U.16 GM-HM-Ungleichung. Es seien a1,a2,...,an positive reelle

U.16 GM-HM-Ungleichung. Es seien a1 , a2 , . . . , an positive reelle Zahlen. Dann ist das
geometrische Mittel Gn (a1 , a2 , . . . , an ) dieser Zahlen stets größer oder gleich dem
harmonischen Mittel Hn (a1 , a2 , . . . , an ):
1
(a1 a2 · · · an ) n ≥
1
a1
+
1
a2
n
+···+
1
an
oder
Gn ≥ Hn .
Gleichheit liegt genau dann vor, wenn alle ai untereinander gleich sind.
(U.25)
U.16 Beweis: Wir wenden die AM-GM-Ungleichung auf die Reziproken 1/a i an. ¤