Universität Basel Dr. Christine Zehrt Zahlentheorie ¨Ubungsblatt 10

Universität Basel
Dr. Christine Zehrt
Zahlentheorie
6. Mai 2014
Übungsblatt 10
Abgabe: 13. Mai 2014 in der Vorlesung oder bis 12.00 Uhr im Mathematischen Institut
Aufgabe 1
Finde n in N mit n ≤ 24 570 und
n ≡ 12
mod 26 ,
n ≡ 16
mod 27 ,
n ≡ 19
mod 35 .
[Hinweis: n = 12 + 26m ≡ 16 mod 27.]
Aufgabe 2
Seien m1 , m2 in N mit ggT(m1 , m2 ) = d und seien a1 , a2 in Z. Zeige, dass es genau dann ein
n in Z mit
n ≡ a1 mod m1
und
n ≡ a2 mod m2
gibt, wenn a1 ≡ a2 mod d.
[Hinweis: Nutze r, s in Z mit rm1 + sm2 = d.]
Aufgabe 3
∗
Sei G = G(1000) = Z/1000Z und sei Ĝ die Menge aller Charaktere mod 1000.
(a) Berechne |Ĝ|.
(b) Wieviele χ in Ĝ sind reell (d.h. mit χ(Z) ⊂ R)?
[Hinweis: Bemerkung der Aufgabe 3 von Blatt 9 und Satz 10.6.]
Aufgabe 4
∗
Sei G = G(27) = Z/27Z .
(a) Zeige, dass |G| = 18.
(b) Zeige, dass 2 ein Erzeuger der zyklischen Gruppe G ist (d.h. G = {2e | 0 ≤ e < 18}).
(c) Bestimme die Menge Ĝ aller Charaktere mod 27.
(d) Wieviele χ in Ĝ sind reell (d.h. mit χ(Z) ⊂ R)?
(e) Sei χ 6= χ0 reell. Berechne χ(n) für alle 0 ≤ n < 27 mit ggT(n, 27) = 1.
Aufgabe 5
Sei G eine zyklische Gruppe mit |G| = n.
(a) Sei g ein Erzeuger von G. Zeige, dass für 1 ≤ k < n die Ordnung von gk gleich
ist.
n
ggT(n,k)
n
n
und ggT(n,k)
| d. Nutze dabei
[Hinweis: Ist d die Ordnung von gk , zeige, dass d | ggT(n,k)
die folgenden Tatsachen (bekannt aus der Algebra): Ist e die Ordnung von g in G (d.h.
e in N ist minimal mit ge = 1), dann gilt e | |G|. Ist weiter m in N mit gm = 1, dann gilt
e | m.]
(b) Folgere, dass G genau ϕ(n) verschiedene Erzeuger hat (mit ϕ(n) die Eulersche Funktion
definiert als die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen m in N, m ≤ n).
(c) Bestimme alle Erzeuger der zyklischen Gruppe G = G(27) aus Aufgabe 4.