Leibniz Universität Hannover Fakultät für Mathematik und Physik Prof. Dr. M. Erné 17. Januar 2011 Übungen zur Algebra I (Einführung in die Algebra und Zahlentheorie) Wintersemester 2010/11 Blatt 12 Abgabe: Montag, 31.1.2011, bis 12:00 Uhr in das Postfach Nr. 153 Algebra“ ” Jede Aufgabe auf diesem Übungsblatt wird mit maximal 10 Punkten bewertet, die Ihrem Konto zusätzlich gutgeschrieben werden. 1. Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und A ein Ideal von R. Ein Element n ∈ R heißt nilpotent, falls es ein k ∈ N mit nk = 0 gibt. (a) Warum ist 1 + n für jedes nilpotente Element n ∈ R eine Einheit in R ? (Geometrische Reihe!) (b) Zeigen Sie: Die Menge P (A) := {r ∈ R | rk ∈ A für ein k ∈ N} ist ein Ideal in R. (c) Bestimmen Sie das Ideal P ({0}) aller nilpotenten Elemente für den Ring R = Z900 . 2. (a) Wie viele Nullteiler haben die folgenden Ringe jeweils? (Benutzen Sie Eulers ϕ-Funktion!) R1 = Z900 R2 = Z30 × Z30 R3 = Z12 × Z75 R4 = Z4 × Z9 × Z25 R5 = Z6 × Z10 × Z15 Betrachten Sie die Abbildung F : Z → R4 , z 7→ (M4 (z), M9 (z), M25 (z)) mit Mn (z) ≡n z, sowie das Element u = (1, 8, 22) ∈ R4 . (b) Ist u eine Einheit? (c) Gibt es ein z ∈ Z, so dass z + F − (u) ein Ideal von Z wird? (d) Bestimmen Sie alle positiven Zahlen in F − (u), die kleiner als 2000 sind. 3. Welche der Elemente 111, 225, 270, 323, 335, 451, 576, 649 aus dem Ring Z900 . . . (a) . . . sind Einheiten? Berechnen Sie gegebenenfalls ihr Inverses. (b) . . . sind idempotent? (c) . . . erfüllen die Gleichung x2 = 1? (d) . . . erzeugen ein Primideal? Wie viele idempotente Elemente besitzt Z900 ? 4. In welchen der folgenden Ringe ist die Zahl 7 (i) prim √ √ (a) Z[ı] (b) Z[ 3] (c) Z[ −10] 5. Sei ζ10 die zehnte Einheitswurzel e (a) Faktorisieren Sie x 10 2πı 10 (ii) irreduzibel? √ (d) Z[ 29] (e) Z[π] ∈ C. − 1 in Q[x] und bestimmen Sie das Minimalpolynom von ζ10 über Q. (b) Warum ist Q(ζ10 ) = Q[ζ10 ]? (c) Für welche n ∈ N gilt Q[ζ10 n ] = Q[ζ10 ]? (d) Geben Sie einen echten Zwischenkörper der Körpererweiterung Q(ζ10 ) : Q an.