F11-T2-A1 - math.uni

F11-T2-A1
Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen des folgendes Systems:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
Lösungsvorschlag. Nach dem chinesischen Restsatz ist Z2 × Z3 × Z5 ' Z2·3·5 = Z30 , das
heißt die Lösung ist eindeutig modulo 30. Wir erinnern uns, dass die Umkehrabbildung
zum kanonischen Morphismus
π : Z30 → Z2 × Z3 × Z5 ,
[a] 7→ ([a], [a], [a])
folgendermaßen gegeben ist: Finden wir e1 , e2 , e3 ∈ Z30 mit π(e1 ) = ([1], [0], [0]), π(e2 ) =
([0], [1], [0]) und π(e3 ) = ([0], [0], [1]), so ist π −1 ([a], [b], [c]) = [ae1 + be2 + ce3 ]. Diese
ei können wir entweder durch Ausprobieren herausfinden, oder aber systematisch bestimmen anhand der folgenden Überlegung: Gegeben drei paarweise teilerfremde Zahlen
p1 , p2 , p3 , können wir jeweils [a1 ] := ([p2 p3 ])−1 ∈ Zp1 , [a2 ] = ([p1 p3 ])−1 ∈ Zp2 und
[a3 ] = ([p1 p2 ])−1 ∈ Zp3 bestimmen. Unter verwendung der jeweiligen Repräsentanten
erhalten wir daraus Elemente e1 := [a1 p2 p3 ], e2 = [a2 p1 p3 ] und e3 = [a3 p1 p2 ], die nach
Konstruktion die gewünschten Eigenschaften besitzen. In unserem Falle also e1 = [15],
e2 = [10], e3 = [6]. Damit erhalten wir
π −1 ([1], [2], [3]) = [15 + 2 · 10 + 3 · 6] = [23] ∈ Z30 .
Die Menge sämtlicher Lösungen in Z ist also {23 + 30k|k ∈ Z}.
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