Im mefi-Verlag erschienen: 1

Im mefi-Verlag erschienen:
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Eine eigenartige «Mathematik der Spielsteine» entwickelte sich, als die Pythagoreer Zahlen als geometrische Figuren deuteten. Eine neue Welt von
Beziehungen und Zusammenhängen tat sich auf. Dieses Buch gibt einen
guten Einstieg in das spannende Thema Figurenzahlen.
Zentrale Punkte sind:
Anregungen für das Aufsuchen von Bildungsgesetzen bei Folgen, das Beweisen mit vollständiger Induktion, die «Logarithmen für das Volk», Stifels
Wortrechnung und erzeugende Funktionen.
Den Schwerpunkt bilden über 150 teils neuartige Aufgaben mit Lösungen
und viele geschichtliche Hinweise.
Die Unterlagen eignen sich für den Mathematikunterricht, das Selbststudium
oder für Facharbeiten.
Beschreibung:
150 Seiten, über 150 Aufgaben mit Lösungen, Format 17x24 cm, vierfarbig,
ISBN 978-3-9523962-0-9
Kosten:
Fr. 29.50/29 Euro, Versandspesen: Fr. 4.50/3 Euro bei Bestellung im mefiVerlag (Selbstkostenpreis!).
(Im Buchhandel 30% teurer).
Bestellungen:
E-Mail: <mefi>@bluewin.ch (ohne Klammern!), oder
Post: mefi-Verlag Gächter, Krüsistrasse 12, CH-9000 St.Gallen.
Leseprobe:
Inhaltsverzeichnis und Vorwort:
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
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1 Form und Zahl
1.1 Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Figurenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Iranische Kashi und mehr
2.1 Eine bemerkenswerte Folge . . . .
2.1.1 Sona . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Magisches . . . . . . . . . .
2.2 Dem Bildungsgesetz auf der Spur
2.2.1 Explizit . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Rekursiv . . . . . . . . . . .
2.2.3 Differenzenverfahren . . . .
2.2.4 Gleichungssystem . . . . .
2.2.5 Formel von Pick . . . . . .
2.2.6 Varianten . . . . . . . . . .
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3 Schicht um Schicht
3.1 Hausaufgabe für Leibniz . . .
3.2 Unterwegs mit Diophant . . .
3.2.1 Polygonalzahl-Formel
3.2.2 Eine Keimzelle . . . .
3.3 Fermat als Pechvogel . . . . .
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Himmelsleiter
Beweisstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Namensgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Die
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Inhaltsverzeichnis
5 «Logarithmen für das Volk»
5.1 Joncourt’s Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Highlights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Wortrechnung
6.1 Ein göttlich Ding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Die Zahl des Tieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Mathematische Wäscheleine
7.1 Operationen bei erzeugenden Funktionen . . . . . . . . . . .
7.2 Auf der Suche nach erzeugenden Funktionen . . . . . . . . .
7.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Referenzen
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8 Mach’s selber
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9 Lösungen
10 Anhang
10.1 Vorlage für Sona-Gitter . . . . . .
10.2 Mathematiker . . . . . . . . . . .
10.3 Mindmap . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Polygonalzahlen . . . . . . . . . .
10.5 Einige erzeugende Funktionen .
10.6 Zusammensetzspiel . . . . . . . .
10.7 Zusammensetz-Beispiele . . . . .
10.8 Tabelle der Dreieckszahlen . . . .
10.9 Tabelle der Quadratsaumzahlen
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Vorwort
Lebenswahr ist ein Unterricht, der Bedeutungskerne und Zusammenhänge zeigt
und vieles dem Denken der Schüler überlässt.
S. Stirnemann
In der Reihe der Anregungen spielt die vorliegende Publikation über Figurenzahlen in einer spannenden und scheinbar eher einfachen Liga. Was
zunächst sehr anschaulich und oft vertraut daherkommt, erlaubt aber immer
wieder faszinierende Blicke in unerwartete mathematische Tiefen.
Zahlreiche Lernende erhalten einen guten Zugang zur Mathematik über Anwendungen. Es wurde daher sehr viel Wert auf eine reichhaltige Sammlung
solcher Hinweise gelegt.
Das breite Aufgabenmaterial enthält eine Fülle von Anregungen. Mit über
150 zum Teil neuartigen Problemen und Projekten ist es dem obigen Zitat
stark verpflichtet. Oft wird es angebracht sein, sich in die Aufgaben zu
«verbeissen», um zum Erfolg zu kommen.
Argumentieren ist eine nützliche Fähigkeit, welche immer wieder in allen
Schulfächern geübt werden sollte. Die Figurenzahlen bieten für dieses Training ideale Voraussetzungen. Eine Behauptung kann oft auf viele Arten
bewiesen werden. Wichtig ist, die jeweilige Argumentationsbasis herauszuschälen und jene Beweise schätzen zu lernen, bei welchen die Beweisidee
klar zum Ausdruck kommt. Beweise sind nicht dazu da, um das schlechte
Gewissen zu beruhigen, sondern tragen wesentlich zum Verständnis eines
Stoffes und der verwendeten Begriffe bei.
Folgen und Reihen sind eine unverzichtbare Basis für die Analysis. Diese
Publikation bietet dafür einen guten Start. Im Zentrum steht die Ermittlung
von Bildungsgesetzen. Mustererkennung heisst das Stichwort. Diese kann
eine überaus fordernde Aufgabe sein.
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Der Text ist so gestaltet, dass man ohne weiteres auch eine Auswahl treffen
kann. Wichtige Eckpfeiler sind für mich jedoch die vollständige Induktion
und das Differenzenverfahren.
Wegen der immer wieder angesprochenen fundamentalen Ideen, wie zum
Beispiel Zahl, Algorithmus, Zuordnung, finden ausgewählte Teile auch im
normalen Unterricht einen Platz. Dies erlaubt, in unteren Klassen (zum
Beispiel im 9. Schuljahr) zu starten, in den folgenden Jahren immer wieder
auf dieses mehrschichtige Problem zurückzukommen und neue Facetten
kennenzulernen. Eindrücklicher wird das mathematische Erlebnis, wenn die
Figurenzahlen als Repetition oder in Ergänzungsfächern am Stück behandelt
werden.
Es wäre nicht möglich gewesen, über Anregungen zu schreiben, wenn ich
nicht selbst immer wieder solche von überall her hätte empfangen können.
Ein besonderer Dank geht an Daniel Baumgartner für viele gute fachliche
Gespräche.
Mehrschichtige Freude herrsche!
St.Gallen im Frühjahr 2012.
Albert A. Gächter
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