halten Sie Personalausweis und Immatrikulationsausweis bereit.
• Dieses Deckblatt geben Sie mit Ihren Lösungen ab.
Aufgabe 1. (4 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungsmenge L ⊂ Z des Systems
von Kongruenzen
4x ≡ 3 (mod 15)
15x ≡ 9 (mod 9)
x ≡ 10 (mod 4).
Aufgabe 2. (1 + 2 + 1 = 4 Punkte)
i) Die Gruppe ((Z/29Z)∗ , ·) ist zyklisch. Geben Sie einen Satz aus der
Vorlesung an, der diese Aussage garantiert.
ii) Zeigen Sie, dass [2]11 ein Erzeuger der Gruppe ((Z/11Z)∗ , ·) ist.
iii) Geben Sie ein Element der Ordnung 5 der Gruppe ((Z/11Z)∗ , ·) an.
Aufgabe 3. (2 + 2 + 2 = 6 Punkte)
i) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung
x2 = [30]91
in dem Ring Z/91Z.
ii) Welche der folgenden Gleichungen in dem Ring Z/mZ
mit m = 193 · 43 ist lösbar? Geben Sie bei Lösbarkeit die entsprechende
Anzahl der Lösungen an.
a) x2 = [11]m .
b) x2 = [43]m .
Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei a ∈ Z ein Quadrat und eine Kube, d.h. es
existieren ganze Zahlen x, y ∈ Z mit a = x2 und a = y 3 . Zeigen Sie, dass gilt
a ≡ 0 (mod 7) oder a ≡ 1 (mod 7).
Aufgabe 5. (2 Punkte) Seien a, b, c ∈ Z und sei m ∈ N. Zeigen Sie, dass in
dem Ring Z/mZ die Gleichung
[a]m x + [b]m y = [c]m
genau dann eine Lösung (x, y) ∈ Z/mZ×Z/mZ besitzt, wenn ggT(a, b, m) | c
gilt.
Aufgabe 6. (4 Punkte) Welche der folgenden Aussagen ist wahr, welche
falsch? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
i) Gilt für a, b ∈ N, dass ggT(a, b) = p ∈ P prim, so ist ggT(a2 , b2 ) = p2 .
ii) Gilt für a, b ∈ N, dass ggT(a, b) = p ∈ P prim, so ist ggT(a2 , b3 ) = p2 .
iii) Sind a, b ∈ Z und c, m ∈ N mit
ac ≡ bc (mod cm),
so gilt
a ≡ b (mod m).
iv) Für m ∈ N und a ∈ (Z/mZ)∗ ist die Abbildung
Z/mZ → Z/mZ
x
7→
ax
injektiv.