Kapitel 1 Grundlagen

Kapitel 1
Grundlagen
Zusammenfassung
Algebra und Diskrete Mathematik
WS2012/13
I n h a l t s v e r ze i c h n i s
ZAHLEN ........................................................................................................................................ 3
NATÜRLICHE ZAHLEN ......................................................................................................................... 3
GANZE UND RATIONALE ZAHLEN........................................................................................................... 3
REELLE ZAHLEN ................................................................................................................................ 4
KOMPLEXE ZAHLEN ........................................................................................................................... 5
ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE ..................................................................................................... 6
TEILBARKEIT .................................................................................................................................... 6
PRIMZAHLEN ................................................................................................................................... 6
KONGRUENZEN ................................................................................................................................ 7
RESTKLASSEN .................................................................................................................................. 7
ELEMENTARE AUSSAGENLOGIK .................................................................................................... 8
AUSSAGEN ...................................................................................................................................... 8
ÄQUIVALENTE FORMELN .................................................................................................................... 9
PRÄDIKATENLOGIK ............................................................................................................................ 9
MENGEN .................................................................................................................................... 10
BEGRIFF ....................................................................................................................................... 10
MENGENOPERATIONEN.................................................................................................................... 10
MENGENIDENTITÄTEN ..................................................................................................................... 10
POTENZMENGE .............................................................................................................................. 10
MÄCHTIGKEIT UND ABZÄHLBARKEIT .................................................................................................... 11
RELATIONEN UND FUNKTIONEN ................................................................................................. 11
RELATIONSBEGRIFF ......................................................................................................................... 11
ÄQUIVALENZRELATIONEN ................................................................................................................. 11
HALBORDNUNGEN .......................................................................................................................... 12
FUNKTIONEN ................................................................................................................................. 12
VOLLSTÄNDIGE INDUKTION ........................................................................................................ 13
DEFINITION ................................................................................................................................... 13
BEISPIEL ....................................................................................................................................... 13
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Zahlen
Natürliche Zahlen
Fünf Peano-Axiome





0 ist eine natürliche Zahl
Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger
0 ist nicht Nachfolger
Verschiedene nat. Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger
Jede Eigenschaft die 0 zukommt und sich von jeder natürlichen Zahl auf den Nachfolger überträgt,
kommt allen natürlichen Zahlen zu (Induktionsaxiom)
Eigenschaften




Kommutativgesetz: 𝑛 + 𝑚 = 𝑚 + 𝑛, 𝑛 ∗ 𝑚 = 𝑚 ∗ 𝑛
Assoziativgesetz: (𝑛 + 𝑚) + 𝑘 = 𝑛 + (𝑚 + 𝑘); (𝑛 ∗ 𝑚) ∗ 𝑘 = 𝑛 ∗ (𝑚 ∗ 𝑘)
Distributgesetz: (𝑛 + 𝑚) ∗ 𝑘 = 𝑛 ∗ 𝑘 + 𝑚 ∗ 𝑘
Existenz eines neutralen Elements: 𝑛 + 0 = 0 + 𝑛 = 𝑛, 𝑛 ∗ 1 = 1 ∗ 𝑛 = 𝑛
Ganze und rationale Zahlen
Will man uneingeschränkt subtrahieren, kann es vorkommen, dass das Ergebnis unter 0 liegt. Erweitert man
also die natürlichen Zahlen [0, ∞[ mit ] − ∞, 0[ (jedoch nur alle Zahlen ohne Komma), bekommt man die
Menge der Ganzen Zahlen.
Für die Division benötigen wir jedoch noch eine weitere Zahlengruppe. Die rationalen Zahlen.
Schreibweise rationaler Zahlen: 𝒓 =
𝒎
𝒏
Jede rationale Zahl kann also durch eine Division von zwei ganzen Zahlen (teilerfremd!) ausgedrückt werden. Sie
müssen deshalb teilerfremd sein, da ansonsten als Ergebnis selbst eine ganze Zahl entsteht.
0,333 … =
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Reelle Zahlen
Definition
Alle Zahlen die nicht durch einen Bruch von zwei ganzen, teilerfremden Zahlen dargestellt werden können.
Satz 1.6: Die Dezimalentwicklung einer rationalen Zahl ist entweder endlich oder (schließlich) periodisch. Sie ist
eindeutig, wenn man die (schließliche) Periode 999… ausschließt.
Beispiel √𝟐
𝑎
Verwendung des indirekten Beweises: Angenommen √2 wäre durch mit 𝑎, 𝑏 𝜖 ℤ teilbar
𝑏
√2 =
𝑎
𝑎2
⇔ 2 = 2 ⇔ 𝑎2 = 2 ∗ 𝑏 2 ⇔ 2|𝑎2 ⇔ 2|𝑎
𝑏
𝑏
Hinweis: Die letzten Aussagen sind besser verständlich, wenn man die Primfaktoren von a betrachtet.
Angenommen 𝑎 wäre 12:
12 = 3 ∗ 4 = 3 ∗ 2 ∗ 2 = 3 ∗ 22
Betrachten wir nun 𝑎2 :
122 = 3 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 4 = 3 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 32 ∗ 24
Die Zahlen besitzen die gleichen Primfaktoren, jedoch steigt deren Anzahl mit steigender Potenz an.
𝐺𝑖𝑙𝑡: 2|32 ∗ 24 𝑑𝑎𝑛𝑛 𝑔𝑖𝑙𝑡 𝑛𝑎𝑡ü𝑟𝑙𝑖𝑐ℎ 𝑎𝑢𝑐ℎ 2|3 ∗ 22
𝑎 = 2 ∗ 𝑐 ⇒ 𝑎2 = 4 ∗ 𝑐 2
2=
4 ∗ 𝑐2
⇔ 𝑏 2 = 2 ∗ 𝑐 2 ⇔ 2|𝑏 2 ⇔ 2|𝑏
𝑏2
𝑎 𝑢𝑛𝑑 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝑑 𝑡𝑒𝑖𝑙𝑒𝑟𝑓𝑟𝑒𝑚𝑑, 𝑎𝑛𝑠𝑐ℎ𝑒𝑖𝑛𝑒𝑛𝑑 𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑒 𝑠𝑖𝑐ℎ 𝑗𝑒𝑑𝑜𝑐ℎ 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑡 2 𝑡𝑒𝑖𝑙𝑒𝑛.
√2 𝑘𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ 𝑑𝑖𝑒 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑧𝑤𝑒𝑖 𝑡𝑒𝑖𝑙𝑒𝑟𝑓𝑟𝑒𝑚𝑑𝑒 𝑍𝑎ℎ𝑙𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑡 𝑤𝑒𝑟𝑑𝑒𝑛.
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Komp lexe Za hlen
Die Komplexen Zahlen wurden eingeführt, da sich 𝑥 2 = −1 mit den bisherigen Zahlenmengen nicht lösen lässt.
𝑥 2 = −1 → 𝐸𝑖𝑛𝑓üℎ𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛ä𝑟𝑒𝑛 𝐸𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡 𝑖 → 𝑖 2 = −1
Komplexe Zahlen erweitern die Zahlenebene in eine neue Ebene (Gaußsche Zahlenebene). Die x-Achse
repräsentiert wie gewohnt den Realanteil, der neue Imaginäranteil erweitert die Zahl wie bei Koordinaten in die
Y-Achse.
1.
Schreibweise (kartesisch):
𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃
2.
Schreibweise (Polarform):
𝒛 = [𝒓, 𝝋]
Addition: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝒂 + 𝒄 + 𝒊 ∗ (𝒃 + 𝒅)
Multiplikation: 𝑧1 ∗ 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝒂𝒄 − 𝒃𝒅 + 𝒊 ∗ (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)
= [𝑟1 , 𝝋𝟏 ] ∗ [𝑟2 , 𝝋𝟐 ] = [𝒓𝟏 ∗ 𝒓𝟐 , 𝝋𝟏 + 𝝋𝟐 ]
Division:
𝑧1
𝑧2
=
𝑎+𝑏𝑖
𝑐+𝑑𝑖
=
(𝑎+𝑏𝑖)∗(𝑐−𝑑𝑖)
(𝑐+𝑑𝑖)∗(𝑐−𝑑𝑖)
=
𝑎𝑐+𝑏𝑑−𝑖∗(𝑎𝑑−𝑐𝑏)
𝑐 2 +𝑑 2
=
𝒂𝒄+𝒃𝒅
𝒄𝟐 +𝒅𝟐
−𝒊∗
(𝒂𝒅−𝒄𝒃)
𝒄𝟐 +𝒅𝟐
[𝑟1 , 𝜑1 ]
𝒓𝟏
=
= [ , 𝝋𝟏 − 𝝋𝟐 ]
[𝑟2 , 𝜑2 ]
𝒓𝟐
Konjugiert komplexe Zahl: 𝒛̅ = 𝒂 − 𝒊𝒃
Umrechnung der Schreibweisen
𝑅𝑒(𝑧) = 𝑟 ∗ cos(𝜑)
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2
𝐼𝑚(𝑧) = 𝑟 ∗ sin(𝜑)
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 tan
𝑧 = 𝑟 ∗ (cos(𝜑) + 𝑖 ∗ sin(𝜑))
𝑧 = [√𝑎2 + 𝑏 2 , 𝑎𝑟𝑐 tan ]
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Formeln und Wurzelziehen
Moivre’sche Formel: (cos 𝜑 + 𝑖 ∗ sin 𝜑)𝑛 = cos(𝑛 ∗ 𝜑) + 𝑖 ∗ sin(𝑛 ∗ 𝜑)
Wurzelziehen:
𝑛
𝑛
√𝑧 = [ √𝑟 ,
Grundlagen
𝜑 2𝜋 ∗ 𝑘
𝜑
𝜑 2𝜋
𝜑 2𝜋 ∗ 2
𝑛
𝑛
𝑛
+
] ; 1. 𝐿ö𝑠𝑢𝑛𝑔 = [ √𝑟, ] ; 2. 𝐿ö𝑠𝑢𝑛𝑔 = [ √𝑟 , + ] ; 3. 𝐿ö𝑠𝑢𝑛𝑔 = [ √𝑟, +
];…
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
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E l e m e n ta r e Z a h l e n t h e o r i e
Te i l b a r k e i t
Euklidischer Algorithmus
Algorithmus für das Bestimmen des größten gemeinsamen Teilers (ggT) von zwei ganzen Zahlen.
Beispiel: 𝒂 = 𝟏𝟑𝟑; 𝒃 = 𝟓𝟔
133 = 56 ∗ 2 + 21
56 = 21 ∗ 2 + 14
21 = 14 ∗ 1 + 7
14 = 7 ∗ 2 + 0
Der ggT von 133 und 56 ist 7. Eine weitere Nutzung dieses Verfahrens ist die Liniearkombination.
Beispiel: Man bestimme x und y in der Gleichung 𝟐𝟒𝟑𝒙 + 𝟏𝟗𝟖𝒚 = 𝟗
Euklidischer Algorithmus
243 = 198 ∗ 1 + 45
198 = 45 ∗ 4 + 18
45 = 18 ∗ 2 + 9
18 = 9 ∗ 2 + 0
Linearkombination
9 = 45 − 18 ∗ 2
9 = 45 − (198 − 45 ∗ 4) ∗ 2 = 45 − 198 ∗ 2 + 45 ∗ 8 = 45 ∗ 9 − 198 ∗ 2
9 = (243 − 198) ∗ 9 − 198 ∗ 2 = 243 ∗ 9 − 198 ∗ 9 − 198 ∗ 2
𝟗 = 𝟐𝟒𝟑 ∗ 𝟗 − 𝟏𝟗𝟖 ∗ 𝟏𝟏
Somit ist 𝑥 = 0 und 𝑦 = −11.
Primzahlen
Eine Primzahl lässt sich nur durch sich selber oder 1 teilen.
Jede Natürliche Zahl 𝑎 ≥ 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen.
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Das kann mit dem indirekten Beweis gezeigt werden. Nehmen wir an, es gibt endlich viele Primzahlen und p ist
unsere größte Primzahl. Jetzt betrachten wir r:
𝑟 = 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 ∗ …∗ 𝑝 + 𝟏
Unsere Zahl r ist also das Produkt aller Primzahlen +1. Die neue Zahl r ist durch keine der Primzahlen teilbar (es
bleibt immer 1 Rest).
Entweder es gibt eine größere Primzahl die r teilt, oder r ist selbst eine Primzahl. Beide Möglichkeiten sind
jedoch im Wiederspruch zu der Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt.
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Kongruenzen
Definition
Zwei ganze Zahlen 𝑎, 𝑏 heißen kongruent modulo m, wenn sie bei Division durch 𝑚 denselben Rest lassen, d.h.
wenn 𝒂 𝒎𝒐𝒅 𝒎 = 𝒃 𝒎𝒐𝒅 𝒎.
Man schreibt dafür kurz:
𝒂 ≡ 𝒃 𝒎𝒐𝒅 𝒎
Daraus folgt:
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ⇒ 𝑚|(𝑎 − 𝑏) ⇒ 𝑎 − 𝑏 = 𝑚 ∗ 𝑘
Beispiele
 17 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 7 → 𝑅𝑒𝑠𝑡 3
 7 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 2 → 𝑅𝑒𝑠𝑡 1
 25 ≡ 15 𝑚𝑜𝑑 5 → 𝑅𝑒𝑠𝑡 0
Äquivalenzrelation
≡ ist eine Äquivalenzrelation, denn es gilt
 Reflexivität
 Symmetrie
 Transitivität
Rechenregeln
𝑎 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ⇒ 𝑏 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ∧ 𝑏 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ⇒ 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑚
Zwei gültige Kongruenzen mit dem gleichen Modulo-Teil können beliebig addiert oder multipliziert werden, das
heißt für alle 𝑎, 𝑏, 𝑎′ , 𝑏 ′ 𝜖 ℤ folgt aus 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚 und 𝑎′ ≡ 𝑏 ′ 𝑚𝑜𝑑 𝑚
─
─
𝑎 + 𝑎′ ≡ 𝑏 + 𝑏 ′ 𝑚𝑜𝑑 𝑚
𝑎 ∗ 𝑎′ ≡ 𝑏 ∗ 𝑏 ′ 𝑚𝑜𝑑 𝑚
Restklassen
Die Restklassen unterteilen alle Zahlen, die durch Division mit m den gleichen Rest vorweisen.
Jede Menge 𝑎̅ = {𝑥 𝜖 ℤ |𝑥 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚} bezeichnet man als Restklasse modulo m. Jedes 𝑥 𝜖 𝑎̅ heißt
Repräsentant von 𝑎̅.
Beispiel: modulo 5
Es existieren in diesem Beispiel also fünf Restklassen, da jede Zahl, die mit 5 dividiert wird, entweder 0, 1, 2, 3
oder 4 als Rest besitzt.
Die Restklasse mit dem Rest 0 wird als 0̅ gekennzeichnet.
Restklassen
̅
𝟎
̅
𝟏
̅
𝟐
̅
𝟑
̅
𝟒
Zahlen
-10, -5, 0, 5, 10
-11, -6, -1, 1, 6
-7, -2, 2, 7, 12
-8, -3, 3, 8, 11
-9, -4, 4, 9, 13
Definition
𝑚∗𝑘+0
𝑚∗𝑘+1
𝑚∗𝑘+2
𝑚∗𝑘+3
𝑚∗𝑘+4
Die Addition aller Restklassen (=Teilmengen von ℤ) ergibt ℤ.
Die Menge aller Restklassen heißt 𝑅𝑚 , |𝑅𝑚 | = 5 und 𝑅𝑚 ist eine Menge von Mengen.
Restklassenaddition
Seien 𝑎̅, 𝑏̅ 𝜖 𝑅𝑚 , dann ist 𝑎̅ + 𝑏̅ = ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎+𝑏
̅̅̅̅̅ = 2̅ + 3̅ = 5̅ = 0̅
̅̅̅̅̅̅̅ + 753
Beispiel: 1022
Restklassenmultiplikation
̅̅̅̅̅̅
𝑎̅ ∗ 𝑏̅ = 𝑎
∗𝑏
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E l e m e n ta r e A u s s a g e n l o g i k
Aussagen
Konjunktion AND
Eine Konjunktion verknüpft Aussagen miteinander. Sind alle Aussagen wahr, ist auch die Konjunktion wahr. Ist
eine oder mehrere Aussagen falsch, ist die Konjunktion falsch.
Disjunktion OR
Die Disjunktion ist dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist. Nur wenn alle Aussagen falsch
sind, ist auch die Disjunktion falsch.
Implikation ⇒
Die Implikation verknüpft zwei Aussagen im Sinne, „wenn – dann“ oder „daraus folgt“. Möchte man
bestehenden Aussagen, die die Implikation verwenden, auf Gültigkeit untersuchen, kann man nach folgendem
Prinzip vorgehen:
Aussage 1
Aussage 2
Gültigkeit der Aussage
wahr
wahr
wahr
wahr
falsch
falsch
falsch
wahr
wahr
falsch
falsch
wahr
Ist die erste Aussage wahr, MUSS für die Gültigkeit der Implikation, auch die zweite Aussage wahr sein. Ist die
erste Aussage falsch, stimmt die Implikation immer, egal welchen Wert die zweite Aussage besitzt.
Äquivalenz ⇔
Die Äquivalenz verknüpft zwei Aussage zu „… genau dann, wenn …“. Zum Beispiel ist
𝐷𝑖𝑒 𝑆𝑡𝑟𝑎ß𝑒 𝑖𝑠𝑡 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑎𝑠𝑠, 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡.
die Äquivalenz der beiden Aussagen
"Die Straße ist nass. " sowie "𝐸𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡".
Sind beide Aussagen falsch bzw. wahr, stimmt auch die Äquivalenz. Unterscheiden sich die Wahrheitswerte, ist
die Äquivalenz falsch.
Negation ¬
Die Negation dreht den Wert der Aussage um.
𝑎 = 𝑤𝑎ℎ𝑟 ⇔ ¬𝑎 = 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑐ℎ
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Äquivalente Formeln
Tautologie
Eine Formel heißt Tautologie, wenn sie immer wahr ist.
Kontradiktion
Eine Formel heißt Kontradiktion, wenn sie niemals wahr ist.
Umformungen
Zwischen Aussagenverknüpfungen kann man Umformen. So besagt z.B. die DeMorgan’sche Regel:
¬(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ¬𝑎 ∨ ¬𝑏
Außerdem gilt für ∧,∨ das Assoziativgesetz:
𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐
Alle möglichen Umformungen sind im Buch auf Seite 27.
Prädikatenlogik
Allgemein
In der Prädikatenlogik versucht man mathematische Gegebenheiten zu abstrahieren und damit allgemein gültig
zu machen. Hat man mehrere Aussagen, die beschreiben, dass etwas klein ist, kann man diese
zusammenfassen:
𝐷𝑎𝑠 𝐻𝑎𝑢𝑠 𝑖𝑠𝑡 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛
𝐷𝑒𝑟 𝑀𝑎𝑛𝑛 𝑖𝑠𝑡 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛 → 𝑃(𝑥) = "x ist klein. "
𝐷𝑎𝑠 𝐴𝑢𝑡𝑜 𝑖𝑠𝑡 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛
Somit hat man die abstrakte Aussage, dass ein Element x klein ist. Dieses Element ist (bedingt) frei wählbar.
Quantoren
Damit wir einschränken können, was alles in P(x) eingesetzt werden darf, müssen wir den Wertebereich noch
definieren. Man unterscheidet zwischen zwei Quantoren:

Der Allquantor ∀𝑥 𝑃(𝑥)
─ „Für alle x gilt P(x)“.
 Der Existenzquantor ∃𝑥 𝑃(𝑥)
─ „Es gibt (mindestens) ein x, so dass P(x).“
Mit diesen Werkzeugen, können jetzt komplexere Aussagen gebildet werden:
𝑃1 = „x ist eine Primzahl“; 𝑃2 = „x ist ungerade“
∀𝑥 (𝑃1 (𝑥) ⇒ (𝑃2 (𝑥) ∨ (𝑥 = 2)))
„Für alle x gilt, wenn x ist eine Primzahl ist, dann ist x ungerade oder 2.“
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Mengen
Begriff
Definition Menge
Eine Menge ist eine Ansammlung von Objekten. Sie kann endlich (z.B.: {1, 2, 3}) oder auch unendlich ({ℕ}) sein.
Ist ein Element x in einer Menge M enthalten, so schreibt man
𝑥∈𝑀
Ist ein Element x nicht in einer Menge M enthalten, schreibt man
𝑥∉𝑀
Definition Teilmenge
Eine Menge N heißt Teilmenge von M, wenn jedes Element aus N auch in M enthalten ist. Man schreibt
𝑁⊆𝑀
Die Teilmenge darf also nur aus Elementen der Obermenge bestehen.
Mengenoperationen
Vereinigung 𝑨 ∪ 𝑩
ODER: Umfasst alle Elemente, die in A oder B vorkommen.
Durchschnitt 𝑨 ∩ 𝑩
UND: Umfasst nur die Elemente, die in A und B vorkommen.
Komplement A‘
NOT: Umfasst alle Elemente, die nicht in A liegen.
Mengendifferenz A \ B
Umfasst alle Elemente von A, die nicht in B liegen. (A ohne B)
Symmetrische Differenz ∆
Umfasst alle Elemente die in A und B, jedoch nicht im Durchschnitt von A und B liegen.
Mengenidentitäten
Mengenidentitäten beschreiben verknüpfte Mengenoperationen. Mithilfe von Wahrheitstabellen können zwei
Mengenidentitäten auf Gleichheit überprüft werden.
Potenzmenge
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von A. Sie beinhaltet als Elemente alle möglichen
Kombinationen aus den Elementen von A. Als Beispiel: 𝑃({1,2}) = {0, {1}, {2}, {1,2}}
Die Anzahl der Elemente der Potenzmenge ist gleich 2 hoch der Anzahl der ursprünglichen Menge.
|𝑃(𝐴)| = 2|𝐴|
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Mä c hti g ke i t u n d Abzäh lb ar ke i t
Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, also eine Zuordnung,
die in beide Richtungen eindeutig ist und beide Mengen voll abdeckt. Jede Menge, die gleichmächtig ist wie
jene der natürlichen Zahlen, wir abzählbar genannt.
Re l a t i o n e n u n d F u n k t i o n e n
Relationsbegriff
Geordnetes Paar
Ein geordnetes Paar fasst zwei Elemente a, b zusammen. Die Elemente stehen in einer gewissen Relation
zueinander (z.B. a kennt b). Die Reihenfolge ist von Bedeutung, da „a kennt b“ nicht unbedingt „b kennt a“
bedeuten muss.
Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt findet zwischen Mengen statt. Es bedeutet nichts anders als die Menge von allen
möglichen geordneten Paaren.
𝐴 x 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}
Definition Relation
Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes. Sind A und B
gleich, so spricht man von einer binären Relation.
𝑅 ⊆𝐴x𝐵
Äquivalenzrelationen
Eine binäre Relation R auf der Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
Reflexivität
∀𝑎 ∈ 𝐴: 𝑎𝑅𝑎
Symmetrie
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴: 𝑎𝑅𝑏 ⇒ 𝑏𝑅𝑎
Transitivität
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴: (𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑏𝑅𝑐) ⇒ 𝑎𝑅𝑐
Äquivalenzklassen
Eine Äquivalenzklasse 𝐾(𝑎) wird einem Element 𝑎 ∈ 𝐴 zugeordnet. Sie beinhaltet alle Elemente, die mit dem
Element a eine Äquivalenzklasse bilden.
𝐾(𝑎) = {𝑏 ∈ 𝐴|𝑏𝑅𝑎}
Partition
Alle Äquivalenzklassen zusammen bilden eine Partition von A.
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Halbordnungen
Eine binäre Relation R auf der Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei
Eigenschaften erfüllt sind:
Reflexivität
∀𝑎 ∈ 𝐴: 𝑎𝑅𝑎
Antisymmetrie
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴: (𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑏𝑅𝑎) ⇒ 𝑎 = 𝑏
Transitivität
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴: (𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑏𝑅𝑐) ⇒ 𝑎𝑅𝑐
Eine Halbordnung heißt Totalordnung, wenn immer entweder 𝑎𝑅𝑏 oder 𝑏𝑅𝑎 gilt. Das ist dann der Fall, wenn
Zahlen verglichen werden. 𝑎 < 𝑏 oder 𝑏 < 𝑎. Beides geht nicht und nichts geht auch nicht.
Hassediagramme
Das Hassediagramm stellt die Relation einer Menge von Zahlen zueinander hierarchisch dar. Bestes Beispiel ist
die Teilbarkeit. Empfehlenswert ist folgendes Video: http://www.youtube.com/watch?v=nD8ErWgj5Ac
Funktionen
Mit der Grundlage der Relationen kann man nun den Funktionsbegriff neu definieren. Wie wir bereits wissen
verknüpft eine Funktion f zwei nichtleere Mengen A und B. Dabei ist eine Funktion nichts anderes als eine
bestimmte Relation.
Definition Funktion
Eine Funktion f verknüpft zwei nichtleere Mengen A und B. Das Ergebnis ist ein Tripel:
𝑓: 𝐴 → 𝐵 ⇔ (𝐴, 𝐵, 𝑅𝑓 )
𝑅𝑓 beschreibt die Funktionsrelation.
Damit es sich um eine Funktion handelt, muss zu jedem 𝑎 ∈ 𝐴 mindestens ein 𝑏 ∈ 𝐵 existieren, sodass gilt 𝑏 =
𝑓(𝑎).
Definition Graph
Der Graph einer Funktion ist die Menge 𝑅𝑓 = {(𝑎, 𝑓(𝑎))|𝑎 ∈ 𝐴} =⊆ 𝐴 x 𝐵
Eigenschaft: injektiv
Eine Funktion heißt injektiv, wenn es zu einem 𝑏 ∈ 𝐵 höchstens ein 𝑎 ∈ 𝐴 gibt, so dass 𝑓(𝑎) = 𝑏.
𝑓(𝑎1 ) = 𝑓(𝑎2 ) ⇔ 𝑎1 = 𝑎2
Eigenschaft: surjektiv
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn es zu jedem 𝑏 ∈ 𝐵 mindestens ein 𝑎 ∈ 𝐴 gibt. Die ganze Menge B wird also
durch die Relation abgebildet.
∀𝑏 ∈ 𝐵∃𝑎 ∈ 𝐴: 𝑓(𝑎) = 𝑏
Eigenschaft: bijektiv
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Sie ist dann bijektiv, wenn jedem 𝑎 ∈ 𝐴 durch die
Relation genau ein einziges 𝑏 ∈ 𝐵 zugeordnet wird. Damit existiert auch die Umkehrfunktion. Es gilt:
∀𝑎 ∈ 𝐴∃𝑏 ∈ 𝐵: 𝑓(𝑎) = 𝑏 ∧ 𝑓 −1 (𝑏) = 𝑎
Definition Identische Funktion
Eine Funktion 𝑖𝑑𝐴 heißt identische Funktion auf einer Menge A, wenn sie sich selber abbildet.
∀𝑎 ∈ 𝐴: 𝑖𝑑𝑎 (𝑎) = 𝑎
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Vo l l s t ä n d i g e I n d u k t i o n
Definition
Die vollständige Induktion ist ein Werkzeug, um die Gültigkeit einer Aussage für alle natürlichen Zahlen zu
beweisen. Sie gliedert sich in drei Schritte.
Induktionsanfang
Der Induktionsanfang stellt sicher, dass die Aussage für den kleinstmöglichen einsetzbaren Wert gültig ist.
Induktionsvoraussetzung
Eigentlich startet alles immer mit einer Voraussetzung, die man auf Korrektheit überprüfen muss. Diese
Voraussetzung ist meistens die Angabe.
Induktionsschritt
Das ist der aufwendigste Teil dieses Beweises. Da wir ja beweisen wollen, dass die Voraussetzung ab dem
Induktionsanfang für alle weiteren Werte gültig ist, müssen wir diese allgemeine Aussage, die sich auf den
Nachfolger der natürlichen Zahl bezieht, beweisen.
Am einfachsten ist es zu verstehen, wenn man es sich anhand eines Beispiels ansieht.
Beispiel
Man beweise mittels vollständiger Induktion:
𝑛
∑
𝑗=1
1
𝑛
=
𝑛≥1
𝑗(𝑗 + 1) 𝑛 + 1
Induktionsanfang
Der Induktionsanfang beginnt mit dem niedrigsten wählbaren Wert. In unserem Beispiel ist das 𝑛 = 1. Jetzt
wird die Gültigkeit der Aussage für diesen Wert überprüft.
1
1
=
1(1 + 1) 1 + 1
1 1
=
2 2
Die Aussage ist somit für die untere Schranke gültig.
Induktionsvoraussetzung
Das ist die allgemeine Voraussetzung die wir beweisen wollen. In unserem Fall ist es die Angabe.
𝑛
∑
𝑗=1
Grundlagen
1
𝑛
=
𝑗(𝑗 + 1) 𝑛 + 1
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Induktionsschritt
Jetzt kommt der kniffligere Part. Wir wollen beweisen, dass die Aussage auch für jeden weiteren „n-Wert“ gilt.
Das drücken wir dadurch aus, dass wir 𝑛 = 𝑛 + 1 setzen und die Aussage wieder auf Korrektheit überprüfen.
Induktionsbeweise sind erheblich einfacher, wenn man sich zuerst anschreibt, was man überhaupt zeigen
möchte.
Zu zeigen:
∑𝑛+1
𝑗=1
1
𝑗(𝑗+1)
=
𝑛+1
𝑛+2
Diese Form der Gleichung möchte ich erreichen. Wir starten jedoch, indem wir
𝑛
𝑛+1
und den „n+1“-Schritt dazu
addieren:
𝑛
1
+
𝑛 + 1 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
Der zweite Summand liefert uns
umformen, dass sie
𝑛+1
𝑛+2
1
, wenn wir 𝑗 = 𝑛 + 1 setzen. Können wir jetzt diese Gleichung so
𝑗(𝑗+1)
ergibt, haben wir den Beweis erbracht. Ich schreibe deshalb schon die „Lösung“ an, da
es oft Hinweise gibt, wie man vorgehen muss. Zum Beispiel sehe ich, dass schlussendlich 𝑛 + 2 im Nenner
stehen muss. Da bietet es sich schnell an, die beiden Brüche auf den gleichen Bruchstrich zu bringen und
ausmultiplizieren.
(𝑛 + 1)2
𝑛(𝑛 + 2)
1
𝑛2 + 2𝑛 + 1
𝑛+1
+
=
=
=
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 𝑛 + 2
Damit haben wir den Induktionsbeweis schon erbracht. Bei den meisten vollständigen Induktionen muss man
nur kleine Umformungen vornehmen, um an das gewünschte Ziel zu kommen.
Grundlagen
Markus Kessler
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