Logik und Diskrete Strukturen Hausübungen 6

Hertrampf/Walter
Wintersemester 2012/13
Logik und Diskrete Strukturen
Hausübungen 6
Abgabe: bis Donnerstag, 10. Januar um 13:10 bei den Abgabekästen im 1. Stock
1. Unifikation
(5 Punkte)
Es sei f : N → N eine Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede endliche unifizierbare
Literalmenge L und für alle L ∈ L
!
X
|Lsub| ≤ f
|L|
L∈L
gilt. Dabei ist |L| die Länge des Literals L, d. h. die Anzahl der Zeichen (Klammern, Variablen, Konstanten-, Funktions- und Prädikatensymbole zählen jeweils als ein Zeichen), und
sub der allgemeinste Unifikator von L.
Zeigen Sie, dass f kein Polynom sein kann.
2. Prädikatenlogische Resolution III
(2+2 Punkte)
a) Begründen Sie ohne explizite Konstruktion einer Formel, dass es eine prädikatenlogische
Formel F gibt mit Resi (F ) 6= Res∗ (F ) für alle i ∈ N.
b) Finden Sie eine möglichst einfache prädikatenlogische Formel F mit Resi (F ) 6= Res∗ (F )
für alle i ∈ N. Begründen Sie Ihre Lösung.
3. Fibonacci-Zahlen
(1+1+2 Punkte)
Die Fibonacci-Zahlen Fi sind definiert durch F0 = 0, F1 = 1 und Fn = Fn−1 + Fn−2 für
n > 1. Zeigen Sie:
Pn
a)
i=1 F2i = F2n+1 − 1.
Pn
b)
i=1 F2i−1 = F2n .
P
c) Jede natürliche Zahl n lässt sich eindeutig zerlegen in eine Summe n = i≥2 ci Fi wobei
ci · ci+1 = 0 und ci ∈ {0, 1} für i ≥ 2.
4. Euklidischer Algorithmus
(2+1+2 Punkte)
a) Finden Sie mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus Zahlen x, y ∈ N mit
35 · x − 56 · y = ggT(35, 56).
a−1 P bi
ab
b) Zeigen Sie: 2 − 1 =
2 (2b − 1).
i=0
n
c) Zeigen Sie: ggT(2 − 1, 2m − 1) = 2ggT(n,m) − 1.
Tipp: Benutzen Sie b) um ggT(2n − 1, 2m − 1) = ggT(2r − 1, 2m − 1) für n = am + r
mit n ≥ m und 0 ≤ r < m zu zeigen.
Hertrampf/Walter
Wintersemester 2012/13
Logik und Diskrete Strukturen
Votierübungen 6
Besprechung: In den Kalenderwochen 3 und 4.
1. Weihnachtsgeschenke
Der Weihnachtsmann bewahrt die Geschenke der Kinder 1, . . . , n in Boxen auf, die ebenfalls mit den Namen 1, . . . , n beschriftet sind. Als der Weihnachtsmann am Wochenende
zur Entspannung vor dem großen Arbeitseinsatz Skifahren war, hat der böse Grinch die
Weihnachtsgeschenke der Kinder vertauscht. Nachdem der Weihnachtsmann am Abend des
23. Dezember vom Skifahren zurückkommt, bemerkt er dies bestürzt. Da die Geschenke
jedoch sehr groß sind, kann man ein Geschenk nur dann in eine Box legen, wenn diese leer
ist. Dazu kann der Weihnachtsmann ein Geschenk auf seinem Arbeitstisch deponieren. Der
Arbeitstisch ist klein und kann nur ein Geschenk lagern. Helfen Sie dem Weihnachtsmann
die Geschenke wieder zu sortieren. Finden Sie dazu einen Algorithmus, der höchstens 32 n
Verschiebeoperationen benötigt. Eine Verschiebeoperation ist dabei entweder das Verschieben eines Geschenkes auf den leeren Arbeitstisch oder das Verschieben eines Geschenkes
vom Arbeitstisch in eine leere Box oder das Verschieben eines Geschenkes von einer Box in
eine andere leere Box.
2. Kombinatorische Interpretation
Beweisen Sie die folgenden Identitäten mit kombinatorischer Interpretation.
a)
n
m
n
n−k
=
m
k
k
m−k
b)
X n k k∈Z
3. System von Kongruenzen
Geben Sie alle Lösungen der folgenden
chungssysteme möglichst geschickt.
a) x ≡ 0 mod 2
b) y ≡ 2
x ≡ 2 mod 4
y≡3
x ≡ 3 mod 5
y≡4
x ≡ 3 mod 7
k
m
n−m
=2
n
m
Systeme von Kongruenzen an. Lösen Sie die Gleimod 3
mod 4
mod 5
c) z ≡ 2 mod 5
z ≡ 5 mod 7
4. Kopfrechnen
Berechnen Sie ohne Taschenrechner 2129 mod 87 und 783 mod 27.