Einführung in die Algebra

A
Fachbereich Mathematik
Prof.Dr. Christian Herrmann
Stefan Reiter
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
WS04/05
18.01.04
Einführung in die Algebra
12. Übungsblatt (Lösungshinweise)
(A 1)
1. Da die von den Spalten von A erzeugte Untergruppe gleich der den Spalten von AT
erzeugte Untergruppe ist und AT = SD bilden die Spalten von S die gesuchte Basis
f1 , . . . , f4 (erzeugen offensichtlich Z4 ) und die Zahlen di sind die Einträge von D
2.
(a) Da
G∼
= Z/(d1 ) × . . . × Z/(d4 ) ∼
= Z2 × Z6 × Z
ist und 2 und 6 nicht teilerfremd sind, ist dies die gesuchte Zerlegung.
(b) Es ist
G∼
= Z2 × Z6 × Z ∼
= Z2 × Z2 × Z3 × Z
3. Ax = 0 genau dann, wenn DT −1 x = 0. Folglich ist

1

−2
{x ∈ Z4 | Ax = 0} = {z 
 −1
−3


 | z ∈ Z}

4. Es sei Ax0 = b, dann gilt
{x ∈ Z4 | Ax = b} = x0 + {x ∈ Z4 | Ax = 0}
Dabei gilt
DT x0 = S −1 b = (2, 2, −6, 0)T ,
somit erfüllt T x0 = (2, 1, −1, 0)T die Gleichung, was x0 = (−8, 0, −1, 4)T ergibt.
(A 2) Nach dem Invariantenteilersatz existieren invertierbare ganzzahlige Matrizen S und
T mit S −1 AT = D Diagonalmatrix (mit Nullspalten). Das Gleichungssystem ist äquivalent
zu
S −1 AT T −1 x = S −1 b,
also zu Dx0 = b0 mit x = T x0 und b0 = S −1 b. Es seien d1 | . . . | dk die von Null verschidenen
Einträge von D. Dann ist das Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn
di | b0i , i = 1, . . . , k, und b0i = 0, i > k
Die Lösungsmenge ist dann
{T x0 | x0i = b0i /di , und x0i beliebig für i > k}
(A 3)
1. Wir zeigen zunächst, dass P ∩ Q = 0 ist. Es sei m ∈ P ∩ Q. Dann gilt qm = 0
und pm = 0. Wegen GT T (q, p) = 1 gibt es r, s ∈ K[x] mit 1 = rp + qs. Folglich ist
m = 1 · m = (rp + qs)m = rpm + sqm = 0.
Da m ∈ M sich schreiben lässt als f v = 1 · f v = (rp + qs)f v = (rp)f v + (qs)f v =
rf (pv)+sf (qv) ∈ Q+P mit f ∈ K[x], folgt die Behauptung. Insbes. ist pv, xpv, . . . xm−1 pv
eine Basis von Q und qv, xqv, . . . q n−1 pv eine Basis von P
2. Es sei GGT (r, p) = 1. Es sei n ∈ N mit rn = 0. Wegen n = f (qv) für ein f ∈ K[x]
mit Grad(f ) < n gilt 0 = rf qv genau dann, wenn pq | rf q gdw. p | rf gdw. p | f , da
GGT (r, p) = 1 ist. Wegen Grad(p) > Grad(f ) ist f = 0. Dies zeigt die Behauptung, da
P ein endlicher dimensionaler K-Vektorraum ist und somit aus injektiv auch surjektiv
folgt.
Gilt GGT (p, r) = f dann ist 0 6= (p/f )qv ∈ ker(φr ).
3. r operiert genau dann nilpotent, falls 0 = rn P und somit 0 = rn qv für ein n ∈ N.
Damit gilt pq | rn q und somit p | rn , da GGT (p, q) = 1.
(A 4) Aus der Diagonalisierung folgt, dass
C[φ] V
= C[x]e3 ∼
= C[x]/(x3 + x2 − 2).
Daher wird C[φ] V zyklisch erzeugt von e3
Matrixdarstellung

0
 1
0
und φ hat bzgl. der Basis e3 , φ(e3 ), φ2 (e3 ) die

0 2
0 0 
1 −1
in Frobenius-Normalform. Zerlegt man das Polynom x3 + x2 − 2 in irreduzible Faktoren, so
gilt (Chin. Restsatz)
C[x]/(x3 + x2 − 2) ∼
= C[x]/(x − 1) × C[x]/(x − i − 1) × C[x]/(x + i − 1)
Folglich lässt sich C[φ] V als direkte Summe C[x]f˜1 ⊕C[x]f˜2 ⊕C[x]f˜3 schreiben, wobei f˜i = fi e3
mit den Bedingungen f1 ≡ 1 mod (x − 1), f1 ≡ 0 mod (x ± i − 1) und f2 ≡ 1 mod (x −
i − 1), f2 ≡ 0 mod (x − 1), f2 ≡ 0 mod (x + i − 1) und f3 ≡ 1 mod (x + i − 1), f3 ≡
0 mod (x − 1), f3 ≡ 0 mod (x − i − 1). Dies ergibt
f1 = c(x2 − 2x − 2), f2 = b(x − 1)(x + i − 1), f3 = a(x − 1)(x − i − 1)
Folglich ist die Jordan-Normalform gleich der Weierstrass-Normalform gleich der Diagonalmatrix


1
0
0
0 
D = 0 i+1
0
0
i−1
mit Basis f˜1 , f˜2 , f˜3 .