Folie 35. Ringe und Polynome

Folie 35. Ringe und Polynome
Definition Ein Ring (R, + ,
08.01.01 P.Vachenauer
⋅ ) ist eine Menge R mit zwei
Verknüpfungen „Plus“ und „Mal“, sodass gilt:
(1) (R, + ) ist eine kommutative Gruppe
( → Folie 9)
(2) Für ⋅ gilt das Assoziativgesetz
a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c für alle a, b, c ∈ R
Emmy Noether
1882 Erlangen - 1935 USA
hat die Theorie der Ringe
maßgeblich beeinflusst
(3) In (R, + , ⋅ ) gelten die beiden Distributivgesetze
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c , ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c für alle a, b, c ∈ R
Beispiele 1.Jeder Zahlkörper ist auch ein kommutativer Ring mit Einselement.
2. Der Ring Z der ganzen Zahlen ist ein kommutativer Ring mit Einselement.
3. Der Matrizenring R
n×n
ist ein nichtkommutativer Ring mit Einselement E n .
Definitionen
Der Ring der Polynome K[x] über einem Körper K ist der Vektorraum über K
K[x] := { ( a 0, a 1, … ) ∈ K N ; nur endlich viele a k ≠ 0 } .
0
{
Die Monome sind die Elemente der Standardbasis x k := ( 0, …, 0, 1 , 0, … ) .
Stelle k + 1
0
Das Einselement des Ringes ist 1 := x = ( 1, 0, … ) .
Jedes Polynom hat somit die Basisdarstellung p ( x ) = a 0 + a 1 x + … + a n x n .
Die Multiplikation ist mit x i ⋅ x k := x i + k und den Distributivgesetzen erklärt.
Der Grad von p ist Grad p := max{i ∈ N 0 ; a i ≠ 0 } . p = 0 hat keinen Grad.
Satz a) (K[x], +, ⋅ ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement
b) In K[x] gibt es eine Division mit Rest, das heißt zu je zwei Polynomen p und q
mit q ≠ 0 gibt es Polynome t und r , sodass p = t ⋅ q + r , wobei r = 0 oder
Grad r < Grad q
Beispiel
p = x3 + 1 , q = x2 + 1
⇒
x3 + 1 = x ⋅ ( x2 + 1 ) + ( – x + 1 )
Definitionen a) Ein Element u aus einem Ring R̃ ⊃ K in p einsetzen heißt,
k
k
x durch u ersetzen und p ( u ) := a 0 + a 1 u + … + a n u n in R̃ ausrechnen.
b) u ∈ R̃ heißt Nullstelle des Polynoms p ∈ K [ x ] : ⇔ p ( u ) = 0 .