¨Ubung zur Vorlesung ” Diskrete Strukturen II“

Timo Kötzing
SS 2014
Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen II“
http://www.theinf.uni-jena.de/Lehre/SS+2014/Diskrete+Strukturen+II-p-174.html
”
Aufgabenblatt 2
Mögliche Lösung der Beweisaufgabe
Theorem 1 Es sei eine unendliche Folge (an )n∈N von Zahlen definiert durch
a0 = a1 = 1;
∀n ≥ 2 : an = 6an−2 − an−1 .
(1)
(2)
Dann gilt
2n+2 + (−3)n
.
5
Beweis. Wir wollen die Aussage mit Induktion zeigen; insbesondere benutzen wir
Abschnittsinduktion. Als Induktionsanfang zeigen wir die Aussage für n ∈ {0, 1}.
Dazu evaluieren wir die Formel wie folgt.
∀n : an =
4+1
20+2 + (−3)0
=
= 1 = a0 ;
(1)
5
5
1+2
1
2
+ (−3)
8−3
=
= 1 = a1 .
(1)
5
5
Mit diesem Induktionsanfang reicht es nun die Behauptung für n ≥ 2 zu zeigen. Sei
also n ≥ 2 gegeben und nehme, als Induktionsvoraussetzung, folgendes an.
2m+2 + (−3)m
.
(IV)
5
Damit können wir nun folgende Gleichungskette aufstellen (wir benutzen die Induktionsvoraussetzung (IV) für zwei Terme, einmal mit m = n − 2 < n und einmal mit
m = n − 1 < n).
∀m < n : am =
an
=
(2)
6an−2 − an−1
2n + (−3)n−2 2n+1 + (−3)n−1
−
(IV)
5
5
n
n−2
n+1
6 · 2 + 6 · (−3)
−2
− (−3)n−1
=
5
2n+1 (3 − 1) + (−3)n−1 (−2 − 1)
=
5
2n+2 + (−3)n
=
.
5
Dies zeigt die gewünschte Gleichung, und induktiv damit die Behauptung.
=
6
1