Konkrete Mathematik Aufgabenblatt 5

Diekert, Weiß
Sommersemester 2017
Konkrete Mathematik
Aufgabenblatt 5
Besprechung: 11.07.2017
1. Sei G eine Gruppe. Ein Element a ∈ G heißt “Quadrat”, falls es ein b ∈ G
gibt, sodass a = b2 .
a) Sei p prim. Zeigen Sie:
p−1
(i) a ∈ (Z/pZ)∗ ist ein Quadrat genau dann, wenn a 2 ≡ 1 mod p.
Hinweis: Benutzen Sie, dass (Z/pZ)∗ eine zyklische Gruppe ist.
(ii) −1 ist ein Quadrat in (Z/pZ)∗ genau dann, wenn p ≡ 1 mod 4.
b) Sei nun p prim mit p ≡ 3 mod 4. Beschreiben Sie einen einfachen
Algorithmus zum Wurzelziehen in (Z/pZ)∗ : auf Eingabe von a ∈
(Z/pZ)∗ , berechne b ∈ (Z/pZ)∗ mit b2 = a.
1
2. Geben Sie die Folge zur erzeugenden Funktion f (z) = (1−z)
`+1 an. Berech
nen Sie die erzeugende Funktion von an = n+k
für festes k ∈ N.
k
P
3. Sei f (z) = n≥0 an z n eine erzeugende Funktion der Folge (an )n∈N . Geben
Sie die zugehörigen Folgen zu den folgenden erzeugenden Funktionen an:
a)
1
f (z)
1−cz
0
b) f (z)
c) zf 0 (z)
d)
f (z)+f (−z)
2