Theorie der quadratischen Formen

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Sven Wagner
Sommersemester 2016
Übungsblatt 3
29.04.2016
Theorie der quadratischen Formen
Alle hier betrachteten Körper haben Charakteristik ungleich 2. Außerdem werden nur endlichdimensionale nicht–ausgeartete quadratische Formen betrachtet.
Aufgabe 3.1:
Welche ganzen Zahlen n mit 1 ≤ n ≤ 20 werden durch h7, 11i über Q dargestellt?
(Hinweis: Zeigen Sie zunächst: Für alle n ∈ N gilt: Falls 0 6≡ n ≡ x2 mod 11 für ein x ∈ N (d.h. n ist quadratischer
Rest modulo 11), so wird n über Q nicht durch h7, 11i dargestellt. Falls 0 6≡ n 6≡ x2 mod 7 für alle x ∈ N (d.h. n
ist kein quadratischer Rest modulo 7), so wird n über Q nicht durch h7, 11i dargestellt.)
Aufgabe 3.2:
Sei F ein Körper, und sei n ∈ N. Seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ F ∗ . Zeigen Sie: Es gilt genau dann
ha1 , . . . , an i ∼
= hb1 , . . . , bn i, wenn (a1 , . . . , an ) durch endlich viele Umformungen der folgenden
Typen in (b1 , . . . , bn ) überführt werden kann:
In (c1 , . . . , cn ) mit c1 , . . . , cn ∈ F ∗
(I) vertausche ci und cj für i, j ∈ {1, . . . , n} mit i 6= j;
(II) ersetze ci durch d2 ci für ein i ∈ {1, . . . , n}, wobei d ∈ F ∗ ;
(III) ersetze ci durch ci + cj und cj durch (ci + cj )ci cj für i, j ∈ {1, . . . , n} mit i 6= j, sodass
ci + cj 6= 0.
Zeigen Sie außerdem, dass man in (I) und (III) o.B.d.A. i ∈ {1, . . . , n − 1} wählen und j durch
i + 1 ersetzen kann.
Aufgabe 3.3:
Untersuchen Sie jeweils, welche der folgenden quadratischen Formen über Q isometrisch sind.
(a) h1, 14i, h3, −5i, h6, 21i, h7, −105i
(b) h1, 2, 3i, h6, 30, 30i
(c) h2, 75, 7, −20i, h7, 8, 9, −10i, h9, 75, −6, 105i, h15, −6, −1, −126i, h−6, 102, 51, 105i
Aufgabe 3.4:
(a) Sei n ∈ Z, und sei m ∈ Z, sodass 4 - m und n = 4r m für ein r ∈ N0 . Zeigen Sie:
Kann n in Z als Summe von drei Quadraten dargestellt werden, so gilt m 6≡ 7 mod 8.
(b) Zeigen Sie, dass 7 in Q nicht als Summe von drei Quadraten dargestellt werden kann.
(c) Zeigen Sie, dass h2, 3, 6i über Q nicht 7 darstellt.
Aufgabe 3.5:
Sei F ein Körper. Zeigen Sie: |W F | < ∞ (der Wittring des Körpers F ist endlich) ⇐⇒ −1 ist
eine Summe von Quadraten in F und |F ∗ /F ∗ 2 | < ∞.
(Hinweis: Die Elemente des Wittrings stehen in Bijektion mit den anisotropen Formen. Zeigen Sie daher zunächst,
dass die eindimensionalen (anisotropen) Formen in Bijektion mit F ∗ /F ∗2 stehen. Überlegen Sie sich ferner: −1 ist
eine Summe von Quadraten ⇐⇒ h1, . . . , 1i ist isotrop für ein n ∈ N.)
| {z }
n–mal
Zusatz: Zeigen Sie: Ist −1 eine Summe von s Quadraten, so gilt sogar |W F | ≤ (s + 1)|F
Abgabe bis Freitag, den 29. April, 10 Uhr (in der Vorlesung).
∗ /F ∗2 |
.